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楼主: jmyhyu

[分享] 高难度数学题

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发表于 2017-2-24 11:05:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-2-24 11:24 编辑
王守恩 发表于 2017-2-7 09:26
1,两地相距120千米改为130千米,其余不变。
2,三人同时到达目的地是最少需要时间。
3,也就是说:每个 ...


这正是我反对小学生学习竞赛数学的原因。奥数老师找出每一类问题的 “最佳” 解法,然后让孩子们死记硬背,为的就是应付各种数学竞赛,目标就是用最少的时间解出尽可能多的题目,以取得好的竞赛成绩。举个典型的例子: 让小孩记住 “大胖子” 和 “小胖子” 各是多少。“大胖子” 就是 1 到 100 的平方和,“小胖子” 是 1 到 99 的奇数平方和。这样就把孩子们训练成了做题机器,而缺少研究分析的能力。奥昆科夫是俄罗斯数学家,2006年获得最著名的世界性数学奖——菲尔茨奖。可这样一位享誉全球的数学大师却告诉记者,他从来没有上过奥数,也没有参加过数学方面的奥林匹克竞赛。在俄罗斯,没有专门培训学生上奥数的机构。对现在的中国小学生拼命学奥数,奥昆科夫很不赞同。他说:做太难的题目反而会伤害孩子们学习数学的兴趣。如本论坛许多大师(gxqcn、hujunhua、数学星空、……)那样厉害的分析研究能力,可能许多奥数高手一辈子也达不到。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-2-24 11:16:02 | 显示全部楼层
就本题目而言,非常欣赏 hujunhua 等大师将其推广到多人多车的一般情况,并给出无懈可击的优美解法。不愧是【加精】帖子。
网上搜一下,发现有许多类似的题目,除了本论坛的这个帖子,没有一个能给出令人满意的解法。
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发表于 2017-6-22 14:30:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2017-6-22 15:55 编辑

\[
\Huge
\color{red}{本问题:}
\]
gxqcn 发表于 2010-5-4 10:59
我也是上述方案。

假设固定车手,步行者分别为A、B:
A步行,车手带B骑行t1小时后B下车;
车手掉头骑行,A、B步行,经t2
小时后,车手与A碰头;
车手载上A,追赶B,经t3
小时,三人同时抵达终点。
总时间:
t=t1+t2+t3
小时


所得方程组为:
\[
\huge
{\color{black}{
\begin{cases}
\begin{split}
5\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&50\,t_3&=&\,120\\
6\,t_1&+&60\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
50\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
{\color{red}{
\begin{cases}
\begin{split}
t_1&=&\,\dfrac{132}{65}\\
t_2&=&\,\dfrac{108}{65}\\
t_3&=&\,\dfrac{132}{65}\\
\end{split}
\end{cases}}}
}}
\]

\[
\Huge
\color{red}{一道相似的问题:}
\]
葡萄糖 发表于 2017-6-22 14:30
甲乙两地相距\(120\)公里,已知\(A\)的步行速率为每小时\(5\)公里,\(B\)的步行速率为每小时\(3\)公里,\(C\)的步行速率为每小时\(6\)公里,摩托车的速率是每小时\(50\)公里,摩托车后座只能搭一个人,问有三人(都会开摩托)配备一辆摩托车(油量充足),三人从甲地到乙地最少需要多少时间?


所得方程组为:
\[
\huge

\begin{cases}
\begin{split}
6\,t_1&+&\quad6\,t_2&+&50\,t_3&=&\,120\\
6\,t_1&+&61\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
50\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
{\color{red}{
\begin{cases}
\begin{split}
t_1&=&\,\dfrac{378}{185}\\
t_2&=&\,\dfrac{297}{185}\\
t_3&=&\,\dfrac{363}{185}\\
\end{split}
\end{cases}}}
\]


贴一个相似的问题解答示意图的TikZ代码:
  1. \documentclass{standalone}
  2. \usepackage{tkz-graph}
  3. \usetikzlibrary{calc}
  4. \usetikzlibrary{decorations.markings}

  5. \begin{document}
  6. \begin{tikzpicture}[x=2.5cm,y=2.5cm]
  7. \GraphInit[vstyle=Classic]
  8. \begin{scope}[VertexStyle/.append style = {thick,fill=yellow,minimum size = 6pt,inner sep = 0pt}]

  9. \Vertex[Lpos=180,L=$A$]{A}
  10. \Vertex[x=1.225,y=0,Lpos=-90,L=$C$]{C}
  11. \Vertex[x=2.1891,y=0,Lpos=-90,L=$D$]{D}
  12. \Vertex[x=10.2162,y=0,Lpos=-90,L=$E$]{E}
  13. \Vertex[x=11.0189,y=0,Lpos=-90,L=$F$]{F}
  14. \Vertex[x=12,y=0,Lpos=0,L=$B$]{B}

  15. \tikzset
  16. {
  17. EdgeStyle/.style={postaction=decorate,decoration={markings,mark=at position 0.5 with{\arrow{triangle 60}}}},
  18. ALabel/.style={auto=right,fill=none,outer sep=0.2ex}
  19. }


  20. \Edge[label={$6\,t_1$},labelstyle={ALabel,above=0.5ex}](A)(C)
  21. \Edge[style={bend right=30},label={$50\,t_1$},labelstyle={ALabel,below=1ex}](A)(E)

  22. \Edge[color=red,label={$6\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,above=0.5ex}](C)(D)
  23. \Edge[color=red,style={bend left=-20},label={$50\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,below=0.5ex}](E)(D)
  24. \Edge[color=red,label={$5\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,above=0.5ex}](E)(F)

  25. \Edge[color=blue,style={bend right=-45},label={$50\,t_3$},labelstyle={blue,ALabel,above=0.5ex}](D)(B)
  26. \Edge[color=blue,label={$5\,t_3$},labelstyle={blue,ALabel,above=0.5ex}](F)(B)

  27. \end{scope}
  28. \end{tikzpicture}
  29. \end{document}
复制代码



版块内相关链接:行程问题
bolizhou 发表于 2009-7-30 19:19
原题地址:http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=12&Id=16574
A、B两地相距43千米,甲、乙、丙、丁四人从A地出发到B地;甲、乙、丙三人步行的速度分别是每小时5千米、4千米、2千米。丁骑摩托车每小时20千米,摩托车后可以带一个人,那么四人从A地到B地最少用多少小时?
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