数字串的通项公式

王守恩

13^2 - 10^2 = 69。
118^2 - 115^2 = 699。
1168^2 - 1165^2 = 6999。
11668^2 - 11665^2 = 69999。
860^2   -  199^2 = 699999。——我们取最小的 1 对。
2968^2  - 1345^2 = 6999999。
686300^2-686249^2=69999999。
26468^2  - 745^2  =  699999999。
130040^2 - 99551^2 = 6999999999。
......
Table[Solve[{x^2 - y^2 == 7*10^n - 1}, {x, y}, PositiveIntegers][[1]], {n, 9}]
x={13, 118, 1168, 11668, 860, 2968, 686300, 26468, 130040, 11666666668, 205038932, 1069356968, 376344086068, 1977401130032, 131603668, 11666666666666668, 2094527840, 2382601486168, 1000468524020, 44767095441068}
Table[t = 7*10^n - 1; (# + t/#)/2 &@First@Nearest[Divisors@t, Sqrt@t], {n, 30}]——谢谢 northwolves！
y={10, 115, 1165, 11665, 199, 1345, 686249, 00745, 099551, 11666666665, 205037225, 1069353695, 376344085975, 1977401129855, 101585065, 11666666666666665, 1920168449, 2382600017185, 1000433539799, 44767087622825}
Table[t = 7*10^n - 1; Abs[(# - t/#)/2] &@First@Nearest[Divisors@t, Sqrt@t], {n, 30}]——谢谢 northwolves！

王守恩

A238712——Numbers in which squares may end (in base 10).

0, 1, 4, 5, 6, 9, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96, 100, 104, 116, 121, 124, 129, 136, 144, 156, 161, 164, 169, 176, 184, 196, 201, 204, 209, 216, 224, 225, 236, 241, 244, 249, 256, 264, 276, 281, 284, 289,

mx = 8; t = Union@Table[Mod[n^2, 10^mx], {n, 10^mx/2}]; t = Union@Flatten@Table[Mod[t, 10^m], {m, mx}]——答案是一样的。这个速度快一些。

Union@Flatten@Table[Mod[i^2, 10^n], {n, 8}, {i, 10^n}]——答案是一样的。这个速度慢一些。

王守恩

A003226——Automorphic numbers: m^2 ends with m.

1,  5,  6,  25, 76,  376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625,
40081787109376,  59918212890625,  259918212890625,  740081787109376,  3740081787109376,  6259918212890625,  43740081787109376,  56259918212890625,  256259918212890625, 743740081787109376,
2256259918212890625, 7743740081787109376, 92256259918212890625, 392256259918212890625, 607743740081787109376, 2607743740081787109376, 7392256259918212890625, 22607743740081787109376,
77392256259918212890625, 977392256259918212890625, 9977392256259918212890625, 19977392256259918212890625, 80022607743740081787109376, 380022607743740081787109376, ......}

Union[{1}, Table[PowerMod[16, 5^n, 10^n], {n, 27}], Table[PowerMod[5, 2^n, 10^n], {n, 99}]]——代码是长一些。但它是在 "生成" 答案。10^99, 电脑很快就出来了。

{1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376}

Select[Range[10^8], PowerMod[#, 2, 10^IntegerLength[#]] == # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。

典型的数学优化胜过工程优化的案例。 体现了：理解问题的数学结构往往能带来数量级的性能提升！

再来2个也不行。——OEIS不会给你说这些。

Select[Range[10^8], Mod[#^2, 10^Ceiling[Log10[#]]] == # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。

Select[Range[10^8], 10^IntegerExponent[#^2 - #, 10] > # &]——代码是短一些。但它是在 "寻找" 答案。10^9, 电脑就罢工了。

王守恩

{8, 9, 10, 18, 19, 20, 28, 29, 30, 38, 39, 40, 48, 49, 50, 58, 59, 60, 68, 69, 70, 78, 79, 80, 88, 89, 90, 98, 99, 100, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 128, 129, 130, 138, 139, 140, 148, 149, 150, 158, 159, 160, 168, 169, 170, 178, 179, 180, 188, 189}

Table[7 Ceiling[n/3] + n, {n, 60}]——超级简单！！！

王守恩

挺有想法！！！——多一个”3“。

Table[k = 10^n - 2749; {k, 3 k}, {n, 4, 20}] // TableForm

{"7251", "21753"},
{"97251", "291753"},
{"997251", "2991753"},
{"9997251", "29991753"},
{"99997251", "299991753"},
{"999997251", "2999991753"},
{"9999997251", "29999991753"},
{"99999997251", "299999991753"},
{"999999997251", "2999999991753"},
{"9999999997251", "29999999991753"},
{"99999999997251", "299999999991753"},
{"999999999997251", "2999999999991753"},
{"9999999999997251", "29999999999991753"},
{"99999999999997251", "299999999999991753"},
{"999999999999997251", "2999999999999991753"},
{"9999999999999997251", "29999999999999991753"},
{"99999999999999997251", "299999999999999991753"}

Table[k = 34*10^n + 51128; {k, 3 k}, {n, 6, 20}] // TableForm

{"34051128", "102153384"},
{"340051128", "1020153384"},
{"3400051128", "10200153384"},
{"34000051128", "102000153384"},
{"340000051128", "1020000153384"},
{"3400000051128", "10200000153384"},
{"34000000051128", "102000000153384"},
{"340000000051128", "1020000000153384"},
{"3400000000051128", "10200000000153384"},
{"34000000000051128", "102000000000153384"},
{"340000000000051128", "1020000000000153384"},
{"3400000000000051128", "10200000000000153384"},
{"34000000000000051128", "102000000000000153384"},
{"340000000000000051128", "1020000000000000153384"},
{"3400000000000000051128", "10200000000000000153384"}

王守恩

1个2位数, 任意2个数位上的数字(0只能用1次)相乘,积是偶数, 就称这个数为2位好数, 2位好数有65个。

1个3位数, 任意2个数位上的数字(0只能用1次)相乘,积是偶数, 就称这个数为3位好数, 3位好数有416个。

1个4位数, 任意2个数位上的数字(0只能用1次)相乘,积是偶数, 就称这个数为4位好数, 4位好数有2448个。

{65, 416, 2448, 13568, 71936, 368640, 1839104, 8978432, 43057152, 203423744, 948961280, 4378853376, 20015218688, 90731184128, 408290328576, 1825361100800,

Table[4^(n - 2) (5 n^2 + 14 n + 17), {n, 20}]——OEIS还没有。

简单一点。

1个2位数, 任意2个数位上的数字相乘,积是偶数, 就称这个数为2位好数, 2位好数有65个。

1个3位数, 任意2个数位上的数字相乘,积是偶数, 就称这个数为3位好数, 3位好数有425个。

1个4位数, 任意2个数位上的数字相乘,积是偶数, 就称这个数为4位好数, 4位好数有2625个。

65, 425, 2625, 15625, 90625, 515625, 2890625, 16015625, 87890625, 478515625, 2587890625, 13916015625, 74462890625, 396728515625, 2105712890625, 11138916015625,

A081040——5th binomial transform of (1,4,0,0,0,0,...).——Jan 31 2025——有这串数。没有这个条文。

Table[5^(n - 1) (4 n + 5), {n, 20}]

王守恩

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7, 2, 8, 2, 9, 3, 0, 3, ...}

a(1)=1,  1^2个数码={1},  最后一个数是1。
a(2)=4,  2^2个数码={1, 2, 3, 4},  最后一个数是4。
a(3)=9,  3^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},  最后一个数是9。
a(4)=13, 4^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1},  最后一个数是13(进1)。
a(5)=17, 5^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7},  最后一个数是17。
a(6)=23, 6^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2},  最后一个数是23(进1)。
a(7)=29, 7^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7, 2, 8, 2, 9},  最后一个数是29。
a(8)=37, 8^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7, 2, 8, 2, 9, 3, 0, 3, 1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3},  最后一个数是37(进1)。
a(9)=45, 9^2个数码={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7, 2, 8, 2, 9, 3, 0, 3, 1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3,7,3,8,3,9,4,0,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5}, 最后一个数是45。

{1, 4, 9, 13, 17, 23, 29, 37, 45, 55, 65, 77, 89, 102, 111, 122, 133, 144, 157, 170, 183, 198, 213, 228, 245, 262, 279, 298, 317, 336, 357, 378, 399, 422, 445, 468, 493, 518, 543, 570, 597, 624, 653, 682, 711, ——这串数。

A。Table[NestWhile[# + 1 &, 0, (n^2 - Total[IntegerLength /@ Range@#]) > 0 &], {n, 21}]

B。Table[Module[{k = 0, L = n^2}, While[L > 0, k++; L -= IntegerLength@k]; k], {n, 21}]

C。Table[Block[{k = 0, L = n^2}, While[L > 0, L -= IntegerLength[++k]]; k], {n, 21}]

D。Table[Block[{k = p = 0}, While[(t = p + 9 (k + 1) 10^k) <= n^2, p = t; k++]; 10^k - 1 + Ceiling[(n^2 - p)/(k + 1)]], {n, 161}]

A, B, C, D, 2楼的公式(太丑了),  都可以出来这串数。只是A速度慢了。D是最好的——n^2可以改n^3, n^4, n^5, ... n^n, 2^n, 3^n, 4^n, 5^n,  n!,  n(n+1),  n(n+1)/2, ...... 。

可以有很多OEIS没有的数字串。