这样的A有多少个？

王守恩

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。

1个5, x最小=5,
2个5, x最小=505,
3个5, x最小=500505,
4个5, x最小=5005050005,
5个5, x最小=500050500005005,
6个5, x最小=5000050050000005000505,
7个5, x最小=5000050005005000000000500000505,
.....
没有规律！不过就是没有规律才有魅力！

王守恩

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。
老规矩。我们还是想找个无限数字串。先来个引子。

1,
3,1,
2,4,1,
2,6,3,1,
2,4,9,3,1,
2,4,13,6,3,1,
2,4,9,19,6,3,1,
2,4,9,27,13,6,3,1,
2,4,9,19,39,13,6,3,1,
2,4,9,19,55,27,13,6,3,1,
2,4,9,19,39,79,27,13,6,3,1,
2,4,9,19,39,111,55,27,13,6,3,1,
......
其中: 4, 9, 19, 39, 79, 159, 319, 639, 1279,...=5*2^n-1
      6, 13, 27, 55, 111, 223, 447, 895, 1791,...=7*2^n-1

northwolves

northwolves 发表于 2024-3-2 21:01
能再来2个？谢谢！
---------------------------
94867796958167

{3,83,313,94863,298327,987917,3162083,29983327,99477133,99483667,994927133,2983284917,2999833327,28105157886,99497231067,244272388937,3160522105583,29999983333327,89324067192437,94867796958167,2641018364192114,9949874270443813,31622774688331667,299999998333333327,707106074079263583,758946572361980563,943345110232670883,29964628614384477133,94180040294109027313,2976388751488907738914,312713447088224669275583,893241282627485818275387,314610537013606681884298837387,9984988582817657883693383344833}

northwolves

王守恩 发表于 2024-3-6 15:52
A*A=n位数,  A*A各个数位上最大数码和=a(n)。
a(01)=9,A=3,
a(02)=13,A=7,

1        9        3
2        13        7
3        19        17
4        31        83
5        40        313
6        46        836
7        54        3114
8        63        8937
9        70        29614
10        81        94863
11        88        298327
12        97        987917
13        106        3162083
14        112        9893887
15        121        29983327
16        130        99477133
17        136        197483417
18        148        994927133
19        154        2983284917
20        162        9380293167
21        171        28105157886
22        180        99497231067
23        187        244272388937
24        193        926174913167
25        205        3160522105583
26        211        9892825177313
27        220        29999983333327
28        229        89324067192437
29        235        314451904109293
30        244        943291047332683
31        253        2641018364192114
32        262        9949874270443813
33        271        31622774688331667
34        277        83066231922477313
35        286        299999998333333327
36        297        707106074079263583
37        301        2785480209927724417
38        310        9429681807356492126
39        319        29964628614384477133
40        331        94180040294109027313

王守恩

northwolves 发表于 2024-3-6 17:31
1        9        3
2        13        7
3        19        17

很好的数字串。4k+3与100#的分数吻合(11,15,19,23,27,31,35,39)。
我们无法精准计算a(n),但我们可以预估a(n)的趋势(为了减少计算量)。
只要a(n)在慢慢长大,相应可以调整 4k+2,4k+1,4k+0(太差劲)。
100#用的是极限性价比(数码和: 数位)=33:4,  慢慢再来找更好的性价比。
譬如:42/5,50/6,59/7,67/8,76/9,84/10,93/11,101/12,...
有了这串数会倒逼我们去想：
a(n)好像在慢慢长大, 不会有a(n+1)<a(n), 为什么？
如果我们只要这串数前半部分。可以再来几项吗？谢谢！

northwolves

$a(n) \approx \frac{11(3n-1)}{4}$

northwolves

王守恩 发表于 2024-3-6 18:39
很好的数字串。4k+3与100#的分数吻合(11,15,19,23,27,31,35,39)。
我们无法精准计算a(n),但我们可以预估a ...

$a(n) \approx \frac{11(3n-1)}{4}$

王守恩

x由数码0, 5组成(个位数=5)，x*x由数码0, 2, 5组成。
老规矩。我们还是想找个无限数字串。先来个引子。

1=505,
2,1=500505,
2,4,1=50050000505,
3,1,4,2=500050500005005,
4,2,6,3,1,
6,3,1,11,4,2
9,4,2,13,6,3,1,
13,6,3,1,19,9,4,2
19,9,4,2,27,13,6,3,1,
27,13,6,3,1,39,19,9,4,2
39,19,9,4,2,55,27,13,6,3,1,
55,27,13,6,3,1,79,39,19,9,4,2
79,39,19,9,4,2,111,55,27,13,6,3,1,
111,55,27,13,6,3,1,159,79,39,19,9,4,2,
......
{4, 6, 9, 13, 19, 27, 39, 55, 79, 111, 159, 223, 319, 447, 639, 895, 1279, 1791, 2559, 3583, 5119, 7167}

1. Table[(6 - Cos[n*Pi]) 2^Floor[n/2] - 1, {n, 0, 28}]

复制代码

还有比这更短的无限数字串？好像没有了。

王守恩

northwolves 发表于 2024-3-6 17:31
1        9        3
2        13        7
3        19        17

谢谢 mathe！47#有后面的数据。
A*A=n位数,  A*A各个数位上最大数码和=a(n)。
n     预估值--正确值    A
01             --009        3,
02             --013        7,
03        022--019        17,
04        016--031        83,
05        031--040        313,
06        040--046        836,
07        055--054        3114,
08        049--063        8937,
09        064--070        29614,
10        073--081        94863,
11        088--088        298327,
12        082--097        987917,
13        097--106        3162083,
14        106--112        9893887,
15        121--121        29983327,
16        115--130        99477133,
17        130--136        197483417,
18        139--148        994927133,
19        154--154        2983284917,
20        148--162        9380293167,
21        163--171        28105157886,
22        172--180        99497231067,
23        187--187        244272388937,
24        181--193        926174913167,
25        196--205        3160522105583,
26        205--211        9892825177313,
27        220--220        29999983333327,
28        214--229        89324067192437,
29        229--235        314451904109293,
30        238--244        943291047332683,
31        253--253        2641018364192114,
32        247--262        9949874270443813,
33        262--271        31622774688331667,
34        271--277        83066231922477313,
35        286--286        299999998333333327,
36        280--297        707106074079263583,
37        295--301        2785480209927724417,
38        304--310        9429681807356492126,
39        319--319        29964628614384477133,
40        313--331        94180040294109027313,
41        328--334        223584183022838178583,              ?
42        337--343        888142995231510436417,
43        352--355        2976388751488907738914,  
44        346--360        8882505274864168010583,
45        361--367        24490814584000030724417,
46        370--378        99689518004050952477133,
47        385--388        312713447088224669275583,   
48        379--397        893241282627485818275387,
49        394--  ?                         ?         
50        403--  ?                         ?         
51        418--  ?                         ?         
52        412--  ?                         ?         
53        427--  ?                         ?         
54        436--  ?                         ?         
55        451--  ?                         ?         
56        445--  ?                         ?         
57        460--  ?                         ?         
58        469--  ?                         ?         
59        484--487        314610537013606681884298837387,        
60        478--  ?                         ?         
61        493--  ?                         ?         
62        502--513        9984988582817657883693383344833,        
63        517--  ?                         ?  
......   
预估值计算公式(详见100#)。  

1. Table[(66 n + 27 Cos[n*Pi] - 33 Cos[2 n*Pi] + 15 ((1 - I) (-I)^n + (1 + I) I^n) + 152)/(8 (n + 3)), {n, 0, 60}]

复制代码

{22/3, 4, 31/5, 20/3, 55/7, 49/8, 64/9, 73/10, 8, 41/6, 97/13, 53/7, 121/15, 115/16, 130/17, 139/18, 154/19, 37/5, 163/21, 86/11, 187/23, 181/24,
196/25, 205/26, 220/27, 107/14, 229/29, 119/15, 253/31, 247/32, 262/33, 271/34, 286/35, 70/9, 295/37, 8, 319/39, 313/40, 8, 337/42, 352/43, 173/22,
361/45, 185/23, 385/47, 379/48, 394/49, 403/50, 418/51, 103/13, 427/53, 218/27, 41/5, 445/56, 460/57, 469/58, 484/59, 239/30, 493/61, 251/31, 517/63}

northwolves

先列几组候选数字，看看最终能对几个：

n=49;a(49)=396,2999999833333143684778167

n=50;a(50)=406,9989444428895912224658167

n=51;a(51)=409,31288943732571046469012083

n=52;a(52)=423,94815604723008484168010583