将正整数分解为不超过3个因子之积

王守恩 · 发表于 2022-12-11 17:18:20

偶数分拆为 2 个素数之和, 恰好有 n 种分拆方式，我们取其中最小的那个数。

a(1)=04: 02+02,
a(2)=10: 03+07, 05+05,
a(3)=22: 03+19, 05+17, 11+11,
a(4)=36: 05+31, 07+29, 13+23, 17+19,
a(5)=48: 05+43, 07+41, 11+37, 17+31, 19+29,
a(6)=60: 07+53, 13+47, 17+43, 19+41, 23+37, 29+31,
a(7)=78: 05+73, 07+71, 11+67, 17+61, 19+59, 31+47, 33+43,

得到一串数: 4,10,22,36,48,60,78,......

这可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

各位可有好的编程，来几个？开开眼。

northwolves · 发表于 2022-12-12 12:25:21

a(4)=34: 03+31, 05+29, 11+23, 17+17

northwolves · 发表于 2022-12-12 12:26:15

a(1)-a(10000)

northwolves · 发表于 2022-12-12 12:40:23

from sympy import isprime,primerange
def a(n):
for k in range(4,2000,2):
if sum(1 for p in list(primerange(2,k//2+1)) if isprime(k-p))==n:
return(k)
print([a(n) for n in range(1,51)])

复制代码

[4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, 114, 144, 120, 168, 180, 234, 246, 288, 240, 210, 324, 300, 360, 474, 330, 528, 576, 390, 462, 480, 420, 570, 510, 672, 792, 756, 876, 714, 798, 690, 1038, 630, 1008, 930, 780, 960, 870, 924, 900, 1134, 1434]

王守恩 · 发表于 2022-12-12 12:44:32

将区间 [6，n] 所有正整数表示为 3 个不同正整数之和的方法数。

a(6)=01: 1+2+3,
a(7)=04: 1+2+3, 1+2+4, 1+3+3, 2+2+3,
a(8)=08: 1+2+3, 1+2+4, 1+3+3, 2+2+3,1+2+5, 1+3+4, 2+2+4,2+3+3,
a(9)=13: 1+2+3, 1+2+4, 1+3+3, 2+2+3,1+2+5, 1+3+4, 2+2+4,2+3+3, ......

得到一串数:

1, 4, 8, 13, 20, 28, 38, 50, 64, 80, 99, 120, 144, 171, 201, 234, 271, ......

OEIS应该有的，可惜找不到。

各位好友: 通项公式应该怎么写？

northwolves · 发表于 2022-12-12 16:11:41

3 个不同正整数之和的方法数?

将区间 [6，n] 所有正整数表示为 3 个不同正整数之和的方法数。

a(7)=04: 1+2+3, 1+2+4, 1+3+3, 2+2+3,

王守恩 · 发表于 2022-12-12 16:27:36

northwolves 发表于 2022-12-12 16:11
3 个不同正整数之和的方法数?

a(n) 表示将区间 [6，n] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。

a(6)表示将区间 [6，6] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。
a(7)表示将区间 [6，7] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。
a(8)表示将区间 [6，8] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。
a(9)表示将区间 [6，9] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。

王守恩 · 发表于 2022-12-12 18:51:50

本帖最后由王守恩于 2022-12-13 06:13 编辑

谢谢 northwolves！整理一下，宝贵的资料。开了眼。谢谢 northwolves！

偶数分拆为 2 个素数之和, 恰好有 n 种分拆方式，我们取其中最小的那个数。

a(1)=04: 2+02,
a(2)=10: 3+07, 05+05,
a(3)=22: 3+19, 05+17, 11+11,
a(4)=34: 3+31, 05+29, 11+23, 17+17,
a(5)=48: 5+43, 07+41, 11+37, 17+31, 19+29,
a(6)=60: 7+53, 13+47, 17+43, 19+41, 23+37, 29+31,
a(7)=78: 5+73, 07+71, 11+67, 17+61, 19+59, 31+47, 33+43,

A023036 偶数分拆为 2 个素数之和, 恰好有 n 种分拆方式，我们取其中最小的那个数。
4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, 114, 144, 120, 168, 180, 234, 246, 288, 240, 210, 324, 300, 360, 474, 330, 528, 576, 390, 462, 480, 420, 570, 510, 672, 792, 756, 876, 714,
798, 690, 1038, 630, 1008, 930, 780, 960, 870, 924, 900, 1134, 1434, 840, 990, 1302, 1080, 1230, 1518, 1050, 1140, 1386, 1290, 1380, 1554, 1896, 1596, 1620, 1320, 1500,
1260, 1530, 1848, 1590, 1560, 1470, 2508, 1800, 1650, 2244, 1710, 2160, 2652, 1920, 1980, 1680, 2010, 2040, 2250, 2478, 2688, 2838, 2220, 1890, 2280, 2460, 2340, 2580,
3534, 2100, 2610, 2550, 2700, 2772, 3066, 3498, 2790, 3366, 4002, 2640, 3588, 2760, 2850, 3978, 2520, 3060, 2310, 3390, 2970, 3120, 4032, 3420, 3300, 3948, 2940, ......
f[n_] :=Length@Select[2n - Prime@Range@PrimePi@n, PrimeQ]; nn=100; t=Table[0, {nn}]; k=1; cnt=0; While[cnt < nn, a=f@k; If[a <=nn && t[[a]]==0, t[[a]] =2k; cnt++]; k++]; t

A109679 偶数分拆为 2 个素数之和, 可以有 n 种分拆方式，我们取其中最小的那个数。
4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, 114, 120, 168, 180, 210, 300, 330, 390, 420, 510, 630, 780, 840, 990, 1050, 1140, 1260, 1470, 1650, 1680, 1890, 2100, 2310, 2730, 3150, 3570,
3990, 4200, 4410, 4620, 5250, 5460, 6090, 6510, 6930, 7980, 8190, 9030, 9240, 10290, 10710, 10920, 11550, 13020, 13650, 13860, 15330, 15540, 15960, 16170, 17850, ......
f[n_] := Length[Select[n - Prime@Range@PrimePi[n/2], PrimeQ]]; t = {}; mxm = -1; Do[If[f[n] > mxm, AppendTo[t, n]; mxm = f[n]], {n, 4, 12000, 2}]; t

偶数分拆为 2 个素数之和, 可以有 A 种分拆方式。这里A=18
240, 366, 372, 560, 620, 640, 704, 740, 746, 772, 784, 812, 836, \842, 860, 872, 886, 916, 926, 928, 938, 944, 964, 1004, 1006, 1016, 1022, 1028, 1052, 1088, 1096, 1142, 1172, 1238, 1412,...
f[n_] := Count[ IntegerPartitions[n, {2}], _?(And @@ PrimeQ[#] &)]; Select[Range[1000], f[#] == A &]

a(3)=1: 3+03,
a(4)=1: 3+05,
a(5)=2: 3+07, 5+05,
a(6)=1: 5+07,
a(7)=2: 3+11, 7+07,
a(8)=2: 3+13, 5+11,
a(9)=2: 5+13, 7+11,
{1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5, 8, 5, 4, 9, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 10, 6, 6, 12, 4, 5, 10, 3, 7, 9, 6, 5, 8, 7,
8, 11, 6, 5, 12, 4, 8, 11, 5, 8, 10, 5, 6, 13, 9, 6, 11, 7, 7, 14, 6, 8, 13, 5, 8, 11, 7, 9, 13, 8}
Table[Count[IntegerPartitions[2 n, {2}], _?(AllTrue[#, PrimeQ] && FreeQ[#, 2] &)], {n, 3, 100}]

northwolves · 发表于 2022-12-12 23:50:12

王守恩发表于 2022-12-12 12:44
将区间 [6，n] 所有正整数表示为 3 个不同正整数之和的方法数。

a(6)=01: 1+2+3,

Expansion of 1/((1-x)^2*(1-x^2)*(1-x^3)).

[1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 102, 123, 147, 174, 204, 237, 274, 314, 358, 406, 458, 514, 575, 640, 710, 785, 865, 950, 1041, 1137, 1239, 1347, 1461, 1581, 1708, 1841, 1981, 2128, 2282, 2443, 2612, 2788, 2972, 3164, 3364, 3572, 3789, 4014, 4248, 4491, 4743, 5004, 5275, 5555, 5845, 6145, 6455, 6775, 7106, 7447, 7799, 8162, 8536, 8921, 9318, 9726, 10146, 10578, 11022, 11478, 11947, 12428, 12922, 13429, 13949, 14482, 15029, 15589, 16163, 16751, 17353, 17969, 18600, 19245, 19905, 20580, 21270, 21975, 22696, 23432, 24184, 24952, 25736, 26536, 27353, 28186, 29036, 29903]

王守恩 · 发表于 2022-12-13 17:25:11

northwolves 发表于 2022-12-12 23:50
Expansion of 1/((1-x)^2*(1-x^2)*(1-x^3)).

[1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 102, 123 ...

(2), a(n) 表示将区间 [3，n] 的正整数拆分为 2 个不同正整数之和的方法数。

a(03)=01: 1+2,
a(04)=02: 1+2, 1+3,
a(05)=04: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3,
a(06)=06: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 1+5, 2+4,
a(07)=09: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 1+5, 2+4, 1+6, 2+5, 3+4,
a(08)=12: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 1+5, 2+4, 1+6, 2+5, 3+4, 1+7, 2+6, 3+5,
a(09)=16: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 1+5, 2+4, 1+6, 2+5, 3+4, 1+7, 2+6, 3+5, 1+8, 2+7, 3+6, 4+5,
a(10)=20: 1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 1+5, 2+4, 1+6, 2+5, 3+4, 1+7, 2+6, 3+5, 1+8, 2+7, 3+6, 4+5, 1+9, 2+8, 3+7, 4+6,

{1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196, 210, 225, 240, 256,  272, 289, 306, 324, 342}

CoefficientList[Series[\(\D\frac{1}{1-x}\prod_{k=1}^2\frac{1}{1-x^k}\), {x, 0, 40}], x]    或: Table[\(\D\sum_{k=0}^{n-3}\)Length@IntegerPartitions[k, 2], {n, 3, 50}]

(3), a(n) 表示将区间 [6，n] 的正整数拆分为 3 个不同正整数之和的方法数。

a(06)=01: 1+2+3,
a(07)=02: 1+2+3, 1+2+4,
a(08)=04: 1+2+3, 1+2+4, 1+2+5, 1+3+4,
a(09)=07: 1+2+3, 1+2+4, 1+2+5, 1+3+4, 1+2+6, 1+3+5, 2+3+4,
a(10)=11: 1+2+3, 1+2+4, 1+2+5, 1+3+4, 1+2+6, 1+3+5, 2+3+4, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5,
a(11)=16: 1+2+3, 1+2+4, 1+2+5, 1+3+4, 1+2+6, 1+3+5, 2+3+4, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5, 1+2+8, 1+3+7, 1+4+6, 2+3+6, 2+4+5,
a(12)=23: 1+2+3, 1+2+4, 1+2+5, 1+3+4, 1+2+6, 1+3+5, 2+3+4, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5, 1+2+8, 1+3+7, 1+4+6, 2+3+6, 2+4+5, 1+2+9, 1+3+8,1+4+7, 1+5+6, 2+3+7, ...

{1, 2, 4, 7, 11, 16, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 102, 123, 147, 174, 204, 237, 274, 314, 358, 406, 458, 514, 575, 640, 710, 785, 865, 950, 1041, 1137, 1239, 1347}

CoefficientList[Series[\(\D\frac{1}{1-x}\prod_{k=1}^3\frac{1}{1-x^k}\), {x, 0, 40}], x]    或: Table[\(\D\sum_{k=0}^{n-6}\)Length@IntegerPartitions[k, 3], {n, 6, 50}]

(4), a(n) 表示将区间 [10，n] 的正整数拆分为 4 个不同正整数之和的方法数。

a(10)=01: 1+2+3+4,
a(11)=02: 1+2+3+4, 1+2+3+5,
a(12)=04: 1+2+3+4, 1+2+3+5, 1+2+3+6, 1+2+4+5,
a(13)=07: 1+2+3+4, 1+2+3+5, 1+2+3+6, 1+2+4+5, 1+2+3+7, 1+2+4+6, 1+3+4+5,
a(14)=12: 1+2+3+4, 1+2+3+5, 1+2+3+6, 1+2+4+5, 1+2+3+7, 1+2+4+6, 1+3+4+5, 1+2+3+8, 1+2+4+7, 1+2+5+6, 1+3+4+6, 2+3+4+5,
a(15)=18: 1+2+3+4, 1+2+3+5, 1+2+3+6, 1+2+4+5, 1+2+3+7, 1+2+4+6, 1+3+4+5, 1+2+3+8, 1+2+4+7, 1+2+5+6, 1+3+4+6, 2+3+4+5, 1+2+3+9, 1+2+4+8, 1+2+5+7, 1+3+4+7, ...

{1, 2, 4, 7, 12, 18, 27, 38, 53, 71, 94, 121, 155, 194, 241, 295, 359, 431, 515, 609, 717, 837, 973, 1123, 1292, 1477, 1683, 1908, 2157, 2427, 2724, 3045, 3396}

CoefficientList[Series[\(\D\frac{1}{1-x}\prod_{k=1}^4\frac{1}{1-x^k}\), {x, 0, 40}], x]    或: Table[\(\D\sum_{k=0}^{n-10}\)Length@IntegerPartitions[k, 4], {n, 10, 50}]

(5), a(n) 表示将区间 [15，n] 的正整数拆分为 5 个不同正整数之和的方法数。

a(15)=01: 1+2+3+4+5,
a(16)=02: 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+6,
a(17)=04: 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+6, 1+2+3+4+7, 1+2+3+5+6,
a(18)=07: 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+6, 1+2+3+4+7, 1+2+3+5+6, 1+2+3+4+8, 1+2+3+5+7, 1+2+4+5+6,
a(19)=12: 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+6, 1+2+3+4+7, 1+2+3+5+6, 1+2+3+4+8, 1+2+3+5+7, 1+2+4+5+6, 1+2+3+4+9, 1+2+3+5+8, 1+2+3+6+7, 1+2+4+5+7, 1+3+4+5+6,

{1, 2, 4, 7, 12, 19, 29, 42, 60, 83, 113, 150, 197, 254, 324, 408, 509, 628, 769, 933, 1125, 1346, 1601, 1892, 2225, 2602, 3029, 3509, 4049, 4652, 5326, 6074, 6905}

CoefficientList[Series[\(\D\frac{1}{1-x}\prod_{k=1}^5\frac{1}{1-x^k}\), {x, 0, 40}], x]    或: Table[\(\D\sum_{k=0}^{n-15}\)Length@IntegerPartitions[k, 5], {n, 15, 50}]

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[讨论] 将正整数分解为不超过3个因子之积

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