圆内接五边形的面积公式

creasson

粗略的计算显示方程次数不少很高，有空给过程

云梦

如果是任意的内接五边行形，需要很多初始条件（边长、弧度......）。作为内接五边形可以由五个等腰三角形构成，而每个三角形腰的长度洽洽都是圆的半径，所以求五边形的面积很容易。

creasson

云梦 发表于 2013-8-22 07:48
如果是任意的内接五边行形，需要很多初始条件（边长、弧度......）。作为内接五边形可以由五个等腰三角形构 ...

这将导致解三角函数方程，这是最直接的想法，却不是所希望得到的结果。

creasson

creasson

晚上用MM化简下，手算有些麻烦。

云梦

如果五边形的边长分别为：a,b,c,d,e,圆半径为R:则面积为：这样是否可以？

creasson

云梦 发表于 2013-8-22 15:27
如果五边形的边长分别为：a,b,c,d,e,圆半径为R:则面积为：这样是否可以？

半径是未知的，要不然也不会有这个问题

creasson

数学星空

根据34#的方程容易得：AC=x满足下列方程
$c*d*e*x^7+(-a^2*b^2+c^2*d^2+c^2*e^2+d^2*e^2)*x^6+(-2*a^2*c*d*e-2*b^2*c*d*e+c^3*d*e+c*d^3*e+c*d*e^3)*x^5+(2*a^2*b^2*c^2+2*a^2*b^2*d^2+2*a^2*b^2*e^2-2*a^2*c^2*d^2-$
$2*a^2*c^2*e^2-2*a^2*d^2*e^2-2*b^2*c^2*d^2-2*b^2*c^2*e^2-2*b^2*d^2*e^2+c^2*d^2*e^2)*x^4+(a^4*c*d*e+6*a^2*b^2*c*d*e-2*a^2*c^3*d*e-2*a^2*c*d^3*e-2*a^2*c*d*e^3+b^4*c*d*e-$
$2*b^2*c^3*d*e-2*b^2*c*d^3*e-2*b^2*c*d*e^3)*x^3+(a^4*c^2*d^2+a^4*c^2*e^2+a^4*d^2*e^2-a^2*b^2*c^4-a^2*b^2*d^4-a^2*b^2*e^4-2*a^2*c^2*d^2*e^2+b^4*c^2*d^2+b^4*c^2*e^2+$
$b^4*d^2*e^2-2*b^2*c^2*d^2*e^2)*x^2+(a^4*c^3*d*e+a^4*c*d^3*e+a^4*c*d*e^3-2*a^2*b^2*c^3*d*e-2*a^2*b^2*c*d^3*e-2*a^2*b^2*c*d*e^3+b^4*c^3*d*e+b^4*c*d^3*e+b^4*c*d*e^3)*x+$
$a^4*c^2*d^2*e^2-2*a^2*b^2*c^2*d^2*e^2+b^4*c^2*d^2*e^2=0$

且R满足
$R^2*(-a^4+2*a^2*b^2+2*a^2*x^2-b^4+2*b^2*x^2-x^4)-a^2*b^2*x^2=0$

显然也很容易得到R的方程

creasson

数学星空 发表于 2013-8-22 22:01
根据34#的方程容易得：AC=x满足下列方程

预料之外的结果，形式要简洁许多.一个有趣的特例是：a=1,b=2,c=d=3,e=5的五边形的外接圆半径是可用根式表达的.补充一点，容易推广至一般的圆内接多边形。