一道值得深思又很难解答的数学问题

wayne

按楼主的实无穷观点理解：

在1分钟时，金币在左手也在在右手。且在这一时刻，金币一直在两手中移动，共移动了无穷（可数）次。

“金币在左手也在在右手”，仔细想起来，很怪异啊，总感觉楼主在左手和右手中来回挣扎，恨不得上帝能赐予你第三种状态：“金币既在左手也在在右手”，

wayne

很纠结，还是就题论题吧

我想大家都在谈时间与左右手空间之间的对应关系。
而因果关系是一切自然科学的基石。所以，我相信这里要讨论的关系是映射f。

设时间为空间A，其元素怎么定义呢，是连续的，还是离散的？
设左右手空间为空间B，其元素则有两个，左手，右手。

如果空间A没有定义清楚，我们怎么接着讨论问题？

假如，时间，即空间A的元素定义为连续的。
那问题就成了，如果给定空间A,B，求f(A0)
So, f是什么呢?

仙剑魔

嘛。。。
这种牵涉到连续和离散的问题总是很纠结。。。
1分钟这个时刻本身在理论上就是无法达到的。。。
极限存在并不表示那个值确实存在
我倾向于时间是离散的，1分钟这个设定在数学上和物理上其实都不行。。。
我建议LZ还是研究“1/2这个时刻金币是在左手还是右手”更为现实一点。。。

sheng_jianguo

　　数学研究的应是“客观存在”的本质关系，而不仅是人类“现实存在”的关系，比如，数学可以讨论n维的球，它在现实中是不存在的，不能由此说关于n维球的结论都是不对的。
　　回到本问题，如果归结为数学问题，则为：
已知关系F满足，当x∈[0,1/2)时F(x)=0，当x∈[1/2,3/4)时F(2)=1, 当x∈[3/4,7/8)时F(2)=0,…
求lim(x-->1)F(x)
　　问题好像很简单，只要学过极限的人都知道lim(x-->1)F(x)是不存在的。
　　但问题远远没那么简单，理由如下：
　　经典分析lim(x-->1)F(x)是不存在的是否一定不存在呢？数学不是在学校或书本上学到的知识，数学是人类认识最本质关系过程中不断完善的知识。在很久以前，“数学”告诉人们：所有的数都是有理数，无理数是不存在的。但现在，有那一个正真学数学的人会认为√2不存在呢？
　　另一方面，现在学极限（无穷分析）时，一般只分析极限存在的情况，对于按通常定义极限不存在的情况，说它不存在就不管了，没有仔细研究极限不存在的本质原因。如果修改通常极限定义，情况又会如何呢？下面举数列和函数极限新定义（其它极限可类似推出）：
由数列An定义集合A={a|任给ε,N＞0,存在n,满足n＞N,|An-a|＜ε}，当A为单点集合{a}时，lim(n-->∞)An=a，否则 lim(n-->∞)An=A。
由函数f(x),x0定义集合B={y|任给ε,δ＞0,存在x,满足|x-x0|＜δ,|f(x)-y|＜ε}，当B为单点集合{y}时，lim(x-->x0)f(x)=y，否则 lim(x-->x0)f(x)=B。
按新定义,有lim(x-->1)F(x)={0,1}
　　当通常定义极限存在时，修改前后算出的结果是相同的。当通常定义极限不存在时，修改前无法计算，修改后就可计算出结果了，比如，lim(n-->∞)(-1)^n={1,-1}。

　　发挥您的想象力，想象一下lim(x-->1)F(x)的情形是一件非常美妙的事情。

mathe

数学是数学,没有必要同物理混在一起.
其实这个就是如何去描述这个序列在n趋向无穷时的行为.分析里面还是定义过一些更加广义的极限的.不同的定义会有不同的结果.

winxos

如果你左手有一枚金币，假定有台时间机器（按时间精确运行机器）启动后在1/2分钟时将金币从左手移到右手，金币在移动中不花费时间（理论上是可行的）。
又过了1/4分钟时将金币从右手移到左手，又过了1/8分钟时将金币 ...
sheng_jianguo 发表于 2009-7-21 15:32

在“推理的迷宫”这本书里面，提到了并解决了类似的问题。
推荐楼主看看。
丛书名字叫 “盗火者译丛”

sheng_jianguo

在“推理的迷宫”这本书里面，提到了并解决了类似的问题。
推荐楼主看看。
丛书名字叫 “盗火者译丛”
winxos 发表于 2009-8-15 16:21

谢谢！我找不到这本书，不知此书是否有电子版的？

仙剑魔

　
数学研究的应是“客观存在”的本质关系，而不仅是人类“现实存在”的关系，比如，数学可以讨论n维的球，它在现实中是不存在的，不能由此说关于n维球的结论都是不对的。
　　回到本问题，如果归结为数学问题，则为：
已知关系F满足，当x∈[0,1/2)时F(x)=0，当x∈[1/2,3/4)时F(2)=1, 当x∈[3/4,7/8)时F(2)=0,…
求lim(x-->1)F(x)
　　问题好像很简单，只要学过极限的人都知道lim(x-->1)F(x)是不存在的。
　　但问题远远没那么简单，理由如下：
　　经典分析lim(x-->1)F(x)是不存在的是否一定不存在呢？数学不是在学校或书本上学到的知识，数学是人类认识最本质关系过程中不断完善的知识。在很久以前，“数学”告诉人们：所有的数都是有理数，无理数是不存在的。但现在，有那一个正真学数学的人会认为√2不存在呢？
　　另一方面，现在学极限（无穷分析）时，一般只分析极限存在的情况，对于按通常定义极限不存在的情况，说它不存在就不管了，没有仔细研究极限不存在的本质原因。如果修改通常极限定义，情况又会如何呢？下面举数列和函数极限新定义（其它极限可类似推出）：
由数列An定义集合A={a|任给ε,N＞0,存在n,满足n＞N,|An-a|＜ε}，当A为单点集合{a}时，lim(n-->∞)An=a，否则 lim(n-->∞)An=A。
由函数f(x),x0定义集合B={y|任给ε,δ＞0,存在x,满足|x-x0|＜δ,|f(x)-y|＜ε}，当B为单点集合{y}时，lim(x-->x0)f(x)=y，否则 lim(x-->x0)f(x)=B。
按新定义,有lim(x-->1)F(x)={0,1}
　　当通常定义极限存在时，修改前后算出的结果是相同的。当通常定义极限不存在时，修改前无法计算，修改后就可计算出结果了，比如，lim(n-->∞)(-1)^n={1,-1}。

　　发挥您的想象力，想象一下lim(x-->1)F(x)的情形是一件非常美妙的事情。

本文转自：数学研发论坛(bbs.emath.ac.cn)

真美妙。。。
等LZ把=换成∈我再来认同LZ。。。

winxos

谢谢！我找不到这本书，不知此书是否有电子版的？
sheng_jianguo 发表于 2009-8-17 08:29

这本书电子版比较难找,
你可以到豆瓣网上去了解一下这本书,
那上面有一些介绍.

sheng_jianguo

真美妙。。。
等LZ把=换成∈我再来认同LZ。。。
仙剑魔 发表于 2009-8-17 10:40

在数学计算中，=后面的东西都是确定的，故我将极限(新)定义为 lim(x-->x0)f(x)=B。
如果您认为=后面的东西都可以是不确定的，那也可以定义 lim(x-->x0)f(x)∈B。