微分方程数值求解

wayne · 发表于 2015-1-24 12:33:14

还有一种情况，在 u(0) = 1.64697321 ~ 1.64697327 的时候，u(t)的导函数的图像貌似做不出来。

mathe · 发表于 2015-1-24 12:41:13

要高精度计算，u(0)微小的变化会导致后面较大的变化

wayne · 发表于 2015-1-24 12:53:19

的确。我不太清楚Mathematica的数值计算的精度有多可靠。但整个过程 Mathematica并没有报错

我还发现一个比较有意思的地方，在导函数做不出来的地方（Mathematica没有报错提示，图像显示空白）：
在u(0) = 1.646973253-1.646973255的时候，u(t) =u(0) 的函数图像发生重根

wayne · 发表于 2015-1-24 13:05:29

据我的使用经验来看， Mathematica的数值计算都是高精度的。当精度不够的时候，或警告，或报错，没有警告也没有报错的话，基本上就认为是最终的准确答案，
如果也不是最终答案，基本上就可以认定是Mathematica的 bug

wayne · 发表于 2015-1-24 13:12:58

嗷，明白了，我作图的时候，加了选项PlotRange -> 1.7，一叶障目啊，这个选项限定了只做 x:【-1.7，1.7】, y:【-1.7，1.7】区间的图像
PlotRange -> 5 ，有全貌了，貌似是某有名的曲线。导函数做不出来是因为这个范围没有点。

mathe · 发表于 2015-1-25 08:00:17

现在还可以考虑一个修改的问题。假设他有一辆车，里面有15个单位的油。正北一公里有东西方向的公路，公路上东侧10公路有个补给站。在公路上每公里耗油一单位，但是公路下每公里耗油俩单位。同样迷失方向，如何才能最大概率找到补给站

wayne · 发表于 2015-1-25 18:38:21

查了下，v函数 $\frac{dv}{d\theta}=(1-\frac{v}{\theta})(v^2+1), v(0) = 0$ 属于第一类阿贝尔ODE，
根据wikipedia的解释，第一类Abel ODE可以通过变换，
转化成标准形式：$y'(x) = y(x)^3 +F(x)$，而这种形式是可以解出来的（拆分成两个方程，一个是Riccati 微分方程，一个是代数的约束关系式），详细过程参考：

http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/

虽然有了完整的解析思路，但要一块串起来，最终求出 v函数的奇点的闭式表达，还是很复杂的~

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