关于单位分数的一些难题

数学星空

设 $1<x_1<x_2<x_3<...<x_n$ , 且均为正整数, 求方程(1)的解数`s(n)`：$$
1/x_1+1/x_2+....+1/x_n+1/{x_1*x_2...x_n}=1\tag1$$
1. 求$n=7~10$的全部解.
2. 若还需要限定$x_1,x_2,...,x_n $均为素数, 则$n=9~20 $内哪些`n`有解, 其解数为多少?

数学星空

以上问题摘自<单位分数>(柯召,孙琦著)(限于相当难度,只讨论n=7....20)
对于第1问，有

$s(1)=1{x_1=2}$
$s(2)=1{x_1=2,x_2=3}$
$s(3)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7}$
$s(4)=1{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43}$
$s(5)=3{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395}$
$s(6)=8{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1823,x_6=193667}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=403,x_6=19403}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=583,x_6=1223}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=43,x_5=1807,x_6=3263443$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=415,x_6=8111}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=47,x_5=395,x_6=779731}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=7,x_4=55,x_5=179,x_6=2432}$
$\quad\quad\quad\quad\quad{x_1=2,x_2=3,x_3=11,x_4=23,x_5=31,x_6=47059}$

medie2005

集合${x_{1},x_{2},...,x_{n}}$，记$S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}$。
满足如下条件：
$S/{x_{i}}=-1 mod x_{i}$  $(1<=i<=n)$
的集合如何快速求取？

数学星空

对于第(2)问
已有结果:
               s(2)=1     {2,3}
               s(3)=1     {2,3,7}
               s(4)=1     {2,3,7,43}
               s(5)=1     {2,3,11,23,31}
               s(6)=1     {2,3,11,23,31,47059}
               s(7)=1     {2,3,11,17,101,149,3109}
               s(8)=1     {2,3,11,23,31,47059,2217342227,1729101023519}

数学星空

集合{x_{1},x_{2},...,x_{n}}，记S=x_{1}*x_{2}*...*x_{n}。
满足如下条件：
S/{x_{i}}  = -1 mod  x_{i}  (1
medie2005 发表于 2010-1-9 13:58

可以取:
$x_{n+1}=x_1*x_2...x_{n}+1$
$x_1=2,x_2=3$
显然这只是一种特解


欢迎编程高手加入讨论....

KeyTo9_Fans

请教数学星空：前面的结果是怎么得到的？

如果要往后做，那么后一项的分母可以是前一项的平方。

从2开始连作19次平方岂不是要到了$2^(2^19)$？

这么大的数，做一遍素数测试都很困难，何况还要找所有的解呢？

数学星空

呵,具体计算过程我也不知道,书中只给出了最终结果...
当然,这个问题肯定非常困难....
我们不能乞求能求出全部解,能找到就算是突破了,
毕竟柯召算是中国数论界(尤其是不定方程问题)的泰斗级人物,也没有给出其后的解...

mathe

medie的结论同卡米切尔数有点类似:
http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... ;fromuid=20#pid2011

〇〇

很好的题目

medie2005

现在其实关键是找$x_{k}$与$x_{1},x_{2},...,x_{k-1}$之间的约束关系，找到了之后，就可以搜索了。后两项可以解同余方程组得到。
目前感觉上，还是可以解到s(10)的。因为，$x_{1}=2,x_{2}=3$，其余的都是奇数。