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[讨论] 这个五次方程怎么解?

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发表于 2011-3-6 20:00:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$32 x^5+3349456 x^4-5941616812296 x^3-585145514845851080 x^2+147013447513276833423286 x+15377302441624829616294559439=0$
这个方程有根式解的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-3-6 20:39:43 | 显示全部楼层
没有根式解,推荐你去看抽象代数之类的数,专门解决这个问题的
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 楼主| 发表于 2011-3-7 21:46:16 | 显示全部楼层
有根式解,我知道这些解是多少,是由$cos(2kπ/11)$经过一系列代数运算得到的解

其中一个解是$1/(sqrt11) sqrt(23^9-((-1451316cos(2pi/11)+69291cos(4pi/11)+149151cos(6pi/11)-486583cos(8pi/11)-581326cos(10pi/11)))^2)$
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发表于 2011-3-7 23:23:33 | 显示全部楼层
3# God→Osiris
但cos(2*pi/11)是不能用根式表达的
参考:
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi11.html
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-3-7 23:31:35 | 显示全部楼层
不过,倒是可以用负数系数 的根式形式来表达的,因为该五次方程属于 cyclic Galois Group,
你可以用Mathematica软件来计算,感兴趣的话就准备好几十张的A4纸吧,
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发表于 2011-3-8 07:32:56 | 显示全部楼层
不过,倒是可以用负数系数 的根式形式来表达的,因为该五次方程属于 cyclic Galois Group,
你可以用Mathematica软件来计算,感兴趣的话就准备好几十张的A4纸吧,
wayne 发表于 2011-3-7 23:31

什么叫负数系数的根式形式?
通常所谓的根式形式同正数还是负数没有关系的呀。
而题目中五次方程是不可约的,所以应该没有根式形式的。
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发表于 2011-3-8 07:50:55 | 显示全部楼层
6# mathe
打错了。是复数
因为正弦余弦都可以 用复指数表示,所以,楼主的方程的根能用复系数的根式形式表达。。。。
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发表于 2011-3-8 08:40:15 | 显示全部楼层
有道理。
不过对于本题,如果仅仅讨论一个方程的解是否可以根式表示,基本没有什么实际意义,这个只有在古典数学时代,大家对代数数极度缺乏了解的情况下才会感兴趣。
实际上,我们可以直接去讨论给定任意两个整系数多项式,它们的根是否可以相互表达更加有意义,比如:
/thread-1499-1-1.html
而这里的问题可以看成那个问题的一个特殊情况
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 楼主| 发表于 2011-3-9 01:04:38 | 显示全部楼层

难道这不算根式解吗?
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 楼主| 发表于 2011-3-9 01:11:27 | 显示全部楼层
把上述方程的解题大致过程发上来吧
$32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0$
$A_1=(cos(2π/11)+cis(2π/5)cos(4π/11)+cis(4π/5)cos(8π/11)+cis(6π/5)cos(16π/11)+cis(8π/5)cos(32π/11))$
$A_2=(cos(2π/11)+cis(6π/5)cos(4π/11)+cis(12π/5)cos(8π/11)+cis(18π/5)cos(16π/11)+cis(24π/5)cos(32π/11))$
$A_3=(cos(2π/11)+cis(4π/5)cos(4π/11)+cis(8π/5)cos(8π/11)+cis(2π/5)cos(16π/11)+cis(6π/5)cos(32π/11))$
$A_4=(cos(2π/11)+cis(8π/5)cos(4π/11)+cis(6π/5)cos(8π/11)+cis(4π/5)cos(16π/11)+cis(2π/5)cos(32π/11))$
$A_1,A_2,A_3,A_4$应满足$(A_1)(A_4)=(A_2)(A_3)=11/4$而
$(A_1)^5,(A_2)^5,(A_3)^5,(A_4)^5$是一个四次方程(预解式)的根
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