圆内接五边形的面积公式

zeroieme

然后，因为26#的发现

对分解因式出的每个因子用正5边形(全等边)和对应圆心角为30、45、60、90、135度(边全不等)的5边形检验。
过滤得下面含x的方程组
$a^4 r^2-2 a^2 b^2 r^2+b^4 r^2+a^2 b^2 x^2-2 a^2 r^2 x^2-2 b^2 r^2 x^2+r^2 x^4$

$c^2 d^2 e^2+c^4 r^2-2 c^2 d^2 r^2+d^4 r^2-2 c^2 e^2 r^2-2 d^2 e^2 r^2+e^4 r^2+c^3 d e x+c d^3 e x+c d e^3 x-8 c d e r^2 x+c^2 d^2 x^2+c^2 e^2 x^2+d^2 e^2 x^2-2 c^2 r^2 x^2-2 d^2 r^2 x^2-2 e^2 r^2 x^2+c d e x^3+r^2 x^4$

$d^8 e^4 r^2-2 d^6 e^6 r^2+d^4 e^8 r^2+16 d^4 e^4 r^2 S^2-32 d^4 e^2 r^4 S^2-32 d^2 e^4 r^4 S^2+256 r^6 S^4+4 c d^7 e^3 r^2 x-8 c d^5 e^5 r^2 x+4 c d^3 e^7 r^2 x-8 a b d^4 e^4 r S x+16 a b d^4 e^2 r^3 S x+16 a b d^2 e^4 r^3 S x+32 c d^3 e^3 r^2 S^2 x-64 c d^3 e r^4 S^2 x-64 c d e^3 r^4 S^2 x-256 a b r^5 S^3 x+a^2 b^2 d^4 e^4 x^2-2 a^2 b^2 d^4 e^2 r^2 x^2+6 c^2 d^6 e^2 r^2 x^2-2 a^2 b^2 d^2 e^4 r^2 x^2-12 c^2 d^4 e^4 r^2 x^2+6 c^2 d^2 e^6 r^2 x^2-16 a b c d^3 e^3 r S x^2+32 a b c d^3 e r^3 S x^2+32 a b c d e^3 r^3 S x^2+16 c^2 d^2 e^2 r^2 S^2 x^2+96 a^2 b^2 r^4 S^2 x^2-32 c^2 d^2 r^4 S^2 x^2-32 c^2 e^2 r^4 S^2 x^2+2 a^2 b^2 c d^3 e^3 x^3-4 a^2 b^2 c d^3 e r^2 x^3+4 c^3 d^5 e r^2 x^3-4 a^2 b^2 c d e^3 r^2 x^3-8 c^3 d^3 e^3 r^2 x^3+4 c^3 d e^5 r^2 x^3-8 a b c^2 d^2 e^2 r S x^3-16 a^3 b^3 r^3 S x^3+16 a b c^2 d^2 r^3 S x^3+16 a b c^2 e^2 r^3 S x^3+a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 x^4+a^4 b^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^2 d^2 r^2 x^4+c^4 d^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^2 e^2 r^2 x^4-2 c^4 d^2 e^2 r^2 x^4+c^4 e^4 r^2 x^4$

$c^4 d^4 e^4 r^2-32 c^2 d^2 e^2 r^4 S^2+256 r^6 S^4+4 c^5 d^3 e^3 r^2 x+16 a b c^2 d^2 e^2 r^3 S x-64 c^3 d e r^4 S^2 x-256 a b r^5 S^3 x-2 a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 r^2 x^2+6 c^6 d^2 e^2 r^2 x^2-2 c^2 d^4 e^4 r^2 x^2+32 a b c^3 d e r^3 S x^2+16 c^2 d^2 e^2 r^2 S^2 x^2+96 a^2 b^2 r^4 S^2 x^2-32 c^4 r^4 S^2 x^2-32 d^2 e^2 r^4 S^2 x^2-4 a^2 b^2 c^3 d e r^2 x^3+4 c^7 d e r^2 x^3-8 c^3 d^3 e^3 r^2 x^3-8 a b c^2 d^2 e^2 r S x^3-16 a^3 b^3 r^3 S x^3+16 a b c^4 r^3 S x^3+16 a b d^2 e^2 r^3 S x^3+32 c^3 d e r^2 S^2 x^3-64 c d e r^4 S^2 x^3+a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 x^4+a^4 b^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^4 r^2 x^4+c^8 r^2 x^4-2 a^2 b^2 d^2 e^2 r^2 x^4-12 c^4 d^2 e^2 r^2 x^4+d^4 e^4 r^2 x^4-16 a b c^3 d e r S x^4+32 a b c d e r^3 S x^4+16 c^4 r^2 S^2 x^4-32 c^2 r^4 S^2 x^4+2 a^2 b^2 c^3 d e x^5-4 a^2 b^2 c d e r^2 x^5-8 c^5 d e r^2 x^5+4 c d^3 e^3 r^2 x^5-8 a b c^4 r S x^5+16 a b c^2 r^3 S x^5+a^2 b^2 c^4 x^6-2 a^2 b^2 c^2 r^2 x^6-2 c^6 r^2 x^6+6 c^2 d^2 e^2 r^2 x^6+4 c^3 d e r^2 x^7+c^4 r^2 x^8$

zeroieme

接着卡在这里就摆一边了。突然有天想到。
对于最后方程和倒数上一步骤
$P(S,a,b,c,d,e)$
$P(S,r,a,b,c,d,e)$
应当是5边完全对称多项式。
引入辅助变量x y后，只有<a,b>跟<d,e>分别对称，消去y的方程则应当是<a,b>跟<c,d,e>对称。
如是，61#的后两方程可以通过反复换元相减降低次数

1. (P-(P/.{c->d,d->c}))/(c-d)

复制代码

最后精简得
$4 a b (a+b)^2 r-(a+b)^4 r+8 c d e (c+d+e) r+(c+d+e)^4 r-4 (c+d+e)^2 (c d+c e+d e) r+16 r S^2-8 c d e r x-8 a b S x-4 a b r x^2+2 (a+b)^2 r x^2-2 (c+d+e)^2 r x^2+4 (c d+c e+d e) r x^2$

$c^2 d^2 e^2-16 r^2 S^2+c d e (c+d+e)^2 x-2 c d e (c d+c e+d e) x+8 a b r S x-a^2 b^2 x^2-2 c d e (c+d+e) x^2+(c d+c e+d e)^2 x^2+c d e x^3$

$4 a b (a+b)^2 r^2-(a+b)^4 r^2-a^2 b^2 x^2-4 a b r^2 x^2+2 (a+b)^2 r^2 x^2-r^2 x^4$

zeroieme

此处再用PolynomialRemainder消去x
接着还是利用对称降次得到
$(a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 + b^6 - a^4*c^2 + 2*a^2*b^2*c^2 - b^4*c^2 -
   a^2*c^4 - b^2*c^4 + c^6 - a^4*d^2 + 2*a^2*b^2*d^2 - b^4*d^2 +
   2*a^2*c^2*d^2 + 2*b^2*c^2*d^2 - c^4*d^2 - a^2*d^4 - b^2*d^4 - c^2*d^4 +
   d^6 - a^4*e^2 + 2*a^2*b^2*e^2 - b^4*e^2 + 2*a^2*c^2*e^2 + 2*b^2*c^2*e^2 -
   c^4*e^2 + 2*a^2*d^2*e^2 + 2*b^2*d^2*e^2 + 2*c^2*d^2*e^2 - d^4*e^2 -
   a^2*e^4 - b^2*e^4 - c^2*e^4 - d^2*e^4 + e^6)*r + 16*a*b*c*d*e*S +
16*(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2)*r*S^2 - 128*r^3*S^2$

$16*a^2*b^2*c^2*d^2*e^2 + (a^8 - 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8 -
   4*a^6*c^2 + 4*a^4*b^2*c^2 + 4*a^2*b^4*c^2 - 4*b^6*c^2 + 6*a^4*c^4 +
   4*a^2*b^2*c^4 + 6*b^4*c^4 - 4*a^2*c^6 - 4*b^2*c^6 + c^8 - 4*a^6*d^2 +
   4*a^4*b^2*d^2 + 4*a^2*b^4*d^2 - 4*b^6*d^2 + 4*a^4*c^2*d^2 -
   40*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*b^4*c^2*d^2 + 4*a^2*c^4*d^2 + 4*b^2*c^4*d^2 -
   4*c^6*d^2 + 6*a^4*d^4 + 4*a^2*b^2*d^4 + 6*b^4*d^4 + 4*a^2*c^2*d^4 +
   4*b^2*c^2*d^4 + 6*c^4*d^4 - 4*a^2*d^6 - 4*b^2*d^6 - 4*c^2*d^6 + d^8 -
   4*a^6*e^2 + 4*a^4*b^2*e^2 + 4*a^2*b^4*e^2 - 4*b^6*e^2 + 4*a^4*c^2*e^2 -
   40*a^2*b^2*c^2*e^2 + 4*b^4*c^2*e^2 + 4*a^2*c^4*e^2 + 4*b^2*c^4*e^2 -
   4*c^6*e^2 + 4*a^4*d^2*e^2 - 40*a^2*b^2*d^2*e^2 + 4*b^4*d^2*e^2 -
   40*a^2*c^2*d^2*e^2 - 40*b^2*c^2*d^2*e^2 + 4*c^4*d^2*e^2 + 4*a^2*d^4*e^2 +
   4*b^2*d^4*e^2 + 4*c^2*d^4*e^2 - 4*d^6*e^2 + 6*a^4*e^4 + 4*a^2*b^2*e^4 +
   6*b^4*e^4 + 4*a^2*c^2*e^4 + 4*b^2*c^2*e^4 + 6*c^4*e^4 + 4*a^2*d^2*e^4 +
   4*b^2*d^2*e^4 + 4*c^2*d^2*e^4 + 6*d^4*e^4 - 4*a^2*e^6 - 4*b^2*e^6 -
   4*c^2*e^6 - 4*d^2*e^6 + e^8)*r^2 - 512*a*b*c*d*e*r^3*S +
32*(a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 - 2*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 + c^4 - 2*a^2*d^2 -
   2*b^2*d^2 - 2*c^2*d^2 + d^4 - 2*a^2*e^2 - 2*b^2*e^2 - 2*c^2*e^2 -
   2*d^2*e^2 + e^4)*r^2*S^2 + 256*r^2*S^4$

zeroieme

以上步骤仅供参考。
对于椭圆，我不清楚对称性是否有帮助。

数学星空

若记：

$P_1(a,b,c,d,e)=d^8 e^4 r^2-2 d^6 e^6 r^2+d^4 e^8 r^2+16 d^4 e^4 r^2 S^2-32 d^4 e^2 r^4 S^2-32 d^2 e^4 r^4 S^2+256 r^6 S^4+4 c d^7 e^3 r^2 x-8 c d^5 e^5 r^2 x+4 c d^3 e^7 r^2 x-8 a b d^4 e^4 r S x+16 a b d^4 e^2 r^3 S x+16 a b d^2 e^4 r^3 S x+32 c d^3 e^3 r^2 S^2 x-64 c d^3 e r^4 S^2 x-64 c d e^3 r^4 S^2 x-256 a b r^5 S^3 x+a^2 b^2 d^4 e^4 x^2-2 a^2 b^2 d^4 e^2 r^2 x^2+6 c^2 d^6 e^2 r^2 x^2-2 a^2 b^2 d^2 e^4 r^2 x^2-12 c^2 d^4 e^4 r^2 x^2+6 c^2 d^2 e^6 r^2 x^2-16 a b c d^3 e^3 r S x^2+32 a b c d^3 e r^3 S x^2+32 a b c d e^3 r^3 S x^2+16 c^2 d^2 e^2 r^2 S^2 x^2+96 a^2 b^2 r^4 S^2 x^2-32 c^2 d^2 r^4 S^2 x^2-32 c^2 e^2 r^4 S^2 x^2+2 a^2 b^2 c d^3 e^3 x^3-4 a^2 b^2 c d^3 e r^2 x^3+4 c^3 d^5 e r^2 x^3-4 a^2 b^2 c d e^3 r^2 x^3-8 c^3 d^3 e^3 r^2 x^3+4 c^3 d e^5 r^2 x^3-8 a b c^2 d^2 e^2 r S x^3-16 a^3 b^3 r^3 S x^3+16 a b c^2 d^2 r^3 S x^3+16 a b c^2 e^2 r^3 S x^3+a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 x^4+a^4 b^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^2 d^2 r^2 x^4+c^4 d^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^2 e^2 r^2 x^4-2 c^4 d^2 e^2 r^2 x^4+c^4 e^4 r^2 x^4$

$P_2(a,b,c,d,e)=c^4 d^4 e^4 r^2-32 c^2 d^2 e^2 r^4 S^2+256 r^6 S^4+4 c^5 d^3 e^3 r^2 x+16 a b c^2 d^2 e^2 r^3 S x-64 c^3 d e r^4 S^2 x-256 a b r^5 S^3 x-2 a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 r^2 x^2+6 c^6 d^2 e^2 r^2 x^2-2 c^2 d^4 e^4 r^2 x^2+32 a b c^3 d e r^3 S x^2+16 c^2 d^2 e^2 r^2 S^2 x^2+96 a^2 b^2 r^4 S^2 x^2-32 c^4 r^4 S^2 x^2-32 d^2 e^2 r^4 S^2 x^2-4 a^2 b^2 c^3 d e r^2 x^3+4 c^7 d e r^2 x^3-8 c^3 d^3 e^3 r^2 x^3-8 a b c^2 d^2 e^2 r S x^3-16 a^3 b^3 r^3 S x^3+16 a b c^4 r^3 S x^3+16 a b d^2 e^2 r^3 S x^3+32 c^3 d e r^2 S^2 x^3-64 c d e r^4 S^2 x^3+a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 x^4+a^4 b^4 r^2 x^4-2 a^2 b^2 c^4 r^2 x^4+c^8 r^2 x^4-2 a^2 b^2 d^2 e^2 r^2 x^4-12 c^4 d^2 e^2 r^2 x^4+d^4 e^4 r^2 x^4-16 a b c^3 d e r S x^4+32 a b c d e r^3 S x^4+16 c^4 r^2 S^2 x^4-32 c^2 r^4 S^2 x^4+2 a^2 b^2 c^3 d e x^5-4 a^2 b^2 c d e r^2 x^5-8 c^5 d e r^2 x^5+4 c d^3 e^3 r^2 x^5-8 a b c^4 r S x^5+16 a b c^2 r^3 S x^5+a^2 b^2 c^4 x^6-2 a^2 b^2 c^2 r^2 x^6-2 c^6 r^2 x^6+6 c^2 d^2 e^2 r^2 x^6+4 c^3 d e r^2 x^7+c^4 r^2 x^8$

\(P_1(a,b,c,d,e)\)与\(P_2(a,b,c,d,e)\)是\( <a,b>,<c,d,e>\)对称。

可以通过反复换元相减降低次数

\(P_{11}=\frac{P_1(a,b,c,d,e)-P_1(b,a,c,d,e)}{a-b}\)

\(P_{21}=\frac{P_2(a,b,c,d,e)-P_2(b,a,c,d,e)}{a-b}\)

....................

关于\(<c,d,e>\)对称，如何换元相减降低次数呢？

即具体应如何操作？

zeroieme

假若Pcd符合c d对称，则Pcd=Pdc，差式为0。就更换置换字母对
如上面例子 Pcd  c d不对称。
Pcd与Pdc的差必有因式c-d
并P(n+1)=(Pcd-Pdc)/(c-d) 符合c d对称。
P幂数降一，然后c e置换……
反复操作字母对<c,d>、<c,e>、<d,e>，如此直到 c d e两两对称。

含x方程，已全部a b对称,不能降低次数。
消去x后，由于a b  与 c d e之间不对称。操作<b,c>可引起a b不对称。
通过反复操作<a, b>, <a, c>, <a, d>, <a, e>, <b, c>, <b, d>, <b, e>, <c, d>, <c, e>, <d, e>达到5字母完全对称。