微分方程数值求解

mathe

我们首先能够想到的是公路可能的分布正好是单位圆的所有切线，每条切线出现的概率相同。我们可以采用切点对应的角度$theta$作为参数了表示这些切线。
第一步肯定是按照直线从圆心走到圆的边界，然后可以继续按照直线 ...
mathe 发表于 2008-4-8 17:41

怎么感觉这个方法完全错了，将这个曲线上任意一小段用直线段代替，长度变长，但是还符合条件（同单位圆所有切线相交），所以由此得出这个方案不会比直线段-贴圆走-直线段好

mathe

嗯，是求期望值最优值，不是最差情况的最优值，所以才没有贴着圆

wayne

$4$年前研究过的题目，被wayne大牛翻出来了。

现在对当时得到的结果$3.549260$的精确程度还是很有信心的，

至少前$6$个有效数字是不需要改动的。

遗憾的是，mathe大师给出的微分方程，在短时间内没法理解。 ...
KeyTo9_Fans 发表于 2012-1-14 19:15

我不是什么大牛，我只是翻出来，找个时间自己也做做

wayne

采取怎样的方式才能尽快找到高速公路？尽快的定义是期望值  
最短。也就是说如果往不同方向出发，平均值最小。  

感觉有点模糊，这个期望值是咋算的。
到底是什么的期望。

mathe

期望值就是在假设公路处在各个不同方向的概率均相等的情况下需要距离的平均值。Fans的方法应该是通过将问题离散化得到的结果，所以这个结果作为一个上界是没有问题的，但是我觉得这种方法很难判断这个方法离理论最佳值的误差还有多少

wayne

35# mathe
如果是这样理解的话，我倒有一种思路：
假设公路是直线x=a，人在原点，最优路径是一条曲线L，则在该曲线上任意一点P (x,y) 到公路的期望值dE是该点到公路的距离与概率的乘积，
即 ${dE}/{ds}=\int_0^{2\pi} (a-x(t))*dt/{2\pi}$
$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$
问题就成了，寻找这样的曲线(x(t),y(t)),使得上面的E最小

wayne

有必要查查变分法的一些知识

倪举鹏

wayne 发表于 2012-1-27 15:50
有必要查查变分法的一些知识

那个如果总感觉出路在圆环上的下一点的话，行走曲线不就是圆的渐开线么，期望值代表什么

wayne

gxqcn 发表于 2008-4-9 20:23
我虽然有 Mathematica，但却不怎么会用。
几天前，我曾让一位精通 Mathematica/Maple 的同事帮忙解这个 ...

我用的Mathematica9.0.1 也是报错,所以不能怪你那个精通Mathematica的同事了,

分析了一下原因: 是因为取了不恰当的 初始值 导致的.

我用无穷小代替0,就可以得到数值解, 画出图形了, 不知道这是不是@mathe 想要的结果?



这是代码:

1. U=Block[{\[Epsilon]=$MachineEpsilon},NDSolveValue[{t u[t]^2u''[t]==-(1+u'[t])^3+2t u[t](1+u'[t])^2-(u[t]+t)u[t](1+u'[t])-t u[t]^3,u[\[Epsilon]]==1,u'[\[Epsilon]]==-1},u,{t,30}]]

复制代码

倪举鹏

降低难度：将人开始位置放在圆上  然后人绕着圆走一圈去寻找切线（不是贴着走）