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[原创] 小学生的难题

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发表于 2009-1-9 10:41:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
正n边形的对角线及边可构成多少个三角形(a(n))?

a(3)=1
a(4)=8
....
a(n)=?

发现情况远比想象中的麻烦,猜测a(n)=$(n-2)^3$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 10:54:06 | 显示全部楼层
a(4)=8

这么说对角线之间的交点也可作为三角形的顶点了?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2009-1-9 10:56:19 | 显示全部楼层
原帖由 gxqcn 于 2009-1-9 10:54 发表
a(4)=8

这么说对角线之间的交点也可作为三角形的顶点了?


是的.
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-1-9 11:02:20 | 显示全部楼层
n = 5是30个
单独10个
两个三角形组成的10个
3个组成10个
顶点组成5个
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2009-1-9 11:05:58 | 显示全部楼层
原帖由 无心人 于 2009-1-9 11:02 发表
n = 5是29个

似乎不止,我数一数
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发表于 2009-1-9 11:06:18 | 显示全部楼层
猜想肯定错误.n=5的时候就不对.
n=5时我们可以将三角形进行分类:
i)三个正五边形相邻顶点构成的三角形5个.
ii)三个正五边形不相邻顶点构成的三角形5个.
iii)两个正五边形相邻顶点和一个内点构成三角形(每两个相邻顶点可以确定3个三角形),共15个三角形
iv)两个正五边形不相邻顶点和一个内点构成三角形,共5个三角形
v)一个正五边形顶点和两个内点,同样5个三角形
所以n=5时总共35个三角形

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2009-1-9 11:08:37 | 显示全部楼层
n = 6的更复杂
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发表于 2009-1-9 11:09:40 | 显示全部楼层
呵呵
5的确实少算了5个
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发表于 2009-1-9 11:13:51 | 显示全部楼层
mathe列举的情况
i) + ii) = C(n,3)
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发表于 2009-1-9 11:15:24 | 显示全部楼层
有一篇讨论正多边形所有对角形形成交点和里面点的数目的文章,得到的公式非常复杂.
所以这里的东东如果也得出公式肯定要更加复杂
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