这样的A有多少个？

王守恩

northwolves 发表于 2024-2-26 08:04
789的找到一个：$9949370777987917^2 =98989978877879888789778997998889$

9949370777987917^2=98989978877879888789778997998889=259/32>8(平均数=性价比),
5375861596060663^2=28899887899999898999999975999569=259/32>8(平均数=性价比),
详见--mathe--26#--259(115),同样的性价比:32*9-259=29,底数不一样了。
mathe--26#的这些数太超前了！
A164841,A360803没有这些数。
A164841                Numbers whose squares have a digit average greater than 8.
A360803                Numbers whose squares have a digit average of 8 or more.
A164842                Numbers n with property that average digit of n^2 is less than 1.
“但存方寸地，留与子孙耕”。

northwolves

Sporadic solutions

王守恩

northwolves 发表于 2024-2-26 12:28
Sporadic solutions

说到性价比。46#数字串(2)极限性价比(数码和: 数位)=33:4。性价比8比较靠前，厉害在于这是一个无限数串，流畅！提交OEIS毫不逊色。

1. 数字串(2)。Table[k = 3*10^(2 n - 1) - (5*10^n + 19)/3; {k, k^2}, {n, 3, 20}] // TableForm

复制代码

{"298327", "88998998929"},
{"29983327", "898999897988929"},
{"2999833327", "8998999989779888929"},
{"299998333327", "89998999998977798888929"},
{"29999983333327", "899998999999897777988888929"},
{"2999999833333327", "8999998999999989777779888888929"},
{"299999998333333327", "89999998999999998977777798888888929"},
{"29999999983333333327", "899999998999999999897777777988888888929"},
{"2999999999833333333327", "8999999998999999999989777777779888888888929"},
{"299999999998333333333327", "89999999998999999999998977777777798888888888929"},
{"29999999999983333333333327", "899999999998999999999999897777777777988888888888929"},
{"2999999999999833333333333327", "8999999999998999999999999989777777777779888888888888929"},
{"299999999999998333333333333327", "89999999999998999999999999998977777777777798888888888888929"},
{"29999999999999983333333333333327", "899999999999998999999999999999897777777777777988888888888888929"},
{"2999999999999999833333333333333327", "8999999999999998999999999999999989777777777777779888888888888888929"},
{"299999999999999998333333333333333327", "89999999999999998999999999999999998977777777777777798888888888888888929"},
{"29999999999999999983333333333333333327", "899999999999999998999999999999999999897777777777777777988888888888888888929"},
{"2999999999999999999833333333333333333327", "8999999999999999998999999999999999999989777777777777777779888888888888888888929"}

1. Table[11 (3 n - 1)/(4 n - 1), {n, 3, 20}]

复制代码

{8, 121/15, 154/19, 187/23, 220/27, 253/31, 286/35, 319/39, 352/43, 385/47, 418/51, 41/5, 484/59, 517/63, 550/67, 583/71, 616/75, 649/79}

你还能再找一个？

northwolves

您试试推导一个期望值

mathe

northwolves 发表于 2024-2-26 14:59
您试试推导一个期望值

近似估计不难，我们可以只平方数为考虑(2n-1)位和2n位数，那么这样的平方数数目为$10^n-10^{n-1}$,
所以任意一个2n-1为和2n位数是平方数概率大概为$\frac{10^n-10^{n-1}}{10^{2n}-10^{2n-2}}=\frac1{10^n+10^{n-1}}$.
而所有位数都是7,8,9的数的2n-1和2n位数数目为$3^{2n}+3^{2n-1}$,所以平方数的期望值大概为$\frac{3^{2n}+3^{2n-1}}{10^n+10^{n-1}} $ 显然通项趋向0，约等于一个等比接近9/10的等比数列
对于n=20，也就是平方数是39或40位，对应期望数目大概为0.147，后面所有项累加起来概率大概为这个数目的10倍左右，所以按期望总共只有1个数了。

王守恩

northwolves 发表于 2024-2-24 13:54
3        9        9
707106074079263583        499998999999788997978888999589997889        33/4
943345110232670883        889899996999 ...

太伟大了！根本就是 “鹤立鸡群”！ T(57)=A(26)=9984988582817657883693383344833性价比=513/68。  想不出 “聪明人” 是怎么把这个数找出来的(62#也是这样想的)。

1. Table[Total[IntegerDigits[n^2]], {n, 9984988582817657883693383344800, 9984988582817657883693383344833}]

复制代码

{369, 403, 358, 414, 418, 379, 387, 397, 400, 387, 385, 349, 405, 400, 388, 396, 397, 400, 396, 376, 385, 378, 382, 379, 396, 397, 418, 432, 394, 385, 423, 409, 370, 513}

1. Table[Total[IntegerDigits[n^2]], {n, 9984988582817657883693383344833, 9984988582817657883693383346900}]

复制代码

{513, 433, 364, 432, 394, 403, 414, 382, 370, 414, 415, 391, 396, 403, 394, 387, 382, 361, 396, 397, 382, 387, 403, 403, 405, 391, 397, 387, 397, 373, ......

王守恩

northwolves 发表于 2024-2-24 13:54
3        9        9
707106074079263583        499998999999788997978888999589997889        33/4
943345110232670883        889899996999 ...

谢谢northwolves！看50#:  314610537013606681884298837387——98979789999989979988999999989499999797975998897999868987769——487/59
联接63#:  可知T(54)的搜索范围。
T(52)T=57
T(52)+=58
T(53) -=
T(53)T=58
T(53)+=
T(54) -=59{299999999999998333333333333327}{89999999999998999999999999998977777777777798888888888888929}484/59——46#数字串(2)
T(54)T=59{299999999999998333333333333329, 314610537013606681884298837386}=486/54=T(54)——可以肯定这个=T(54), 还可以肯定这个≠A(24,25)。——62#
T(54)+=59{314610537013606681884298837387}{98979789999989979988999999989499999797975998897999868987769}487/59——50#
T(55) -=
T(55)T=60
T(55)+=
T(56) -=62
T(56)T=61

northwolves

{4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 21, 22, 26, 173, 212, 235, 264, 3114, 81619}^2 = {16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 144, 225, 441, 484, 676, 29929, 44944, 55225, 69696, 9696996, 6661661161}

northwolves

9949370777987917竟然是个素数！

mathe

northwolves 发表于 2024-2-26 08:04
oeis搜索了一下，只有两项：

A058471                Numbers k such that k^2 contains only digits {7,8,9}.       

如同主贴，这个问题一方面我们可以搜索平方数尾数必须是7/8/9的数来缩小范围，另外一方面，也可以搜索开头平方数若干位必须是7/8/9来缩小搜索范围。但是即使这样，计算复杂度也很高。
那么能否结合两部分的优点呢？
我们可以先搜索所有平方末尾K位都是7/8/9的不超过k位整数，数目约2*3^k, 排序保存。
然后我们穷举平方数开头K位也都是7/8/9的数，而且让这些数的长度合适，使得它的开头k位和结尾k位保持部分重叠，我们可以利用重叠部分数据在第一个表格里面查找重叠部分数据然后枚举这些数据即可。
利用这种方案，选择k=14,整数长度不超过25，可以在80核处理器上数分中验证10^25之内只有两个数。
现在改为k=16,整数长度不超过29，预计需要4小时左右处理完