微分方程数值求解

mathe

在试图解决百度贴巴中一道“极地出逃”题目(http://tieba.baidu.com/f?kz=193082944)中，

一个人在冰天雪地里迷路。已知离他一英里的地方有一条笔直的高  
速公路。但他完全失去了方向。不知道这条公路在哪个方向。如果  
天气恶劣，能见度只有一米（，更精确的描述是能见度为0，也就是说只有到了公路才知道）。  
问：采取怎样的方式才能尽快找到高速公路？尽快的定义是期望值  
最短。也就是说如果往不同方向出发，平均值最小。

我得到一个微分方程:
$tu^2u''=-(1+u')^3+2tu(1+u')^2-(u+t)u(1+u')-tu^3$
其中u是t的一个函数。
而$u(0)>0$
如果我们将t=0带入微分方程，可以得到$u'(0)=-1$
同样，方程两边同时取微分，再将t=0带入可以得到$u''(0)=-{u(0)}/2$
再次两边微分，将t=0带入可以得到$u^{(3)}(0)=3u(0)$(有可能算错)
不过再算下去就太复杂了，我现在没有比较好的工具，觉得自己用C写代码解决也太复杂一些。
不知道是否有人可以帮忙，计算出u在t=0的各阶导数的值（比如计算前20项）（比如如果有Mathematica之类的工具最好）

无心人

省省吧 这种事情，第一个想到的就应该是Maple 对了，如果你用linux一定也知道linux下的数学包Octave

无心人

如果你想做程序，而不想动数学软件 我觉得Standard ML语言合适做这个

mathe

看了一下Octave不错，可以学习一下。 不过不知道这么复杂的微分方程能否解决。而且我需要的不只是数值解。

mathe

看了一下，octave不知道符号运算。即使像函数的导数都无法计算。

无心人

哦 那就不好了 那你学习下Standard ML 那个最适合数学特别是逻辑运算了 符号运算更是小菜 如何?

shshsh_0510

这个题有些意思，baidu上那个大螺线是你画的吧，看着结论就知道有多复杂！ 我算了一下，最短路经比较好算，应该是 东方角落那个两个60度的那个吧。 但最小期望好像复杂很多，今天想一下看看。

mathe

那个结果不是我画的。
最大路径最短比较好算，结果在34楼,$1+\sqrt3+{7\pi}/6$.
期望最短的路径应该就是东方在49楼贴出来的结果。只是计算精度不高。我估计只精确到小数点后面一位。
所以我想通过变分方法求出准确的解。
现在想到一种比较可行的方法了，只是用C来事先太复杂了。如果有Mathematica软件比较好，它的符号运算功能（如求导函数之类的功能）非常强大，非常适合解决这个题目。

shshsh_0510

这个太复杂，等你做完，写个详细点的推导，也好让我们学学。Mathematica好就装一个呗，你该不是那种只用正版的人吧！

mathe

还是用C代码计算出上面的数值积分了，得到结果同上面离散化后动态规划的结果不同。结果比动态规划的结果大。这个表明用动态规划的方法得到的结果误差实在太大，主要原因应该在于离散化引起误差太大了。 为了防止浮点溢出问题，使用了gmp进行浮点验算。不过计算结果表明，使用double类型数据进行计算精度已经足够了。