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[求助] 残缺的幻方填空谜题

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发表于 2020-1-23 11:16:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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收拾案头杂物,发现一份老年报残片上竟然有一道幻方填空谜题,可惜已残缺不全(缺末行,猜想是已知数)。见下面:
文字换数字,使得下面4x4方格中刚好包括1, 2, 3, …,16,
并且每行、每列和两条对角线上的四个数之和皆等于34。
5⃣10118⃣
试图补齐丢失的最后一行数字,复原谜题然后解之,不得要领,未果,特此求助。


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-26 15:01:32 | 显示全部楼层
前些日子恰巧在学习4阶幻方,根据我计算的4x4幻方全部解 7040项搜索
符合此题要求的有如下 3 项,对应答案3个:

1099 1099
3⃣13162⃣
5⃣10118⃣
127⃣6⃣9⃣
144⃣1⃣15
            
1215 1215
3⃣16132⃣
5⃣10118⃣
127⃣6⃣9⃣
141⃣4⃣15

1651 1651  
4⃣15141⃣
5⃣10118⃣
9⃣6⃣7⃣12
163⃣2⃣13

点评

为了保持可读性,标注原楼号 原来6#  发表于 2020-2-21 10:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-28 10:56:07 | 显示全部楼层
4阶幻方已知1行与1列,剩下的只是特殊的3阶幻方而已,
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-30 09:33:52 | 显示全部楼层
换个思路,普通4阶幻方(满足10个34),
先填几个数,后面的填法就是唯一的了?
9个数是可以的,8个数也可以吗?

点评

不一定唯一,但我认为此法可行,加油  发表于 2020-1-30 16:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-31 15:31:04 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-1-30 09:33
换个思路,普通4阶幻方(满足10个34),
先填几个数,后面的填法就是唯一的了?
9个数是可以的,8个数也 ...
按此思路,编写c++代码直接穷举求解,得6个填法(原解得3个)
耗时2秒

完全解 6个:
1:  原1:
3 13 16 2
5 10 11 8
12 7 6 9
14 4 1 15

2:   原2:
3 16 13 2
5 10 11 8
12 7 6 9
14 1 4 15

3:   原3:
4 15 14 1
5 10 11 8
9 6 7 12
16 3 2 13

4: 原缺:
15 1 4 14
5 10 11 8
12 7 6 9
2 16 13 3

5:  原缺:
15 4 1 14
5 10 11 8
12 7 6 9
2 13 16 3

6:  原缺:
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

sum=6
=== end ===

用时2.016000秒
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-31 19:24:56 | 显示全部楼层
按第1解恢复第4行数据,复原谜题如下:
5⃣10118⃣
144⃣1⃣15

c++代码求解成功,唯一解,耗时2秒.
有志者试一试手工求解
王守恩可以大展身手,把思路变现。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-1 18:24:19 | 显示全部楼层
5⃣10118⃣
144⃣1⃣15
复原后为8个方程8个未知数,故刚好可有唯一解。解一个8元方程组应该不是什么难事,手工都可消元。

老+首=15,老+刊=9,→  首=刊+6
读+物=11,读+选=9,→  物=选+2
∴ 首+选+刊+物=刊+选+刊+选+8=34  →  选+刊=13, 首+物=21
又由 老+刊=读+选=9  → {老读选刊}={2, 3, 6, 7}
∴  {选刊}={6, 7}, {老读}={2, 3}, {首物}={9, 12}, 余{年阅}={13, 16}
再由  老+首=15可得 老=3, 首=12, 读=2, 物=9,进而得  刊=6, 选=7
最后得  年=13, 阅=12.

点评

此法可否解1#原题?  发表于 2020-2-1 20:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-2-5 10:30:45 | 显示全部楼层
原题用解方程法求解成功

楼上消元巧妙,但是试图把它用于原题,想方设法,仍没有成功。
决定采用另外的解方程方法
利用chyanog的代码改造一个通用函数magic[n_, me_],解方程方法求解成功
magic[4,3]  4:4解 3:第二行预置 5,10,11,8
耗时6秒,得6组解:
1        {{3,13,16,2},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{14,4,1,15}}
2        {{3,16,13,2},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{14,1,4,15}}
3        {{4,15,14,1},{5,10,11,8},{9,6,7,12},{16,3,2,13}}
4        {{15,1,4,14},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{2,16,13,3}}
5        {{15,4,1,14},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{2,13,16,3}}
6        {{16,3,2,13},{5,10,11,8},{9,6,7,12},{4,15,14,1}}

c++的排列穷举法 和mma的这个解方程法都很好的解决了原题。
如有需要可提供我的简陋代码,谢谢参与讨论,注意防疫!


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-8 11:10:41 | 显示全部楼层
34拆成四个1至16间的数之和共有86组

01,34=1+02+15+16
02,34=1+03+14+15
03,34=1+04+13+16
04,34=1+04+14+15
05,34=1+05+12+16
06,34=1+05+13+15
07,34=1+06+11+16
08,34=1+06+12+15
09,34=1+06+13+14
10,34=1+07+10+16
11,34=1+07+11+15
12,34=1+07+12+14
13,34=1+08+09+16
14,34=1+08+10+15
15,34=1+08+11+14
16,34=1+08+12+13
17,34=1+09+10+14
18,34=1+09+11+13
19,34=1+10+11+12
20,34=2+03+13+16
21,34=2+03+14+15
22,34=2+04+12+16
23,34=2+04+13+15
24,34=2+05+11+16
25,34=2+05+12+15
26,34=2+05+13+14
27,34=2+06+10+16
28,34=2+06+11+15
29,34=2+06+12+14
30,34=2+07+09+16
31,34=2+07+10+15
32,34=2+07+11+14
33,34=2+07+12+13
34,34=2+08+09+15
35,34=2+08+10+14
36,34=2+08+11+13
37,34=2+09+10+13
38,34=2+09+11+12
39,34=3+04+11+16
40,34=3+04+12+15
41,34=3+04+13+14
42,34=3+05+10+16
43,34=3+05+11+15
44,34=3+05+12+14
45,34=3+06+09+16
46,34=3+06+10+15
47,34=3+06+11+14
48,34=3+06+12+13
49,34=3+07+08+16
50,34=3+07+09+15
51,34=3+07+10+14
52,34=3+07+11+13
53,34=3+08+09+14
54,34=3+08+10+13
55,34=3+08+11+12
56,34=3+09+10+12
57,34=4+05+09+16
58,34=4+05+10+15
59,34=4+05+11+14
60,34=4+05+12+13
61,34=4+06+08+16
62,34=4+06+09+15
63,34=4+06+10+14
64,34=4+06+11+13
65,34=4+07+08+15
66,34=4+07+09+14
67,34=4+07+10+13
68,34=4+07+11+12
69,34=4+08+09+13
70,34=4+08+10+12
71,34=4+09+10+11
72,34=5+06+07+16
73,34=5+06+08+15
74,34=5+06+09+14
75,34=5+06+10+13
76,34=5+06+11+12
77,34=5+07+08+14
78,34=5+07+09+13
79,34=5+07+10+12
80,34=5+08+09+12
81,34=5+08+10+11
82,34=6+07+08+13
83,34=6+07+09+12
84,34=6+07+10+11
85,34=6+08+09+11
86,34=7+08+09+10





毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-2-8 17:08:43 | 显示全部楼层
哦,n 阶幻方的定和σ(n)=n(n2+1)/2, σ(n)表为 1~n2间的 n 个不同数之和的组数记为a(n)。
a(2)=2, a(3)=8, a(4)=86, a(5)=1394, a(6)=32134.
该数列见:A052456 Number of magic series of order n.
----------------------
n=2,len= 2
1        {1,4}
2        {2,3}

n= 3,len= 8
1        {1,5,9}
2        {1,6,8}
3        {2,4,9}
4        {2,5,8}
5        {2,6,7}
6        {3,4,8}
7        {3,5,7}
8        {4,5,6}

n= 4,len= 86

n= 5,len= 1394

n= 6,len= 32134
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