关于单位分数的一些难题

数学星空

设 $1

数学星空

以上问题摘自<单位分数>(柯召,孙琦著)(限于相当难度,只讨论n=7....20) 对于第1问，有

$s(1)=1{x_1=2}$ $s(2)=1{x_1=2,x_2=3}$ $s(3)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7}$ $s(4)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43}$ $s(5)=3{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395}$ $s(6)=8{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1823,x_6=193667}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=403,x_6=19403}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=583,x_6=1223}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807,x_6=3263443$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=415,x_6=8111}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395,x_6=779731}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=55,x_5=179,x_6=2432}$ $\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31,x_6=47059}$

medie2005

集合${x_{1},x_{2},...,x_{n}}$，记$S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}$。 满足如下条件： $S/{x_{i}}=-1 mod x_{i}$ $(1<=i<=n)$ 的集合如何快速求取？

数学星空

对于第(2)问 已有结果: s(2)=1 {2,3} s(3)=1 {2,3,7} s(4)=1 {2,3,7,43} s(5)=1 {2,3,11,23,31} s(6)=1 {2,3,11,23,31,47059} s(7)=1 {2,3,11,17,101,149,3109} s(8)=1 {2,3,11,23,31,47059,2217342227,1729101023519}

数学星空

集合{x_{1},x_{2},...,x_{n}}，记S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}。 满足如下条件： S/{x_{i}} = -1 mod x_{i} (1 medie2005 发表于 2010-1-9 13:58

可以取: $x_{n+1}=x_1*x_2...x_{n}+1$ $x_1=2,x_2=3$ 显然这只是一种特解 欢迎编程高手加入讨论....

KeyTo9_Fans

请教数学星空：前面的结果是怎么得到的？ 如果要往后做，那么后一项的分母可以是前一项的平方。 从2开始连作19次平方岂不是要到了$2^(2^19)$？ 这么大的数，做一遍素数测试都很困难，何况还要找所有的解呢？

数学星空

呵,具体计算过程我也不知道,书中只给出了最终结果... 当然,这个问题肯定非常困难.... 我们不能乞求能求出全部解,能找到就算是突破了, 毕竟柯召算是中国数论界(尤其是不定方程问题)的泰斗级人物,也没有给出其后的解...

mathe

medie的结论同卡米切尔数有点类似: http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... &fromuid=20#pid2011

〇〇

很好的题目

medie2005

现在其实关键是找$x_{k}$与$x_{1},x_{2},...,x_{k-1}$之间的约束关系，找到了之后，就可以搜索了。后两项可以解同余方程组得到。 目前感觉上，还是可以解到s(10)的。因为，$x_{1}=2,x_{2}=3$，其余的都是奇数。