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[求助] 微分方程数值求解

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发表于 2008-4-4 14:49:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在试图解决百度贴巴中一道“极地出逃”题目(http://tieba.baidu.com/f?kz=193082944)中,
一个人在冰天雪地里迷路。已知离他一英里的地方有一条笔直的高  
速公路。但他完全失去了方向。不知道这条公路在哪个方向。如果  
天气恶劣,能见度只有一米(,更精确的描述是能见度为0,也就是说只有到了公路才知道)。  
问:采取怎样的方式才能尽快找到高速公路?尽快的定义是期望值  
最短。也就是说如果往不同方向出发,平均值最小。


我得到一个微分方程:
$tu^2u''=-(1+u')^3+2tu(1+u')^2-(u+t)u(1+u')-tu^3$
其中u是t的一个函数。
而$u(0)>0$
如果我们将t=0带入微分方程,可以得到$u'(0)=-1$
同样,方程两边同时取微分,再将t=0带入可以得到$u''(0)=-{u(0)}/2$
再次两边微分,将t=0带入可以得到$u^{(3)}(0)=3u(0)$(有可能算错)
不过再算下去就太复杂了,我现在没有比较好的工具,觉得自己用C写代码解决也太复杂一些。
不知道是否有人可以帮忙,计算出u在t=0的各阶导数的值(比如计算前20项)(比如如果有Mathematica之类的工具最好)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-4-4 20:36:14 | 显示全部楼层
省省吧
这种事情,第一个想到的就应该是Maple

对了,如果你用linux一定也知道linux下的数学包Octave
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发表于 2008-4-4 20:38:50 | 显示全部楼层
如果你想做程序,而不想动数学软件
我觉得Standard ML语言合适做这个
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 楼主| 发表于 2008-4-5 11:02:43 | 显示全部楼层
看了一下Octave不错,可以学习一下。
不过不知道这么复杂的微分方程能否解决。而且我需要的不只是数值解。
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 楼主| 发表于 2008-4-5 11:38:24 | 显示全部楼层
看了一下,octave不知道符号运算。即使像函数的导数都无法计算。
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发表于 2008-4-5 14:58:39 | 显示全部楼层

那就不好了
那你学习下Standard ML
那个最适合数学特别是逻辑运算了
符号运算更是小菜
如何?
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发表于 2008-4-7 09:06:42 | 显示全部楼层
这个题有些意思,baidu上那个大螺线是你画的吧,看着结论就知道有多复杂!
我算了一下,最短路经比较好算,应该是 东方角落那个两个60度的那个吧。
但最小期望好像复杂很多,今天想一下看看。
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 楼主| 发表于 2008-4-7 09:46:16 | 显示全部楼层
那个结果不是我画的。
最大路径最短比较好算,结果在34楼,$1+\sqrt3+{7\pi}/6$.
期望最短的路径应该就是东方在49楼贴出来的结果。只是计算精度不高。我估计只精确到小数点后面一位。
所以我想通过变分方法求出准确的解。
现在想到一种比较可行的方法了,只是用C来事先太复杂了。如果有Mathematica软件比较好,它的符号运算功能(如求导函数之类的功能)非常强大,非常适合解决这个题目。
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发表于 2008-4-7 16:28:28 | 显示全部楼层
这个太复杂,等你做完,写个详细点的推导,也好让我们学学。Mathematica好就装一个呗,你该不是那种只用正版的人吧!
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 楼主| 发表于 2008-4-8 17:39:38 | 显示全部楼层
还是用C代码计算出上面的数值积分了,得到结果同上面离散化后动态规划的结果不同。结果比动态规划的结果大。这个表明用动态规划的方法得到的结果误差实在太大,主要原因应该在于离散化引起误差太大了。
为了防止浮点溢出问题,使用了gmp进行浮点验算。不过计算结果表明,使用double类型数据进行计算精度已经足够了。
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