这个五次方程怎么解？

wayne

science123 发表于 2014-11-25 19:00
53楼自己把y解出来看看？

(((sqrt(27*y^2+500)/(2*3^(3/2))+y/2)^(1/3)-5/(3*(sqrt(27*y^2+500)/(2*3^ ...

我听不懂你的逻辑。

消去x后，得到的仍然是 一元五次方程，你怎么就不负责任的直接给出结果了呢？
更让我不解的是，你却反过来问我怎么解。
你要知道 你变换的目的是通过“降次”的手段 解五次方程，你这样把问题转移到一个新的五次方程，其意义何在？
$y^5-100y^3-280y^2-2100y-4008=0$

zeroieme

science123 发表于 2014-11-25 19:29
最后的解还是x^5-5*x-2=0的根，而这个是伽罗瓦解不出来的。

伽罗瓦解不出来，哪你的方法解出没有？

zhouguang

y（大概其等于-2.06195），是那个方程的根呀？

mathematica

1. //变量是t
   
2. P<t>:=PolynomialAlgebra(Rationals());
   
3. f:=1*t^5+10*t^2-15*t+6;
   
4. f:=f*(t^2+3*t+2);
   
5. //注意多项式变量是t
   
6. f:=32*t^5+3349456*t^4-5941616812296*t^3-585145514845851080*t^2+147013447513276833423286*t+15377302441624829616294559439;
   
7. G:=GaloisGroup(f);
   
8. print G;
   
9. //看群是否可解
   
10. IsSolvable(G);
    

复制代码

输出结果：

Permutation group G acting on a set of cardinality 5
Order = 5
    (1, 4, 2, 5, 3)


http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

mathematica

mathematica 发表于 2021-5-14 11:21
输出结果：

Permutation group G acting on a set of cardinality 5

1. P<x>:=PolynomialRing(IntegerRing());
   
2. //下面多项式有根式解
   
3. f:=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+15377302441624829616294559439;
   
4. K,R:=SolveByRadicals(f:Name:="K.");
   
5. K:Maximal;
   

复制代码

输出结果：
   K<K.1>
     |
     |
  $1<K.2>
     |
     |
  $2<K.3>
     |
     |
     Q

K  : K.1^5 + (-125444641510450806399613511240171520*K.3 +
    281293318510921822495181603202744320)*K.2 -
    5165392015600608816069287610432880640*K.3 +
    11554503262499979688078203800506597376
$1 : K.2^2 + 128*K.3 + 640
$2 : K.3^2 - 5

xiaoshuchong

令$y=2x$, 则y满足
\[\begin{eqnarray*}
0&=&y^{5}+209341y^{4}-742702101537y^{3}-146286378711462770y^{2}+\\&&73506723756638416711643y+15377302441624829616294559439,(1)
\end{eqnarray*}\]
若$\xi=2\cos\frac{2\pi}{11}$, 则y可表示为$\xi$的四次多项式，即
\[y=-110825\xi^{4}+134073\xi^{3}+191194\xi^{2}-727535\xi+129859,(2)\]
将公式(2)代入公式(1), 可以得到如下五次方程
\[0=\xi^{5}+\xi^{4}-4\xi^{3}-3\xi^{2}+3\xi+1\]
此即$\xi$的最小多项式。

另外，y满足的五次方程的预解式为如下四次方程
\[\begin{eqnarray*}
0&=&R^{4}+\sum_{n=1}^{4}a_{n}R^{4-n}\\a_{1}&=&44076932001113814117729964448954\\a_{2}&=&58743022005372134919929822599143\\&&1012397390749332269918806695106\\a_{3}&=&4878675382757908137915342103443\\&&1871297562268224701487968238890\\&&02996397938213898703855493979\\a_{4}&=&3191249325094399115300187772128\\&&0691898716112816319796030395651\\&&1328374816632053028889864760490\\&&375291885473397252540625951\\&=&795778400695851902616991^{5}
\end{eqnarray*}\]

nyy

让我来求解一下这个问题！
在下面网址输入
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

1. R<x> := PolynomialRing(Rationals());
   
2. f:=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+15377302441624829616294559439;
   
3. G, data := GaloisGroup(f);
   
4. TransitiveGroupDescription(G);
   
5. IsSolvable(G);
   
6. print G;
   
7. K:= SolveByRadicals(f : Name := "r");
   
8. K:Maximal;

复制代码

得到输出结果

1. C(5) = 5
   
2. true
   
3. Permutation group G acting on a set of cardinality 5
   
4. Order = 5
   
5.     (1, 4, 2, 5, 3)
   
6. 
   
7.   K<r1>
   
8.     |
   
9.     |
   
10.   $1<r2>
    
11.     |
    
12.     |
    
13.   $2<r3>
    
14.     |
    
15.     |
    
16.     Q
    
17. 
    
18. K  : r1^5 + (-125444641510450806399613511240171520*r3 +
    
19.     281293318510921822495181603202744320)*r2 -
    
20.     5165392015600608816069287610432880640*r3 +
    
21.     11554503262499979688078203800506597376
    
22. $1 : r2^2 + 128*r3 + 640
    
23. $2 : r3^2 - 5
    
24. 
    
25. 
    

复制代码

取出其中的

1. K  : r1^5 + (-125444641510450806399613511240171520*r3 +
   
2.     281293318510921822495181603202744320)*r2 -
   
3.     5165392015600608816069287610432880640*r3 +
   
4.     11554503262499979688078203800506597376
   
5. $1 : r2^2 + 128*r3 + 640
   
6. $2 : r3^2 - 5

复制代码

联立方程组求解，然后验根。
输入mathematica代码

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义方程*)
   
3. f=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+15377302441624829616294559439
   
4. $MaxExtraPrecision =2000;
   
5. (*求解根式*)
   
6. ans=Solve[{
   
7.     r1^5+(-125444641510450806399613511240171520*r3+281293318510921822495181603202744320)*r2-5165392015600608816069287610432880640*r3+11554503262499979688078203800506597376,
   
8.     r2^2+128*r3+640,
   
9.     r3^2-5
   
10. }==0,{r1,r2,r3}]//Simplify;
    
11. (*假设解是下面的根式组合*)
    
12. sol=(1/5895341351523439674917634854012783589205785342439461517799030059009688232603963881217327104*(613779816943386520735179499432241945095623257886183552204845067579*r3+1401833861594827316193960697258263752005273636699602569940809290618)*r2+1/3684588344702149796823521783757989743253615839024663448624393786881055145377477425760829440*(-1957422353603082441495616556093524740640525031285670498653567856941*r3-5132125680422280685580804916372624186156802396080744540933143565919))*r1^4+(1/280125214079138613865194819283505534154445180150084665851852070584320*(900957634111167014122646048052069894243304497897479*r3+2038847774373034163069683334318249571474043695661000)*r2+1/35015651759892326733149352410438191769305647518760583231481508823040*(-76890511170265658053647893877023837806007692410317*r3-154733658423379615408545465654361507773253477693091))*r1^3+(1/29283172584015339048737829047789333720540856320*(94118720118901230891085096317849939*r3+289847623426031299198396552731049130)*r2+1/3660396573001917381092228630973666715067607040*(2680905286401673045006106350407138389*r3+6020215320576886946232982804028881471))*r1^2+1/160*r1-209341/10;
    
13. (*把根式代入解*)
    
14. aa=(sol/.ans);
    
15. (*把解代入方程进行数值验证*)
    
16. bb=(f/.x->aa)//N[#,100]&
    
17. cc=Sort@Abs@bb
    

复制代码

验根结果误差非常小，“证明”就是要求的方程的根
{0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071,
0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071, 0.*10^-2071,
0.*10^-2071, 0.*10^-2070, 0.*10^-2070, 0.*10^-2070, 0.*10^-2070,
0.*10^-2070, 0.*10^-2070, 0.*10^-2070, 0.*10^-2070, 0.*10^-2069}

理论上应该有五个根，但是去重应该困难（我就没去）。列举出其中的一个根

1. -(209341/10) -
   
2. 1/10 (-11)^(
   
3.   3/5) (1/2 (-16557825695384603350011256367 +
   
4.       7402106235083715173833501130 Sqrt[5] -
   
5.       115 I Sqrt[
   
6.        8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
   
7.         3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[
   
8.          5]]))^(1/5) -
   
9. 1408 (-11)^(1/5) 2^(
   
10.   3/5) (-16557825695384603350011256367 +
    
11.     7402106235083715173833501130 Sqrt[5] -
    
12.     115 I Sqrt[
    
13.      8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
14.       3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[5]])^(
    
15.   2/5) ((I Sqrt[
    
16.        8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
17.         3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[
    
18.          5]] (112166606653350738362971117 +
    
19.          50021450333620363744415187 Sqrt[
    
20.           5]) (289847623426031299198396552731049130 +
    
21.          94118720118901230891085096317849939 Sqrt[5]))/
    
22.      64624466885202183079915011863734625021224068090281978641398456898\
    
23. 589021484851301126560268605440 + (
    
24.     6020215320576886946232982804028881471 +
    
25.      2680905286401673045006106350407138389 Sqrt[5])/
    
26.     3660396573001917381092228630973666715067607040) +
    
27. 22528 (-11)^(4/5) 2^(
    
28.   2/5) (-16557825695384603350011256367 +
    
29.     7402106235083715173833501130 Sqrt[5] -
    
30.     115 I Sqrt[
    
31.      8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
32.       3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[5]])^(
    
33.   3/5) ((-154733658423379615408545465654361507773253477693091 -
    
34.      76890511170265658053647893877023837806007692410317 Sqrt[5])/
    
35.     350156517598923267331493524104381917693056475187605832314815088230\
    
36. 40 + (I Sqrt[
    
37.        8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
38.         3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[
    
39.          5]] (112166606653350738362971117 +
    
40.          50021450333620363744415187 Sqrt[
    
41.           5]) (2038847774373034163069683334318249571474043695661000 +
    
42.          900957634111167014122646048052069894243304497897479 Sqrt[
    
43.           5]))/6182029139441410688567213761151929925575573454601796746\
    
44. 78966423347976489634426562708126931155027729600046379973181440) +
    
45. 3964928 (-11)^(2/5) 2^(
    
46.   1/5) (-16557825695384603350011256367 +
    
47.     7402106235083715173833501130 Sqrt[5] -
    
48.     115 I Sqrt[
    
49.      8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
50.       3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[5]])^(
    
51.   4/5) ((-513212568042228068558080491637262418615680239608074454093314\
    
52. 3565919 -
    
53.        195742235360308244149561655609352474064052503128567049865356785\
    
54. 6941 Sqrt[5])/
    
55.      36845883447021497968235217837579897432536158390246634486243937868\
    
56. 81055145377477425760829440 + (I Sqrt[
    
57.        8669126517449449573024696780490669721303755676965485 -
    
58.         3876911040311425488549116190343499942853937801760782 Sqrt[
    
59.          5]] (112166606653350738362971117 +
    
60.          50021450333620363744415187 Sqrt[
    
61.           5]) (1401833861594827316193960697258263752005273636699602569\
    
62. 940809290618 +
    
63.          6137798169433865207351794994322419450956232578861835522048450\
    
64. 67579 Sqrt[5]))/
    
65.      13010314741526848079880729508186937456593895823272362531230819703\
    
66. 6825683808152694389596902327871733916100917438956973471500490589390299\
    
67. 46368)

复制代码

LaTeX输出结果如下：

\[-\frac{1}{10} (-11)^{3/5} \sqrt[5]{\frac{1}{2} \left(7402106235083715173833501130 \sqrt{5}-115 i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}}-16557825695384603350011256367\right)}+22528 (-11)^{4/5} 2^{2/5} \left(\frac{-76890511170265658053647893877023837806007692410317 \sqrt{5}-154733658423379615408545465654361507773253477693091}{35015651759892326733149352410438191769305647518760583231481508823040}+\frac{i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}} \left(50021450333620363744415187 \sqrt{5}+112166606653350738362971117\right) \left(900957634111167014122646048052069894243304497897479 \sqrt{5}+2038847774373034163069683334318249571474043695661000\right)}{618202913944141068856721376115192992557557345460179674678966423347976489634426562708126931155027729600046379973181440}\right) \left(7402106235083715173833501130 \sqrt{5}-115 i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}}-16557825695384603350011256367\right)^{3/5}+3964928 (-11)^{2/5} \sqrt[5]{2} \left(\frac{-1957422353603082441495616556093524740640525031285670498653567856941 \sqrt{5}-5132125680422280685580804916372624186156802396080744540933143565919}{3684588344702149796823521783757989743253615839024663448624393786881055145377477425760829440}+\frac{i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}} \left(50021450333620363744415187 \sqrt{5}+112166606653350738362971117\right) \left(613779816943386520735179499432241945095623257886183552204845067579 \sqrt{5}+1401833861594827316193960697258263752005273636699602569940809290618\right)}{13010314741526848079880729508186937456593895823272362531230819703682568380815269438959690232787173391610091743895697347150049058939029946368}\right) \left(7402106235083715173833501130 \sqrt{5}-115 i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}}-16557825695384603350011256367\right)^{4/5}-1408 \sqrt[5]{-11} 2^{3/5} \left(7402106235083715173833501130 \sqrt{5}-115 i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}}-16557825695384603350011256367\right)^{2/5} \left(\frac{2680905286401673045006106350407138389 \sqrt{5}+6020215320576886946232982804028881471}{3660396573001917381092228630973666715067607040}+\frac{i \sqrt{8669126517449449573024696780490669721303755676965485-3876911040311425488549116190343499942853937801760782 \sqrt{5}} \left(50021450333620363744415187 \sqrt{5}+112166606653350738362971117\right) \left(94118720118901230891085096317849939 \sqrt{5}+289847623426031299198396552731049130\right)}{64624466885202183079915011863734625021224068090281978641398456898589021484851301126560268605440}\right)-\frac{209341}{10}\]

nyy

nyy 发表于 2024-1-12 16:26
让我来求解一下这个问题！
在下面网址输入
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

接上面的代码：

1. (*对根式解求数值,再去掉"小数"部分,再排序,再合并,得到五个根*)
   
2. dd=Union@Sort@Chop@N[aa,100]
   
3. ee=x/.NSolve[f==0,x,20](*求解原方程的数值解*)
   
4. dd-ee(*计算解析解与数值解的差距*)
   

复制代码

这个是解析解的数值解
{-401258.9880266900537345442003488619633104060138474772285428877281892826705713234918961527720722599939,-159268.3896774913309134341908272412846112945591483628861028830711507216950502814511642301145850513672,-110135.65894174419437008683553902302312976283880843638621954406734993046474082604111938958576053097262,174303.7437959547734151900821965408705449321758356340110574538326851764505465889277405265529998452051,391688.7928499708056028751445185854005065312359686424898078610340047583798158420564392459194179971287}
这个是由原方程求解到的数值解
{-401258.98802669005373,-159268.38967749133091,-110135.65894174419437,174303.74379595477342,391688.79284997080560}
这个是两者的差，误差很小
{0.*10^-15,0.*10^-15,0.*10^-15,0.*10^-15,0.*10^-15}

上面证明得到了所有的根式解析解，只不过解确实比较丑！

nyy

nyy 发表于 2024-1-12 16:39
接上面的代码：

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义多项式,这个多项式的伽罗瓦群是可解的*)
   
3. f=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+15377302441624829616294559439;
   
4. aa={Factor[f,Modulus->#],#}&/@Prime@Range[20];
   
5. MatrixForm[aa]
   
6. g=x^5-2*x+12;(*这个多项式没有根式解,mod p后会出现二次多项式乘以三次多项式*)
   
7. MatrixForm[{Factor[g,Modulus->#],#}&/@Prime@Range[20]];
   

复制代码

f=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+15377302441624829616294559439;
求解结果
\[\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 \left(x^5+2 x^4+2 x^2+2 x+1\right) & 3 \\
2 \left(x^5+3 x^4+2 x^3+3 x+2\right) & 5 \\
4 \left(x^5+3 x^4+6 x^3+3 x^2+4 x+3\right) & 7 \\
10 x^5 & 11 \\
6 \left(x^5+x^4+5 x^3+8 x^2+11 x+5\right) & 13 \\
15 \left(x^5+10 x^4+13 x^3+3 x^2+8\right) & 17 \\
13 \left(x^5+9 x^4+17 x^3+5 x^2+x+11\right) & 19 \\
9 x^4 (x+9) & 23 \\
3 \left(x^5+24 x^4+19 x^3+20 x^2+10 x+24\right) & 29 \\
x^5+30 x^4+26 x^3+13 x^2+x+7 & 31 \\
32 \left(x^5+16 x^4+16 x^3+12 x^2+34 x+11\right) & 37 \\
32 \left(x^5+18 x^4+17 x^3+27 x^2+3 x+31\right) & 41 \\
32 (x+13) (x+16) (x+25) (x+28) (x+34) & 43 \\
32 \left(x^5+25 x^4+22 x^3+34 x^2+27 x+2\right) & 47 \\
32 \left(x^5+22 x^4+29 x^3+44 x^2+x+42\right) & 53 \\
32 \left(x^5+34 x^4+37 x^3+49 x^2+24 x+37\right) & 59 \\
32 \left(x^5+25 x^4+23 x^3+52 x^2+38 x+39\right) & 61 \\
32 (x+29) (x+46) (x+47) (x+63) (x+66) & 67 \\
32 \left(x^5+52 x^4+64 x^3+27 x^2+5 x+19\right) & 71 \\
\end{array}
\right)\]
上面的结果没出现二次多项式乘以三次多项式，因此有根式解

对于\(x^5-2 x+12\)
\[\left(
\begin{array}{cc}
x^5 & 2 \\
x \left(x^2+x+2\right) \left(x^2+2 x+2\right) & 3 \\
(x+3) \left(x^4+2 x^3+4 x^2+3 x+4\right) & 5 \\
x^5+5 x+5 & 7 \\
(x+10) \left(x^2+5 x+3\right) \left(x^2+7 x+7\right) & 11 \\
(x+1) \left(x^2+2 x+3\right) \left(x^2+10 x+4\right) & 13 \\
(x+6) \left(x^4+11 x^3+2 x^2+5 x+2\right) & 17 \\
(x+6) \left(x^4+13 x^3+17 x^2+12 x+2\right) & 19 \\
x^5+21 x+12 & 23 \\
(x+5) (x+17) (x+19) \left(x^2+17 x+18\right) & 29 \\
x^5+29 x+12 & 31 \\
\left(x^2+10 x+27\right) \left(x^3+27 x^2+36 x+21\right) & 37 \\
(x+13)^2 \left(x^3+15 x^2+15 x+27\right) & 41 \\
x^5+41 x+12 & 43 \\
(x+20) \left(x^4+27 x^3+24 x^2+37 x+10\right) & 47 \\
(x+48) \left(x^4+5 x^3+25 x^2+19 x+40\right) & 53 \\
(x+28) (x+42) (x+54) \left(x^2+53 x+36\right) & 59 \\
(x+35) \left(x^2+12 x+6\right) \left(x^2+14 x+14\right) & 61 \\
\left(x^2+65 x+48\right) \left(x^3+2 x^2+23 x+17\right) & 67 \\
(x+10) \left(x^2+65 x+12\right) \left(x^2+67 x+64\right) & 71 \\
\end{array}
\right)\]
上面的结果出现了二次多项式乘以三次多项式
\[\left(
\begin{array}{cc}
\left(x^2+10 x+27\right) \left(x^3+27 x^2+36 x+21\right) & 37 \\
\end{array}
\right)\]
因此\(x^5-2 x+12\)无根式解

参考资料
已知首一系数的五次方程的五个系数，能确定方程的伽罗瓦群吗？ - 酱紫君的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/64900539/answer/2476505448

nyy

nyy 发表于 2024-1-15 14:08
f=32*x^5+3349456*x^4-5941616812296*x^3-585145514845851080*x^2+147013447513276833423286*x+1537730 ...

看完整循环、看对换！