微分方程数值求解

wayne

wayne 发表于 2015-1-23 13:06
的确如mathe所言，分母含有大量的小素因子。v(t) 的49次幂 的系数 是$- (536894642831175368956914839 t^49 ...

另外v函数在复平面半径3.4左右的圆上有奇点，而且应该是本性奇点。

令 t=v[t] ，取级数前20项，计算得知，这个本征奇点是：
3.479296180914210778331783569602581990596247023971482871596727909176595752671232608887636064590436440
取级数前30项，得到：
3.536612433791888311310483821452674119091375850754571727266938056617295732107757591613064888947140921
前40项，得到
5.619588433071192383071937399646655597624842290421758769191200556985148768144085170278794099126806711

额。越到后面 越发散，应该是级数 截断产生的误差。

数学星空

我按照45#的方法算了一下得到的相关结果可见附件,

但是没弄明白哪一步搞错了,导致最终结果不对.

另外在45#

\(A(d)=2\ln(\frac{1+\sin(d)}{1-\sin(d)})+\frac{2\pi-2d}{\cos(d)}\)

关于\(d\)求导的结果似乎为:

\(A'(d)=-\frac{2(\sin(d)^2+2\cos(d)^2-1)}{\cos(d)(-1+\sin(d))(1+\sin(d))}+\frac{(2\pi-2d)\sin(d)}{\cos(d)^2}\)=\(\frac{2}{\cos(d)}+\frac{(2\pi-2d)\sin(d)}{\cos(d)^2}\)

数学星空

极地出逃求解步骤.pdf (78.72 KB, 下载次数: 13)

2015-1-23 22:22 上传

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mathe

在0处的泰勒展开式收敛半径不够，不能用来求解靠近2\pi处的函数值
另外是不是我整个导数函数缺了一个2/cos(d)?

wayne

我也觉得0处的 泰勒展开有点问题。我计算了u[t] 的泰勒展开，画图，发现图形随着 u[0] 值的变化  而变得难以捉摸

wayne

嘿嘿，mathe53楼最后的图像我 用二分法不断的调，根据图像变化剧烈的程度，终于挑出来了：

数学星空

用数学软件可以算出:



但是初始条件\(u(2\pi-2d)=\tan(d)\)没有代入计算,不知如何参与计算确定唯一的\(u(x)\)?

mathe

关于级数收敛半径问题，对于级数$\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$,其收敛半径为
\[\bar{\lim_{n->\infty}}|a_n|^{-\frac{1}{n}}\]
也就是$|a_n|^{-1/n}$的上极限。我们可以对比较大的n,连续计算接近n的若干项，选择其最大值作为上极限的近似值
另外需要注意的是，为了确保计算的精度，我们还需要选择x,使得级数最后若干项$a_nx^n$的绝对值都充分小，所以实际上可用的变量范围要选择还远远小于收敛半径（这是因为我们只取了有限项）

对应到本题，比如我们现在要计算v函数$\theta$在接近$2\pi$时候的函数值，我们可以首先得到$v(0)$处的泰勒展开式，然后我们可以计算出$v(1)$的高精度值，然后就可以继续根据微分方程得出$v$在$\theta=1$处的泰勒展开式，同样估计其收敛半径，比如这次可以继续用新的展开式计算出$v(1.5)$,然后计算$v$在1.5处的展开式等等。由于后面每个点的值都是近似值，自然所有展开式都不能像0附近的展开式一样可以有精确表达形式了。
而我想分析$v$的奇点出的情况的目的就是希望能够找出一个精确的表达形式。
比如$tan(x)=x+1/3*x^3+2/15*x^5+...$的收敛半径为${pi}/2$,但是由于我们知道${pi}/2,-{pi}/2$都是其一阶极点，改成计算
$tan(x)*(x-pi/2)*(x+pi/2)$的展开式可以得出$-2.4674...*x+0.1775329...*x^3+...$其收敛半径就是$pi$了
当然如果奇点是本性奇点比如$exp(-1/x)$在x于0点的情况，那么就比较难消除了。
而如果遇到的点处不解析，而是形成多个不同的解析分支，比如$sqrt(x),ln(x)$等在x=0处的情况，我们将函数值绕这个点计算一周回到原来的点，会发现函数值发生变化，比如$sqrt(x)$绕单位圆一周，$\sqrt(1)$会从1变成-1，而$ln(1)$会从0变化为$2\pi i$,那么就更加难处理了

wayne

mathe 发表于 2015-1-24 11:37
关于级数收敛半径问题，对于级数$\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$,其收敛半径为
\[\bar{\lim_{n->\infty}}|a ...

我没有用到v(t)，因为你的v(t) 是用来方便计算的中间函数，我用软件直接计算 u(t)的数值解(精确的，可以不用担心其计算精度的缺失)。然后目测图像的随初始值 u(0)的值的变化 。
发现在\(u(0) = 1.6469732068 -1.6469732069\)的时候， u(t)及其导函数的图像都稳定下来了（值域跨度变小，图像不再发生突越性的变化）

wayne

为了更好的观察u(t)的导函数的全貌。把角度的范围 扩充到\( [0,6\pi]\)，得到稳定的图像如下：
此时，u(0) = 1.6469732068~1.6469732069
蓝色是u(t)，粉红色是u(t)的导函数。



这个怎么说呢，不是正道，呵呵。但得出的解总得贴近实际吧，
其他初始值 都会导致u(t)的值域在\(t = [0,2\pi]\)发生很大的变化,所以不大可能会是解。