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[讨论] 关于单位分数的一些难题

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发表于 2010-1-9 13:37:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
设 $1<x_1<x_2<x_3<...<x_n$ , 且均为正整数,若设s(n)为方程
$1/x_1+1/x_2+....+1/x_n+1/{x_1*x_2...x_n}=1$       .......(1)
的解数.
       1. 求$s(7),s(8),s(9),s(10)$的全部解?
        2.若还需要限定$x_1,x_2,...,x_n $均为素数,则
       $s(n) (n=9--20) $内有哪些n有解,其解为多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-1-9 13:57:48 | 显示全部楼层
以上问题摘自<单位分数>(柯召,孙琦著)(限于相当难度,只讨论n=7....20)
对于第1问,有
$s(1)=1{x_1=2}$
$s(2)=1{x_1=2,x_2=3}$
$s(3)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7}$
$s(4)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43}$
$s(5)=3{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395}$
$s(6)=8{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1823,x_6=193667}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=403,x_6=19403}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=583,x_6=1223}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807,x_6=3263443$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=415,x_6=8111}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395,x_6=779731}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=55,x_5=179,x_6=2432}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31,x_6=47059}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-1-9 13:58:45 | 显示全部楼层
集合${x_{1},x_{2},...,x_{n}}$,记$S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}$。
满足如下条件:
$S/{x_{i}}=-1 mod x_{i}$  $(1<=i<=n)$
的集合如何快速求取?
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 楼主| 发表于 2010-1-9 14:14:52 | 显示全部楼层
对于第(2)问
已有结果:
               s(2)=1     {2,3}
               s(3)=1     {2,3,7}
               s(4)=1     {2,3,7,43}
               s(5)=1     {2,3,11,23,31}
               s(6)=1     {2,3,11,23,31,47059}
               s(7)=1     {2,3,11,17,101,149,3109}
               s(8)=1     {2,3,11,23,31,47059,2217342227,1729101023519}
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 楼主| 发表于 2010-1-9 14:31:58 | 显示全部楼层
集合{x_{1},x_{2},...,x_{n}},记S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}。
满足如下条件:
S/{x_{i}}  = -1 mod  x_{i}  (1
medie2005 发表于 2010-1-9 13:58



可以取:
$x_{n+1}=x_1*x_2...x_{n}+1$
$x_1=2,x_2=3$
显然这只是一种特解


欢迎编程高手加入讨论....
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发表于 2010-1-9 16:45:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-1-9 16:50 编辑

请教数学星空:前面的结果是怎么得到的?

如果要往后做,那么后一项的分母可以是前一项的平方。

从2开始连作19次平方岂不是要到了$2^(2^19)$?

这么大的数,做一遍素数测试都很困难,何况还要找所有的解呢?
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 楼主| 发表于 2010-1-9 16:58:40 | 显示全部楼层
呵,具体计算过程我也不知道,书中只给出了最终结果...
当然,这个问题肯定非常困难....
我们不能乞求能求出全部解,能找到就算是突破了,
毕竟柯召算是中国数论界(尤其是不定方程问题)的泰斗级人物,也没有给出其后的解...
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发表于 2010-1-9 19:09:36 | 显示全部楼层
medie的结论同卡米切尔数有点类似:
/viewthrea ... ;fromuid=20#pid2011
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发表于 2010-1-10 21:57:12 | 显示全部楼层
很好的题目
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发表于 2010-1-11 08:59:30 | 显示全部楼层
现在其实关键是找$x_{k}$与$x_{1},x_{2},...,x_{k-1}$之间的约束关系,找到了之后,就可以搜索了。后两项可以解同余方程组得到。
目前感觉上,还是可以解到s(10)的。因为,$x_{1}=2,x_{2}=3$,其余的都是奇数。
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