微分方程数值求解

shshsh_0510

厉害！今天较累，看得都有些窒息了！ 赶明还得再学一遍

mathe

又修改了一个代码中的错误。不过从现在计算结果来看，感觉是前面微分方程（13楼的结果）有问题。你是否有数学软件，可以帮忙计算一下推导的微分方程是否有错。

gxqcn

我虽然有 Mathematica，但却不怎么会用。 几天前，我曾让一位精通 Mathematica/Maple 的同事帮忙解这个微分方程，他说软件的结果是报告无解。

无心人

使用数值方法求近似解

mathe

有解是肯定的。但是不是所有的微分方程都可以用现成的软件数值求解的。 我现在可以得出一族解，但是实际计算结果表明这族解很不合理。 我们可以将区间$[0,2pi)$均匀划分成10份，然后在每个区间的起始点对函数$u(theta)$做泰勒展开，这样就有了10个泰勒展开式。 记函数 $(F1[ i ],F2[ i ])=\sum_{k=0}^{+infty} F[i,k] theta^k $ 其中 $0<=i<10$, $F[i,k]$是个二维向量。 那么我的结果是$u(theta)$在${i*pi}/5$的泰勒展开式就是$F1[ i ](theta-{i*pi}/5)+u(0)F2[ i ](theta-{i*pi}/5)$ 而系数F[i,k]如下，其中.e0都是0,可以看出F1是奇函数,F2是偶函数 F[0,0]=(.e0,.1e1) F[0,1]=(-.1e1,.e0) F[0,2]=(.e0,-.25e0) F[0,3]=(.166666666666666666667e0,.e0) F[0,4]=(.e0,.546875e-1) F[0,5]=(-.354166666666666666667e-1,.e0) F[0,6]=(-.416518557956694233257e-27,-.130208333333333333333e-1) F[0,7]=(.866815476190476190476e-2,.e0) F[0,8]=(.416518557956694233257e-27,.340016682942708333333e-2) F[0,9]=(-.232663432126322751323e-2,.e0) F[0,10]=(-.757306469012171333195e-28,-.948969523111979166667e-3) F[0,11]=(.662781172729903198653e-3,.e0) F[0,12]=(-.227191940703651399959e-27,.277329815758599175347e-3) F[0,13]=(-.196618716592471475284e-3,.e0) F[0,14]=(-.728685665192316616107e-27,-.837725509051022345787e-4) F[0,15]=(.600682502332136375512e-4,.e0) F[0,16]=(-.366031460022549477711e-27,.259416088808482077792e-4) F[0,17]=(-.187661782965473318626e-4,.e0) F[0,18]=(-.176704842769506644412e-27,-.819043055887853913995e-5) F[0,19]=(.596710589150589134315e-5,.e0) F[0,20]=(.913351612653791437552e-22,.262646760239261690419e-5) F[0,21]=(-.192466603999637708274e-5,-.119284198697250721879e-24) F[0,22]=(.290179110579210900908e-22,-.853072421854557933845e-6) F[0,23]=(.628175445948574987178e-6,-.382479112990534083026e-25) F[0,24]=(.460813676778283187807e-23,.280053670078291579093e-6) F[0,25]=(-.207075319593619297402e-6,-.597783380299166875616e-26) F[0,26]=(.13467433373933113542e-25,-.927765803608688193857e-7) F[0,27]=(.688439170926069905677e-7,.113595970351825699979e-27) F[0,28]=(.368346724849672178414e-22,.309760102774745371742e-7) F[0,29]=(-.230563611004637999672e-7,.12996988832005984922e-27) F[0,30]=(.126806761001731680584e-22,-.104126127069871990541e-7) F[0,31]=(.777138530869638943722e-8,-.36398780589996729162e-27) F[0,32]=(.175994236866083556978e-23,.35211129799239876887e-8) F[0,33]=(-.263424515185776911747e-8,-.199807834996625359806e-27) F[0,34]=(-.522667681363233581794e-25,-.119698262805166253563e-8) F[0,35]=(.897404025495174260005e-9,-.97980606905048645476e-29) F[0,36]=(.230932125225456800281e-24,.408821719018625317518e-9) F[0,37]=(-.307087545998501469106e-9,-.2986871944899062858e-28) F[0,38]=(.814878151328439297985e-25,-.140219252324927431205e-9) F[0,39]=(.105507251835456305087e-9,-.154559810242003330383e-28) F[0,40]=(.169005560334549569191e-25,.482757873928144376318e-10) F[0,41]=(-.363814760790703555555e-10,-.387731032594629304433e-29) F[0,42]=(-.106130482574666700334e-24,-.166780331142021345021e-10) F[0,43]=(.125866855198440575159e-10,-.956428434552463018523e-29) F[0,44]=(-.413202653217169012652e-25,.577990210999032532536e-11) F[0,45]=(-.436766952778281858805e-11,-.222255961671889680473e-29) F[0,46]=(-.596699883664486234321e-26,-.200881491550636783461e-11) F[0,47]=(.151979713081894165179e-11,.117963088302378082687e-30) F[0,48]=(-.235443114202313322852e-27,.700004933369669973747e-12) F[0,49]=(-.530178818608902367235e-12,.606092116574228996177e-31) F[0,50]=(-.707799843198927034511e-28,-.24451980065390655265e-12) F[0,51]=(.185385050797227569701e-12,.529030938713982787389e-32) F[1,0]=(-.590141876557538669247e0,.909100524144657377576e0) F[1,1]=(-.82692098019618469481e0,-.266624406557853916102e0) F[1,2]=(.241372581052536853435e0,-.145930563634025453748e0) F[1,3]=(.643106734104862751391e-1,.878686041442958202513e-1) F[1,4]=(-.580016987791962301157e-1,.509271630725980606058e-2) F[1,5]=(.482531473314676650016e-2,-.187955005778853109422e-1) F[1,6]=(.100833138924488908347e-1,.469966920778177284652e-2) F[1,7]=(-.430459674176813898078e-2,.257344726967022233989e-2) F[1,8]=(-.819798055356357241638e-3,-.192916642440820256299e-2) F[1,9]=(.129104111676597185273e-2,.531042918346138004683e-4) F[1,10]=(-.253001459702859514773e-3,.451552475158632682839e-3) F[1,11]=(-.231666404103424746211e-3,-.173147725781898810293e-3) F[1,12]=(.147402941732135779701e-3,-.532458964690394840034e-4) F[1,13]=(.671321995792230896146e-5,.642341838186090370035e-4) F[1,14]=(-.412437205109772741573e-4,-.936838198522033713113e-5) F[1,15]=(.133517599478996843251e-4,-.137274325476380258082e-4) F[1,16]=(.619968358574336536257e-5,.760294307047339823224e-5) F[1,17]=(-.594400961931105288504e-5,.925085393396865612477e-6) F[1,18]=(.512257407680657013581e-6,-.244041112280621894864e-5) F[1,19]=(.145751291140033303857e-5,.657872375344932218061e-6) F[1,20]=(-.691825434846803778323e-6,.435343987496618569779e-6) F[1,21]=(-.148910055882936477771e-6,-.349784628057859274704e-6) F[1,22]=(.252367683660287547792e-6,.917996871052855618752e-8) F[1,23]=(-.535281589336141933106e-7,.961987024256124951265e-7) F[1,24]=(-.518401659506114983549e-7,-.393004257512055074612e-7) F[1,25]=(.352085165405078068416e-7,-.126664226556080303329e-7) F[1,26]=(.148879991615325842102e-8,.162120267963434911862e-7) F[1,27]=(-.107846364271668921139e-7,-.25479841146138686458e-8) F[1,28]=(.371528641225968754584e-8,-.374247855356846619034e-8) F[1,29]=(.171935778957266253737e-8,.21872704717188455523e-8) F[1,30]=(-.175308060986555596041e-8,.253095429427681019754e-9) F[1,31]=(.17242003863014682008e-9,-.741337335800967895467e-9) F[1,32]=(.450170512361924717626e-9,.212479436545524363012e-9) F[1,33]=(-.225497535652983307216e-9,.136885040650217387645e-9) F[1,34]=(-.460595204568541890493e-10,-.116186581950792460726e-9) F[1,35]=(.852110871608152561086e-10,.449087991986417723417e-11) F[1,36]=(-.198888034675509334998e-10,.328761930249650805952e-10) F[1,37]=(-.170232162037489543429e-10,-.141650825573552879256e-10) F[1,38]=(.115680659204262989876e-10,-.429829998178887423054e-11) F[1,39]=(.217361708145648359685e-11,.590950631153865861929e-11) F[1,40]=(-.679212830159304639954e-11,-.99423581686943062849e-12) F[1,41]=(.583725125599042800016e-11,-.142895986316099582577e-11) F[1,42]=(-.619443655476867331072e-11,.921701761164355636701e-12) F[1,43]=(.992304568883732840835e-11,-.267256163163160207981e-13) F[1,44]=(-.164179406551126140332e-10,-.117813389170199519912e-12) F[1,45]=(.258469574983495641132e-10,-.179629731596670392566e-12) F[1,46]=(-.40061440396063957766e-10,.470633504879956716436e-12) F[1,47]=(.622419000476884405692e-10,-.698046016839377953208e-12) F[1,48]=(-.969891548337449034784e-10,.101600707323783720853e-11) F[1,49]=(.151259129724418704332e-9,-.15664108214800924379e-11) F[1,50]=(-.235943136332436545225e-9,.245810580964567638571e-11) F[1,51]=(.368147532981061148857e-9,-.384676371084598516218e-11) F[2,0]=(-.100658610722642739507e1,.705059186407612144335e0) F[2,1]=(-.497179709118884803208e0,-.352198448451395707546e0) F[2,2]=(.251895857264577057506e0,-.149243462226218970792e-2) F[2,3]=(-.353479385228045808728e-1,.548782126278318811211e-1) F[2,4]=(-.181673864502560109508e-1,-.206414351892027769315e-1) F[2,5]=(.121850461102779404915e-1,.605673748071646563541e-3) F[2,6]=(-.281196766902705225012e-2,.278142114906484784257e-2) F[2,7]=(-.540629818224359825213e-3,-.138239410330708726226e-2) F[2,8]=(.718649225817410002802e-3,.213062931380496464199e-3) F[2,9]=(-.267308904679530954991e-3,.129896441100951165342e-3) F[2,10]=(.944094149936587303817e-5,-.103403251031251721102e-3) F[2,11]=(.434903570086475284725e-4,.295856568484155293349e-4) F[2,12]=(-.243660052552213522707e-4,.378093730666544633839e-5) F[2,13]=(.459862336787407238741e-5,-.755832261235492579665e-5) F[2,14]=(.222318895534041153759e-5,.326899739990582549516e-5) F[2,15]=(-.207197164737735605928e-5,-.273899243183739591367e-6) F[2,16]=(.67351006956335788378e-6,-.493888148889046287359e-6) F[2,17]=(.472017335463689141866e-7,.319752354151370239317e-6) F[2,18]=(-.159768358789709455545e-6,-.741822521546554247508e-7) F[2,19]=(.772067385442008475652e-7,-.240700699635945349696e-7) F[2,20]=(-.971659636211129306907e-8,.281397421737082007348e-7) F[2,21]=(-.104191916070125418062e-7,-.104734639802914142907e-7) F[2,22]=(.770553484576581428066e-8,-.287051801445504860193e-10) F[2,23]=(-.209078519559477872252e-8,.217587588664932584347e-8) F[2,24]=(-.443084466558622478116e-9,-.119406580423933584972e-8) F[2,25]=(.680113114260366053563e-9,.207095937034701526084e-9) F[2,26]=(-.284297108006335316131e-9,.13494540043788152402e-9) F[2,27]=(.151652173010039955393e-10,-.118427603970844326038e-9) F[2,28]=(.5144631898570982261e-10,.374654552241121597124e-10) F[2,29]=(-.318887310814091514202e-10,.41555602309442148608e-11) F[2,30]=(.689988158925622427418e-11,-.10269297502802263668e-10) F[2,31]=(.292340554330123805738e-11,.486054275156240205302e-11) F[2,32]=(-.310987976894025986742e-11,-.531749626711281148034e-12) F[2,33]=(.11195758364377793173e-11,-.741680939054228626365e-12) F[2,34]=(.378896928844430903689e-13,.530780741162279613281e-12) F[2,35]=(-.261989833956685185855e-12,-.139116504902252977925e-12) F[2,36]=(.139402134725201018381e-12,-.360344488057617481455e-13) F[2,37]=(-.220384949990027466067e-13,.503656096016646550272e-13) F[2,38]=(-.177208502055574215898e-13,-.206332444434207976881e-13) F[2,39]=(.147914751047460165923e-13,.738609380497427740931e-15) F[2,40]=(-.451795283982175257252e-14,.406441833977300336643e-14) F[2,41]=(-.660233907423203111113e-15,-.246187092231269202403e-14) F[2,42]=(.135874716323691379212e-14,.509124752314904703815e-15) F[2,43]=(-.626495361370279947233e-15,.248731558742606404712e-15) F[2,44]=(.585591815174908018665e-16,-.252503941696375246166e-15) F[2,45]=(.103898161275076951202e-15,.889680586153595679415e-16) F[2,46]=(-.719010388861668562997e-16,.479336097160136973172e-17) F[2,47]=(.180925326133370874142e-16,-.222615225447701545526e-16) F[2,48]=(.550607488274514070754e-17,.1161854570075044212e-16) F[2,49]=(-.711838173305676799207e-17,-.171790434827925925729e-17) F[2,50]=(.284402609178026205823e-17,-.15813552231785884085e-17) F[2,51]=(-.516535173872811015158e-19,.128089729568552873252e-17) F[3,0]=(-.123011539825945743578e1,.493756027606662456031e0) F[3,1]=(-.232749370940617256394e0,-.307966734925115914747e0) F[3,2]=(.16567276659169855293e0,.586785926342908125526e-1) F[3,3]=(-.470917111089202951334e-1,.131264518042285510643e-1) F[3,4]=(.375247829222551323417e-2,-.113106044377437925372e-1) F[3,5]=(.272733309424299619326e-2,.339478934725994691405e-2) F[3,6]=(-.156712773655949984577e-2,-.371380356057759900826e-3) F[3,7]=(.465142264523879683018e-3,-.177296646411509817067e-3) F[3,8]=(-.609157436528806872329e-4,.127567767446322229696e-3) F[3,9]=(-.224082599459020120212e-4,-.445052081956693550305e-4) F[3,10]=(.191410558410346297819e-4,.785665545600868924857e-5) F[3,11]=(-.739812694009162046267e-5,.137216352362552157444e-5) F[3,12]=(.153383358928754097624e-5,-.173673446868630758171e-5) F[3,13]=(.129640393973526378126e-6,.760647717895191738171e-6) F[3,14]=(-.272258640109048783256e-6,-.18533915235759332366e-6) F[3,15]=(.131803706707087185987e-6,.145329756305294196142e-9) F[3,16]=(-.359389368384227543679e-7,.24857108950831798586e-7) F[3,17]=(.19936179612528817696e-8,-.137624446655734153842e-7) F[3,18]=(.380822343031895385021e-8,.423924283873784217392e-8) F[3,19]=(-.239815155139136878269e-8,-.465258844060898755893e-9) F[3,20]=(.813686121448246837196e-9,-.32838249176502014761e-9) F[3,21]=(-.122043487643766448102e-9,.24941549376228515958e-9) F[3,22]=(-.455368070558787545696e-10,-.94335428650661111597e-10) F[3,23]=(.429567910497168484602e-10,.180486678178630736026e-10) F[3,24]=(-.178692164639062366214e-10,.31713541518695840229e-11) F[3,25]=(.402266436922282937177e-11,-.43747384355992061647e-11) F[3,26]=(.268714616310366003974e-12,.203529576119133279509e-11) F[3,27]=(-.731325758566148865202e-12,-.531667816697492507016e-12) F[3,28]=(.379111140359781041211e-12,.10096814942804728354e-13) F[3,29]=(-.11117236851475247213e-12,.711985815886405848833e-13) F[3,30]=(.870402154845785863231e-14,-.422923274491748543484e-13) F[3,31]=(.111907771634680017218e-13,.139175352708774526288e-13) F[3,32]=(-.770806673870398796314e-14,-.182690177382327405013e-14) F[3,33]=(.28013264092128565416e-14,-.986242321067365989764e-15) F[3,34]=(-.484253337952197930837e-15,.837111491425096111074e-15) F[3,35]=(-.132537276911984881377e-15,-.338282681148080696236e-15) F[3,36]=(.14804967057430597104e-15,.721104624390635310005e-16) F[3,37]=(-.661124812495171061785e-16,.826543047280960985253e-17) F[3,38]=(.163864645379905960492e-16,-.154709273548507973215e-16) F[3,39]=(.304018328431272831836e-18,.77475909601119124471e-17) F[3,40]=(-.261229256900408012337e-17,-.219834430889899506307e-17) F[3,41]=(.147291614863644256183e-17,.123728583865363186408e-18) F[3,42]=(-.467138563486691487547e-18,.255978987406166911419e-18) F[3,43]=(.519164077071446303662e-19,-.167509481829464381492e-18) F[3,44]=(.396427409498004231218e-19,.592916019253166968468e-19) F[3,45]=(-.308936431296073076155e-19,-.946920761488953845717e-20) F[3,46]=(.120786313673440985385e-19,-.337221225227495537314e-20) F[3,47]=(-.241142895007999623452e-20,.339195959944921063427e-20) F[3,48]=(-.408001395124716597878e-21,-.147458458028021341244e-20) F[3,49]=(.601755304032879559098e-21,.351208736750262311543e-21) F[3,50]=(-.290530931683721206896e-21,.169157945295664881023e-22) F[3,51]=(.792309964624455807464e-22,-.629297449986404114834e-22) F[4,0]=(-.132186046320504385668e1,.325218643423877320098e0) F[4,1]=(-.752253983244060107944e-1,-.227523214288875319256e0) F[4,2]=(.897330798498764124315e-1,.6398461789252769202e-1) F[4,3]=(-.325164744518137469488e-1,-.420030122640410196888e-2) F[4,4]=(.630871492751418216688e-2,-.343665481812541739126e-2) F[4,5]=(-.302877111040919264611e-3,.162112692492692759868e-2) F[4,6]=(-.286264968485400529191e-3,-.409784217978634387522e-3) F[4,7]=(.141350507505939788074e-3,.593598117588528254774e-4) F[4,8]=(-.428917775025896961521e-4,.346246604380972455152e-5) F[4,9]=(.923794504121254796399e-5,-.61926400101838316722e-5) F[4,10]=(-.939562071710548438072e-6,.269594475105176465805e-5) F[4,11]=(-.336870047895725600835e-6,-.795172185404696354597e-6) F[4,12]=(.253179743200510237626e-6,.15757969504164803756e-6) F[4,13]=(-.971009389261601447822e-7,-.7184962758463801435e-8) F[4,14]=(.258685463399291785133e-7,-.108694257664341122036e-7) F[4,15]=(-.412283371639351215823e-8,.619607882486262457247e-8) F[4,16]=(-.321908687427093584653e-9,-.21431323589090025351e-8) F[4,17]=(.554737225286989851854e-9,.512190430203079883564e-9) F[4,18]=(-.254748644575642272626e-9,-.592573331135643191724e-10) F[4,19]=(.783628388549192301023e-10,-.185485405262964220975e-10) F[4,20]=(-.160265656497013213211e-10,.153323348153597989069e-10) F[4,21]=(.726007832201425101259e-12,-.61681343895951622128e-11) F[4,22]=(.118533090265734295721e-11,.171847630078258296824e-11) F[4,23]=(-.690868392444433000957e-12,-.293019586765918032402e-12) F[4,24]=(.245286194979141013603e-12,-.158700674348073547926e-13) F[4,25]=(-.604812812536682753592e-13,.373544450476845645262e-13) F[4,26]=(.746660583794141099848e-14,-.180887529144500429496e-13) F[4,27]=(.209441497587872135206e-14,.581482314167529243634e-14) F[4,28]=(-.18545823103215991205e-14,-.126182368697969105683e-14) F[4,29]=(.771657463183134057114e-15,.838309984943407281158e-16) F[4,30]=(-.222417875464851573464e-15,.82727594029501796716e-16) F[4,31]=(.401738354736404351763e-16,-.524221226153887614591e-16) F[4,32]=(.116606782241811411824e-17,.195031485250603868815e-16) F[4,33]=(-.470296017895269409962e-17,-.506255867924130866335e-17) F[4,34]=(.239005465095379188359e-17,.713627164378701317268e-18) F[4,35]=(-.796447010523543115815e-18,.135815464640086678094e-18) F[4,36]=(.181357387281303547491e-18,-.145659457274210235372e-18) F[4,37]=(-.154286704802909004418e-19,.64048371120951180942e-19) F[4,38]=(-.103631229468135739392e-19,-.193561327763206536483e-19) F[4,39]=(.71472462043950556634e-20,.378960935001455915595e-20) F[4,40]=(-.276916596848087312413e-20,-.385508924045486352641e-22) F[4,41]=(.750024019297917150529e-21,-.370789013757282613017e-21) F[4,42]=(-.116946325995950575389e-21,.203439122989430702929e-21) F[4,43]=(-.147606217531154581825e-22,-.710930545391047569099e-22) F[4,44]=(.20089115735522709566e-22,.171873704728200583288e-22) F[4,45]=(-.929777259785732896867e-23,-.187753251894784071548e-23) F[4,46]=(.292620875887911044807e-23,-.775885644104832182681e-24) F[4,47]=(-.61112335237764446132e-24,.614620981544160947541e-24) F[4,48]=(.248807217481434981085e-25,-.251119957367913586958e-24) F[4,49]=(.503893211551966903634e-25,.715540795586576764994e-25) F[4,50]=(-.298622705207343154118e-25,-.124424223291885066283e-25) F[4,51]=(.108886644810568459409e-25,-.757854271209997849915e-27) F[5,0]=(-.13408259712740912896e1,.206080045922671609594e0) F[5,1]=(.493030741497043538984e-2,-.15445411137462751249e0) F[5,2]=(.421923874975550789359e-1,.511118131677516178701e-1) F[5,3]=(-.186983058844323616654e-1,-.814994786669145012698e-2) F[5,4]=(.452098006377858064847e-2,-.267225429815107735667e-3) F[5,5]=(-.651972058462270741588e-3,.543210765505026852301e-3) F[5,6]=(.173222451573338121889e-4,-.17917020562849175677e-3) F[5,7]=(.239339889473088030787e-4,.38800767341745804005e-4) F[5,8]=(-.100558422927464437485e-4,-.593063194147987948894e-5) F[5,9]=(.286856894672856402706e-5,.361138857218080040199e-6) F[5,10]=(-.663363681603539387266e-6,.180079235160622350451e-6) F[5,11]=(.119761640021320695822e-6,-.100876442348929919359e-6) F[5,12]=(-.115981346574817214075e-7,.339810925601877966117e-7) F[5,13]=(-.263742637605644621024e-8,-.887201420659477833298e-8) F[5,14]=(.199310917051745459767e-8,.179577949081039891771e-8) F[5,15]=(-.738375737254656354539e-9,-.225984218020030765002e-9) F[5,16]=(.204427831291120399029e-9,-.181478264161759944521e-10) F[5,17]=(-.438403342480627734931e-10,.238555654731154139827e-10) F[5,18]=(.623259875766252484376e-11,-.979348958777003436726e-11) F[5,19]=(.136559296946547198597e-12,.289513446931995551943e-11) F[5,20]=(-.496206641838926208411e-12,-.666565191346732575879e-12) F[5,21]=(.222000440488597057251e-12,.108821736690809096441e-12) F[5,22]=(-.690760565360199532508e-13,-.41314917386275473094e-14) F[5,23]=(.16762485713517383742e-13,-.573649223356817389342e-14) F[5,24]=(-.299352791334385274095e-14,.299068272159308375468e-14) F[5,25]=(.219389041838252572839e-15,-.100173489870634793291e-14) F[5,26]=(.110042375727179329958e-15,.259644048792745403171e-15) F[5,27]=(-.678086681048790875687e-16,-.510989094935562044694e-16) F[5,28]=(.242457485302394438931e-16,.555756799804588027509e-17) F[5,29]=(-.662711194978580095139e-17,.104697467499589700846e-17) F[5,30]=(.139921223164443466743e-17,-.90038304131456340287e-18) F[5,31]=(-.185966524498527073413e-18,.353080301297199782525e-18) F[5,32]=(-.130424413447677321942e-19,-.102975327631773430874e-18) F[5,33]=(.19795695314499391602e-19,.234495644129577171173e-19) F[5,34]=(-.851834674867515242922e-20,-.36896304812812668107e-20) F[5,35]=(.263027458134711673085e-20,.488308189162775692718e-22) F[5,36]=(-.635978377626623972378e-21,.247587114500532018534e-21) F[5,37]=(.111809046835728294443e-21,-.122467264732380578963e-21) F[5,38]=(-.685003515757324165333e-23,.406028598028679322029e-22) F[5,39]=(-.496301934413666548614e-23,-.104861382372520952037e-22) F[5,40]=(.289679942841194947335e-23,.204459819330823354738e-23) F[5,41]=(-.102834539838054069891e-23,-.208079766703016384425e-24) F[5,42]=(.281010511170420550585e-24,-.514404505460605125301e-25) F[5,43]=(-.592068021482325275925e-25,.403086112526876321117e-25) F[5,44]=(.768154266537717883349e-26,-.156444019014491867633e-25) F[5,45]=(.700754585597721831833e-27,.455814289663055812685e-26) F[5,46]=(-.912645219847822814979e-27,-.10371877030594947017e-26) F[5,47]=(.389507102826742824303e-27,.16135586806299004585e-27) F[5,48]=(-.120401665251867064188e-27,-.524548344809450867072e-30) F[5,49]=(.291798123718074559364e-28,-.118409065469384400072e-28) F[5,50]=(-.512107336097831574352e-29,.578355753620152383655e-29) F[5,51]=(.293779947113731032498e-30,-.191772627345456903865e-29) F[6,0]=(-.13250668445809200095e1,.127192089224986072859e0) F[6,1]=(.3980100942513830625e-1,-.998096536094833800902e-1) F[6,2]=(.161143122863991236642e-1,.361153204869041396429e-1) F[6,3]=(-.973619200194439229942e-2,-.73843898675586365031e-2) F[6,4]=(.270160631438731666293e-2,.656297799693885863092e-3) F[6,5]=(-.484955744109473837428e-3,.116529867298189593487e-3) F[6,6]=(.541769133196918078556e-4,-.637607242780350652407e-4) F[6,7]=(-.429830528080690435966e-6,.161962584645082386766e-4) F[6,8]=(-.171010216920000575951e-5,-.303885005757155311833e-5) F[6,9]=(.60641697181066484568e-6,.451251678755680362478e-6) F[6,10]=(-.157081122406749234762e-6,-.457255379626442089229e-7) F[6,11]=(.352070127899080273243e-7,-.150289700266179619687e-8) F[6,12]=(-.690814274937570914368e-8,.268080889550433236422e-8) F[6,13]=(.110998875634474937122e-8,-.10227209494016513739e-8) F[6,14]=(-.109585301742336369873e-9,.288646162728523544514e-9) F[6,15]=(-.116073103654766758091e-10,-.676713004402502164999e-10) F[6,16]=(.104895611039484558555e-10,.132639812990895144975e-10) F[6,17]=(-.375407431283746761623e-11,-.201429127743716645813e-11) F[6,18]=(.101536250944147793357e-11,.150123475837327523189e-12) F[6,19]=(-.227278082997817649311e-12,.420797593302194170351e-13) F[6,20]=(.418352277253484136301e-13,-.253218630963678426248e-13) F[6,21]=(-.560372243509827641232e-14,.836448225307019096329e-14) F[6,22]=(.15485310987228156582e-15,-.217009202730650541047e-14) F[6,23]=(.229150913017528366038e-15,.469468836692218459451e-15) F[6,24]=(-.10433897263472989828e-15,-.826255132429915768895e-16) F[6,25]=(.317719174894537351857e-16,.990599955052969702064e-17) F[6,26]=(-.785337176508566701082e-17,.214670554650258605718e-18) F[6,27]=(.162384478349719061292e-17,-.619019929659251307567e-18) F[6,28]=(-.26713359032830649708e-18,.250487103370937604362e-18) F[6,29]=(.261025750001343553224e-19,-.729573217925143056232e-19) F[6,30]=(.329583140943057797785e-20,.174907293046424650037e-19) F[6,31]=(-.281057424693779708936e-20,-.349841087106276699703e-20) F[6,32]=(.101848733950061003133e-20,.54285716675645031384e-21) F[6,33]=(-.281795061005370846495e-21,-.416140722506827181348e-22) F[6,34]=(.649191946247174284587e-22,-.117627230782028041112e-22) F[6,35]=(-.123900480677810391593e-22,.729614361682205746723e-23) F[6,36]=(.17561582394588008066e-23,-.247940204272843071752e-23) F[6,37]=(-.742303712986137002132e-25,.662681875184348317168e-24) F[6,38]=(-.644554125964139291441e-25,-.148174982794952316122e-24) F[6,39]=(.317407019222553420964e-25,.271888429145639401771e-25) F[6,40]=(-.100888535006931171321e-25,-.352545993253790987171e-26) F[6,41]=(.258849826091567861694e-26,.170844604303592207728e-28) F[6,42]=(-.556982625895900351862e-27,.187284515358451456431e-27) F[6,43]=(.967725869696143866423e-28,-.816003310903385591348e-28) F[6,44]=(-.10872164748630270918e-28,.247985449071543769094e-28) F[6,45]=(-.675768352048412143567e-30,-.617113054160429864367e-29) F[6,46]=(.895214013490181671633e-30,.128664790064012703188e-29) F[6,47]=(-.349079691539474313789e-30,-.2126330109249819533e-30) F[6,48]=(.101043716693124993498e-30,.202798783940932020248e-31) F[6,49]=(-.242458826223529233877e-31,.30792093232904788313e-32) F[6,50]=(.485492548752005412751e-32,-.246378274296511645705e-32) F[6,51]=(-.747998464121562219908e-33,.894730040843827539451e-33) F[7,0]=(-.129573567089300270352e1,.770162258574684521684e-1) F[7,1]=(.50853621062819060758e-1,-.624608719517113487729e-1) F[7,2]=(.308192111496962709125e-2,.239192905925251569488e-1) F[7,3]=(-.460126786726589535344e-2,-.551740405043277550661e-2) F[7,4]=(.148233701249332323304e-2,.757251223028305001357e-3) F[7,5]=(-.299179023137393264731e-3,-.240322288029993430507e-4) F[7,6]=(.421427090928472857649e-4,-.181780339510782690756e-4) F[7,7]=(-.370576475571527957795e-5,.602588839406602930118e-5) F[7,8]=(-.444894230117687074673e-7,-.124302484030110214419e-5) F[7,9]=(.108562177938484304502e-6,.204199830177254721069e-6) F[7,10]=(-.323414942657816430192e-7,-.284764489763037803675e-7) F[7,11]=(.748684153904211176254e-8,.324036566944404837267e-8) F[7,12]=(-.156598431470190280532e-8,-.195848646988691832379e-9) F[7,13]=(.302221128887504041699e-9,-.441988553741029403823e-10) F[7,14]=(-.525119244150895161016e-10,.238941004469086235379e-10) F[7,15]=(.769932391284219200218e-11,-.725657083898953490208e-11) F[7,16]=(-.773653394304361338415e-12,.177960586458058176126e-11) F[7,17]=(-.218493413148560945335e-13,-.377341162449024313365e-12) F[7,18]=(.395605716506906288717e-13,.698436037588296868297e-13) F[7,19]=(-.139303940221806978043e-13,-.109485357872964509311e-13) F[7,20]=(.361683991781478823308e-14,.128240677331580751081e-14) F[7,21]=(-.792270210560939066875e-15,-.385210410664206789256e-16) F[7,22]=(.150980608412299727128e-15,-.373539120686145874625e-16) F[7,23]=(-.246502524115538961682e-16,.155786141670441180269e-16) F[7,24]=(.315239637789907254936e-17,-.434231256417041096674e-17) F[7,25]=(-.186025517023044184996e-18,.100209785805045635487e-17) F[7,26]=(-.583013363686137535403e-19,-.201049422851483201836e-18) F[7,27]=(.296628956243022441777e-19,.350064999998235330183e-19) F[7,28]=(-.884702020276574349676e-20,-.500504603978322967868e-20) F[7,29]=(.213651347668045943182e-20,.457067468962578463963e-21) F[7,30]=(-.446781392334375583171e-21,.331354969069033405166e-22) F[7,31]=(.815907271116732058212e-22,-.315699035274925436536e-22) F[7,32]=(-.125469348571198212263e-22,.106618515053850072128e-22) F[7,33]=(.139171450024879996342e-23,-.275557949484001944634e-23) F[7,34]=(-.810433802413841094996e-26,.608147876614381805137e-24) F[7,35]=(-.551397921758220610077e-25,-.117418827864499190034e-24) F[7,36]=(.21468312532082003122e-25,.194813822926177546702e-25) F[7,37]=(-.591694622160149820771e-26,-.253750937481043493328e-26) F[7,38]=(.136817834103296153954e-26,.153998471742295668948e-27) F[7,39]=(-.276174223714498271715e-27,.478402797556418964108e-28) F[7,40]=(.484721714819199199809e-28,-.249060274432052730093e-28) F[7,41]=(-.695879197841431580544e-29,.756290549521486444654e-29) F[7,42]=(.634539855368499205665e-30,-.185826163828135045762e-29) F[7,43]=(.538413559119982655293e-31,.39546184406846081581e-30) F[7,44]=(-.463285906174047655772e-31,-.736259204622350130562e-31) F[7,45]=(.16213432792802365271e-31,.115925363172935070555e-31) F[7,46]=(-.402120248625895922968e-32,-.134462751821873910669e-32) F[7,47]=(.98108416055417359645e-33,.240761990934360713345e-34) F[7,48]=(-.156189820234678821587e-33,.475896735876837090839e-34) F[7,49]=(.411120757877080710167e-34,-.196857956823382677144e-34) F[7,50]=(.653174986184175043648e-36,.548563663741425892745e-35) F[7,51]=(.231501779721308363908e-35,-.132707819249004447361e-35) F[8,0]=(-.126350386870977383616e1,.459600215523369276238e-1) F[8,1]=(.505377590440462464183e-1,-.382133677964215421041e-1) F[8,2]=(-.273121373586376168344e-2,.152213309485265510483e-1) F[8,3]=(-.186781194538717186814e-2,-.377229126876190755996e-2) F[8,4]=(.760340757867509369734e-3,.615050173412750376224e-3) F[8,5]=(-.170138545856027920116e-3,-.564784157916192035287e-4) F[8,6]=(.268220629181853365514e-4,-.195856687203533796652e-5) F[8,7]=(-.305953874323801638921e-5,.198135850658127280611e-5) F[8,8]=(.21053397547708957113e-6,-.479200545723312166381e-6) F[8,9]=(.787927235454052181433e-8,.830798135374597652139e-7) F[8,10]=(-.625721039875560260466e-8,-.12071355939745635949e-7) F[8,11]=(.156525142146517553932e-8,.15590704699355473567e-8) F[8,12]=(-.321303946924043638548e-9,-.179264904422667144535e-9) F[8,13]=(.616648035362760550243e-10,.162299648090185277992e-10) F[8,14]=(-.112968119593929343919e-10,-.266788284421419177892e-12) F[8,15]=(.194438727083391468931e-11,-.407694904583261625987e-12) F[8,16]=(-.304816372949049570887e-12,.149607783174749629807e-12) F[8,17]=(.412219309635377242658e-13,-.38493046250891073242e-13) F[8,18]=(-.413997814424407541752e-14,.837266258441647847844e-14) F[8,19]=(.683890294042977463738e-16,-.161475891646555339455e-14) F[8,20]=(.110920731043104584283e-15,.279216911582560781669e-15) F[8,21]=(-.398187921481651369496e-16,-.427788114406520751192e-16) F[8,22]=(.992409205832261739413e-17,.552740495716625577662e-17) F[8,23]=(-.208454263604602494827e-17,-.499546626048944461182e-18) F[8,24]=(.388381870416320417632e-18,-.813047857541398462021e-20) F[8,25]=(-.649467349905691620127e-19,.188233853175463659171e-19) F[8,26]=(.957489392243958920631e-20,-.613868421832599998749e-20) F[8,27]=(-.117652414493142180736e-20,.148333203694461098125e-20) F[8,28]=(.858116134390914433593e-22,-.307366220710167199694e-21) F[8,29]=(.519100411521183214463e-23,.569438818166338633315e-22) F[8,30]=(-.683887631507558580182e-23,-.946638642529432193022e-23) F[8,31]=(.776681708467533359083e-24,.140072952894116121958e-23) F[8,32]=(-.909811336915526558822e-24,-.162370239254400964069e-24) F[8,33]=(-.249393765510294971823e-24,.152028142036119439947e-25) F[8,34]=(-.216903765825119747327e-24,.343817281473301840846e-26) F[8,35]=(-.123332664049788119744e-24,.374711506812071662286e-27) F[8,36]=(-.783032280703458001516e-25,.103691461141066392664e-26) F[8,37]=(-.483599940847042596274e-25,.423901473025860042395e-27) F[8,38]=(-.300639754022725131536e-25,.31261739213219618989e-27) F[8,39]=(-.186826019584348498187e-25,.184512046049641973596e-27) F[8,40]=(-.116159710135157202749e-25,.116468781586147586931e-27) F[8,41]=(-.722645612977187967076e-26,.721766301789083654837e-28) F[8,42]=(-.449763760045831082029e-26,.449607771274944559041e-28) F[8,43]=(-.280060359861606668283e-26,.279922767193258558037e-28) F[8,44]=(-.174465146546897176068e-26,.174381438541041582026e-28) F[8,45]=(-.108730578901205670563e-26,.108679721971103429187e-28) F[8,46]=(-.677910988841386638223e-27,.67759271048732182021e-29) F[8,47]=(-.422829484531704404467e-27,.4226334495104545664e-29) F[8,48]=(-.263829359519234636251e-27,.263707771215115428733e-29) F[8,49]=(-.16467979024791279865e-27,.164604522386728586448e-29) F[8,50]=(-.102827942865912491637e-27,.102781300107446316664e-29) F[8,51]=(-.64228868416686016494e-28,.641999604438553561493e-30) F[9,0]=(-.12331882305584095465e1,.271135506414558870546e-1) F[9,1]=(.455298010488012979038e-1,-.229875898142909479281e-1) F[9,2]=(-.481618105254002191773e-2,.942628090988851944822e-2) F[9,3]=(-.511000808888009509274e-3,-.245062655382413143303e-2) F[9,4]=(.360436410837495703665e-3,.438880542281598865612e-3) F[9,5]=(-.914256634235879877742e-4,-.527192102038190526349e-4) F[9,6]=(.157080640983726627069e-4,.285619990321078359274e-5) F[9,7]=(-.201469581378174283182e-5,.461984530759825604034e-6) F[9,8]=(.189290575409717790975e-6,-.171936087083388751158e-6) F[9,9]=(-.984099344200782799194e-8,.329820811416619710242e-7) F[9,10]=(-.750138334193434424422e-9,-.492502579958400452608e-8) F[9,11]=(.331412916358997718674e-9,.639005128466096259124e-9) F[9,12]=(-.698806233655843323524e-10,-.760721858361359029468e-10) F[9,13]=(.126748276074703524839e-10,.847783136559508423484e-11) F[9,14]=(-.221278512166046254101e-11,-.849652464484223157015e-12) F[9,15]=(.378772221876268940029e-12,.606507942175333182016e-13) F[9,16]=(-.625966849583230047315e-13,.250249034280089339247e-14) F[9,17]=(.975002262966971422383e-14,-.242376679155698305568e-14) F[9,18]=(-.139355260928424228316e-14,.708212813212799483169e-15) F[9,19]=(.173942566526442437539e-15,-.159362587554212145773e-15) F[9,20]=(-.180281169650473401736e-16,.31169846010428773959e-16) F[9,21]=(-.702757042978274948033e-19,-.548775752881463440309e-17) F[9,22]=(-.568356219953359843918e-18,.892495201357352020982e-18) F[9,23]=(-.906724371329712314686e-18,-.121333861375536642015e-18) F[9,24]=(-.810477758076545462533e-18,.25178949084527306928e-19) F[9,25]=(-.854687390368755886472e-18,.666854196003488673824e-20) F[9,26]=(-.868985532856607496319e-18,.881288230862059551829e-20) F[9,27]=(-.890930550699412606366e-18,.89085351912497945657e-20) F[9,28]=(-.913391725572171122439e-18,.91190092047702065649e-20) F[9,29]=(-.937621615416897656321e-18,.936873641668134378864e-20) F[9,30]=(-.963457475396556128653e-18,.962496797797690632005e-20) F[9,31]=(-.990964568118115737924e-18,.990029767649594026559e-20) F[9,32]=(-.102018301853190742418e-17,.101922385406092561905e-19) F[9,33]=(-.10511629338688226506e-17,.105018749928748672616e-19) F[9,34]=(-.108395989055278611154e-17,.108296571263923955223e-19) F[9,35]=(-.111863525112242446871e-17,.111762158491080141202e-19) F[9,36]=(-.115525609569519616187e-17,.115422191060674970491e-19) F[9,37]=(-.119389521068751710346e-17,.119283949145389031236e-19) F[9,38]=(-.123463112694912471146e-17,.123355283094060773601e-19) F[9,39]=(-.127754819196801829814e-17,.127644625232575674868e-19) F[9,40]=(-.132273667633843950853e-17,.132160999984128922465e-19) F[9,41]=(-.13702929110477955506e-17,.136914037633690433727e-19) F[9,42]=(-.142031945370514772711e-17,.141913990947618046187e-19) F[9,43]=(-.147292528213743297324e-17,.147171754527652401615e-19) F[9,44]=(-.152822601422486497171e-17,.152698886790790815613e-19) F[9,45]=(-.15863441531894128652e-17,.158507634493880781486e-19) F[9,46]=(-.16474093578474772621e-17,.164610959754584072864e-19) F[9,47]=(-.171155873759306293822e-17,.17102256954513204084e-19) F[9,48]=(-.177893717210016161518e-17,.177756947657714070651e-19) F[9,49]=(-.184969765592917966061e-17,.184829389159936841807e-19) F[9,50]=(-.192400166839749919038e-17,.192256037376332253979e-19) F[9,51]=(-.200201956923299115148e-17,.20005392344777107511e-19)

mathe

上面函数的问题是只含有一个参变量。而通常二阶微分应该包含两个变参（这样我们分别给定两个边界条件就可以得到一个唯一解） 我觉得产生上面的原因是我解方程过程中假设了函数$u(theta)$在$theta=0$任意阶导数都存在，而估计另外一些解的二阶导数趋向无穷了，所以这个方法就计算不出来了

无心人

能得到图像么？

mathe

我没有好的软件来产生这个图。有了上面的函数，无论用Mathematica, Matlab或其他数学软件，都应该很容易作出F1,F2和u的图。 而且给定u以后，根据方程 $x(theta)=cos(theta)-u(theta)sin(theta)$ $y(theta)=sin(theta)+u(theta)cos(theta)$ 可以画出目标曲线的图。 不过问题在于使用这个结果，得出的结论是最优的线路是先一直在圆周边界上走到最后只余下83度的角度，然后切换到对应的u(0)=1.714的曲线上,总共期望距离为4.0749987。

wayne

这题有意思

KeyTo9_Fans

$4$年前研究过的题目，被wayne大牛翻出来了。 现在对当时得到的结果$3.549260$的精确程度还是很有信心的， 至少前$6$个有效数字是不需要改动的。 遗憾的是，mathe大师给出的微分方程，在短时间内没法理解。 接下来的工作是看看能否继续提高答案的精确程度以及算法的效率。