圆内接五边形的面积公式

数学星空

1.已知五边形内接于圆,并且其边长依次为a,b,c,d,e,求其五边形面积公式S ?

注:可以用多项式方程的根表示,例:设x为方程$F(x)=0$的实根,y为$G(y)=0$的实根,R为$H(R)=0$的实根,则其面积$S=1/(4*R)*(a*b*x+c*x*y+e*d*y)$,其实难点在于如何求出$F(x),G(y),H(R)$

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说明:1991年,王振和陈计用Galois理论已证明:圆内接五边形的面积一般不能用边长的根式表示? (特殊的五边形除外,例正五边形...)

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更直接的可以写出方程:
$a^2*b^2*x^2=R^2*((a+b)^2-x^2)*(x^2-(a-b)^2)$..........(1)
$c^2*x^2*y^2=R^2*((x+y)^2-c^2)*(c^2-(x-y)^2)$..........(2)
$e^2*d^2*y^2=R^2*((e+d)^2-y^2)*(y^2-(e-d)^2)$..........(3)

现在的问题是如何将方程组(1),(2),(3),消元成分别只关于x,y,R的方程$F(x)=0,G(y)=0,H(R)=0 $?

mathematica

是否可以先求出圆的半径，然后把五边形分解成五个三角形，而三角形的面积是可以求解出来的！然后叠加五个三角形的面积，最后得出五边形的面积！

zeroieme

4# mathematica

5个圆心角α、β、γ、ε、ζ，半径R。6个未知数
对应5条边的余弦定理、α+β+γ+ε+ζ=2π。6个方程

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4#,5#的方法反而将问题变复杂了....

数学星空

经过适当变形，可以将(1)，(2)，(3)简化为下列方程

$a^2*b^2*(2*c^2*x^2+2*x^2*y^2+2*c^2*y^2-c^4-x^4-y^4)=c^2*y^2*(2*a^2*x^2+2*b^2*x^2+2*a^2*b^2-a^4-b^4-x^4)$....(3)

$c^2*x^2*(2*d^2*y^2+2*e^2*y^2+2*e^2*d^2-d^4-e^4-y^4)=d^2*e^2*(2*x^2*y^2+2*c^2*y^2+2*c^2*x^2-c^4-y^4-x^4)$....(4)

这样可以很快将(3)，(4)进行消元，得到

\(a^2cy+abc^2-abx^2+aby^2+b^2cy-cx^2y=0\)

\(c^2de+cd^2x+ce^2x-cxy^2+dex^2-dey^2=0\)

进一步得到如下结果：

\(cdex^7+(-a^2b^2+c^2d^2+c^2e^2+d^2e^2)x^6+(-2a^2cde-2b^2cde+c^3de+cd^3e+cde^3)x^5+(2a^2b^2c^2+2a^2b^2d^2+2a^2b^2e^2-2a^2c^2d^2-2a^2c^2e^2-2a^2d^2e^2-2b^2c^2d^2-2b^2c^2e^2-2b^2d^2e^2+c^2d^2e^2)x^4+(a^4cde+6a^2b^2cde-2a^2c^3de-2a^2cd^3e-2a^2cde^3+b^4cde-2b^2c^3de-2b^2cd^3e-2b^2cde^3)x^3+(a^4c^2d^2+a^4c^2e^2+a^4d^2e^2-a^2b^2c^4-a^2b^2d^4-a^2b^2e^4-2a^2c^2d^2e^2+b^4c^2d^2+b^4c^2e^2+b^4d^2e^2-2b^2c^2d^2e^2)x^2+(a^4c^3de+a^4cd^3e+a^4cde^3-2a^2b^2c^3de-2a^2b^2cd^3e-2a^2b^2cde^3+b^4c^3de+b^4cd^3e+b^4cde^3)x+a^4d^2e^2c^2-2a^2b^2d^2e^2c^2+b^4d^2e^2c^2=0\)

\(-aby^7c+(-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2+d^2e^2)y^6+(-a^3bc-ab^3c-abc^3+2abcd^2+2abce^2)y^5+(-a^2b^2c^2+2a^2b^2d^2+2a^2b^2e^2+2a^2c^2d^2+2a^2c^2e^2-2a^2d^2e^2+2b^2c^2d^2+2b^2c^2e^2-2b^2d^2e^2-2c^2d^2e^2)y^4+(2a^3bcd^2+2a^3bce^2+2ab^3cd^2+2ab^3ce^2+2abc^3d^2+2abc^3e^2-abcd^4-6abcd^2e^2-abce^4)y^3+(a^4d^2e^2+2a^2b^2c^2d^2+2a^2b^2c^2e^2-a^2b^2d^4-a^2b^2e^4-a^2c^2d^4-a^2c^2e^4+b^4d^2e^2-b^2c^2d^4-b^2c^2e^4+c^4d^2e^2)y^2+(-a^3bcd^4+2a^3bcd^2e^2-a^3bce^4-ab^3cd^4+2ab^3cd^2e^2-ab^3ce^4-abc^3d^4+2abc^3d^2e^2-abc^3e^4)y-a^2b^2d^4c^2+2a^2b^2d^2e^2c^2-a^2b^2e^4c^2=0\)

zeroieme

浅谈多元多次方程组 w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d271/27107.pdf 好象不用爬墙

wayne

可以这么考虑。 圆内接无边形有五个自由变量。 我们先用自选的五个变量， 圆半径R，四个圆心角α、β、γ、ε 来表达 面积S，五个边长 a,b,c,d,e。 这个简单， 接下来， 我们就证明，上面的六个式子无法显式的消除变量R，α、β、γ、ε

zeroieme

可以这么考虑。 圆内接无边形有五个自由变量。 我们先用自选的五个变量， 圆半径R，四个圆心角α、β、γ、ε 来表达 面积S，五个边长 a,b,c,d,e。 这个简单， 接下来， 我们就证明，上面的六个式子无法显式的 ... wayne 发表于 2011-10-20 10:26

$a^2*b^2*x^2=R^2*((a+b)^2-x^2)*(x^2-(a-b)^2)$..........(1) $c^2*x^2*y^2=R^2*((x+y)^2-c^2)*(c^2-(x-y)^2)$..........(2) $e^2*d^2*y^2=R^2*((e+d)^2-y^2)*(y^2-(e-d)^2)$..........(3)

可以显式地消元。不过是5+次，精确解需要椭圆函数，与顶楼无根式结论一致。