残缺的幻方填空谜题

dlpg070

收拾案头杂物，发现一份老年报残片上竟然有一道幻方填空谜题，可惜已残缺不全（缺末行，猜想是已知数）。见下面：
文字换数字，使得下面4x4方格中刚好包括1, 2, 3, …，16，并且每行、每列和两条对角线上的四个数之和皆等于34。

老	年	阅	读
5⃣	10	11	8⃣
首	选	刊	物
？	？	？	？

试图补齐丢失的最后一行数字，复原谜题然后解之，不得要领，未果，特此求助。

dlpg070

前些日子恰巧在学习4阶幻方，根据我计算的4x4幻方全部解 7040项搜索
符合此题要求的有如下 3 项,对应答案3个:
1099 1099

3⃣	13	16	2⃣
5⃣	10	11	8⃣
12	7⃣	6⃣	9⃣
14	4⃣	1⃣	15

            
1215 1215

3⃣	16	13	2⃣
5⃣	10	11	8⃣
12	7⃣	6⃣	9⃣
14	1⃣	4⃣	15

1651 1651  

4⃣	15	14	1⃣
5⃣	10	11	8⃣
9⃣	6⃣	7⃣	12
16	3⃣	2⃣	13

王守恩

4阶幻方已知1行与1列，剩下的只是特殊的3阶幻方而已，

王守恩

换个思路，普通4阶幻方(满足10个34)，
先填几个数，后面的填法就是唯一的了？
9个数是可以的，8个数也可以吗？

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王守恩 发表于 2020-1-30 09:33
换个思路，普通4阶幻方(满足10个34)，
先填几个数，后面的填法就是唯一的了？
9个数是可以的，8个数也 ...

按此思路，编写c++代码直接穷举求解，得6个填法(原解得3个)
耗时2秒

完全解 6个：
1:  原1:
3 13 16 2
5 10 11 8
12 7 6 9
14 4 1 15

2:   原2:
3 16 13 2
5 10 11 8
12 7 6 9
14 1 4 15

3:   原3:
4 15 14 1
5 10 11 8
9 6 7 12
16 3 2 13

4: 原缺:
15 1 4 14
5 10 11 8
12 7 6 9
2 16 13 3

5:  原缺:
15 4 1 14
5 10 11 8
12 7 6 9
2 13 16 3

6:  原缺:
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

sum=6
=== end ===

用时2.016000秒

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按第1解恢复第4行数据，复原谜题如下：

老	年	阅	读
5⃣	10	11	8⃣
首	选	刊	物
14	4⃣	1⃣	15

c++代码求解成功，唯一解，耗时2秒.
有志者试一试手工求解
王守恩可以大展身手，把思路变现。

王守恩

老	年	阅	读
5⃣	10	11	8⃣
首	选	刊	物
14	4⃣	1⃣	15

复原后为8个方程8个未知数，故刚好可有唯一解。解一个8元方程组应该不是什么难事，手工都可消元。

老+首=15，老+刊=9，→  首=刊+6
读+物=11，读+选=9，→  物=选+2
∴ 首+选+刊+物=刊+选+刊+选+8=34  →  选+刊=13, 首+物=21
又由 老+刊=读+选=9  → {老读选刊}={2, 3, 6, 7}
∴  {选刊}={6, 7}, {老读}={2, 3}, {首物}={9, 12}, 余{年阅}={13, 16}
再由  老+首=15可得 老=3, 首=12, 读=2, 物=9，进而得  刊=6, 选=7
最后得  年=13, 阅=12.

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原题用解方程法求解成功

楼上消元巧妙，但是试图把它用于原题，想方设法，仍没有成功。
决定采用另外的解方程方法
利用chyanog的代码改造一个通用函数magic[n_, me_]，解方程方法求解成功
magic[4,3]  4:4解 3：第二行预置 5,10,11,8
耗时6秒，得6组解：
1        {{3,13,16,2},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{14,4,1,15}}
2        {{3,16,13,2},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{14,1,4,15}}
3        {{4,15,14,1},{5,10,11,8},{9,6,7,12},{16,3,2,13}}
4        {{15,1,4,14},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{2,16,13,3}}
5        {{15,4,1,14},{5,10,11,8},{12,7,6,9},{2,13,16,3}}
6        {{16,3,2,13},{5,10,11,8},{9,6,7,12},{4,15,14,1}}

c++的排列穷举法 和mma的这个解方程法都很好的解决了原题。
如有需要可提供我的简陋代码，谢谢参与讨论，注意防疫！

王守恩

34拆成四个1至16间的数之和共有86组

01，34=1+02+15+16
02，34=1+03+14+15
03，34=1+04+13+16
04，34=1+04+14+15
05，34=1+05+12+16
06，34=1+05+13+15
07，34=1+06+11+16
08，34=1+06+12+15
09，34=1+06+13+14
10，34=1+07+10+16
11，34=1+07+11+15
12，34=1+07+12+14
13，34=1+08+09+16
14，34=1+08+10+15
15，34=1+08+11+14
16，34=1+08+12+13
17，34=1+09+10+14
18，34=1+09+11+13
19，34=1+10+11+12
20，34=2+03+13+16
21，34=2+03+14+15
22，34=2+04+12+16
23，34=2+04+13+15
24，34=2+05+11+16
25，34=2+05+12+15
26，34=2+05+13+14
27，34=2+06+10+16
28，34=2+06+11+15
29，34=2+06+12+14
30，34=2+07+09+16
31，34=2+07+10+15
32，34=2+07+11+14
33，34=2+07+12+13
34，34=2+08+09+15
35，34=2+08+10+14
36，34=2+08+11+13
37，34=2+09+10+13
38，34=2+09+11+12
39，34=3+04+11+16
40，34=3+04+12+15
41，34=3+04+13+14
42，34=3+05+10+16
43，34=3+05+11+15
44，34=3+05+12+14
45，34=3+06+09+16
46，34=3+06+10+15
47，34=3+06+11+14
48，34=3+06+12+13
49，34=3+07+08+16
50，34=3+07+09+15
51，34=3+07+10+14
52，34=3+07+11+13
53，34=3+08+09+14
54，34=3+08+10+13
55，34=3+08+11+12
56，34=3+09+10+12
57，34=4+05+09+16
58，34=4+05+10+15
59，34=4+05+11+14
60，34=4+05+12+13
61，34=4+06+08+16
62，34=4+06+09+15
63，34=4+06+10+14
64，34=4+06+11+13
65，34=4+07+08+15
66，34=4+07+09+14
67，34=4+07+10+13
68，34=4+07+11+12
69，34=4+08+09+13
70，34=4+08+10+12
71，34=4+09+10+11
72，34=5+06+07+16
73，34=5+06+08+15
74，34=5+06+09+14
75，34=5+06+10+13
76，34=5+06+11+12
77，34=5+07+08+14
78，34=5+07+09+13
79，34=5+07+10+12
80，34=5+08+09+12
81，34=5+08+10+11
82，34=6+07+08+13
83，34=6+07+09+12
84，34=6+07+10+11
85，34=6+08+09+11
86，34=7+08+09+10

dlpg070

哦，n 阶幻方的定和σ(n)=n(n²+1)/2, σ(n)表为 1~n²间的 n 个不同数之和的组数记为a(n)。
a(2)=2, a(3)=8, a(4)=86, a(5)=1394, a(6)=32134.
该数列见:A052456 Number of magic series of order n.
----------------------
n=2，len= 2
1        {1,4}
2        {2,3}

n= 3，len= 8
1        {1,5,9}
2        {1,6,8}
3        {2,4,9}
4        {2,5,8}
5        {2,6,7}
6        {3,4,8}
7        {3,5,7}
8        {4,5,6}

n= 4，len= 86

n= 5，len= 1394

n= 6，len= 32134