圆内接五边形的面积公式

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R的方程结果：
R方程－圆内接五边形问题.pdf (190.42 KB, 下载次数: 37)

2013-8-22 22:46 上传

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云梦

creasson 发表于 2013-8-22 21:21

误差近10%，这样的粗略计算？
7次方程，没有简单的解法，而且计算很复杂，不用数学软件，很难得出结果。如果用数学软件的话何必这样做，用FindRoot[]直接求出R即可。
如果能用简单计算器就可以计算的话，这样的结论能让人接受。

云梦

已经找到解决的办法。

云梦

解决办法：
【圆内接五边形】在同一圆上的五个点任取三个点都可以构成一个三角形。如五边形ABCDE,构成ABC和ACD两个三角形。AB,BC,CD,DE的长度是已知的，而AC的长度可以设成x变量。
AC(即x)是三角形ABC和ACD的公共边。
三角形的外接圆半径公式和三角形的面积公式是已知的（如下），只要使三角形ABC和ACD的外接圆半径相等，即可求出AC的长度。
由AC的长度不难求出其外接圆半径，其余就迎刃而解了。
更一般地：
如果一组点(a1,a2,a3,.......an)构成圆内接n边形，也只需要计算具有公共边的两个三角形的外接圆半径就OK了。
具体过程就无需再论。

云梦

求解的过程中只需解一个一元三次方程。实数根即为本题的AC长度。

云梦

作为圆内接五边形，任意四边之和需大于第五边。任意圆内接n边形，任意n-1边之和大于第n边。

云梦

事实上圆内接n变形(n>3)，任意三点构成的三角形其外接圆半径均相等。

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Eliminate[
c*d*e*x^7 + (-a^2*b^2 + c^2*d^2 + c^2*e^2 + d^2*e^2)*
     x^6 + (-2*a^2*c*d*e - 2*b^2*c*d*e + c^3*d*e + c*d^3*e + c*d*e^3)*
     x^5 + (2*a^2*b^2*c^2 + 2*a^2*b^2*d^2 + 2*a^2*b^2*e^2 -
       2*a^2*c^2*d^2 - 2*a^2*c^2*e^2 - 2*a^2*d^2*e^2 -
       2*b^2*c^2*d^2 - 2*b^2*c^2*e^2 - 2*b^2*d^2*e^2 + c^2*d^2*e^2)*
     x^4 + (a^4*c*d*e + 6*a^2*b^2*c*d*e - 2*a^2*c^3*d*e -
       2*a^2*c*d^3*e - 2*a^2*c*d*e^3 + b^4*c*d*e - 2*b^2*c^3*d*e -
       2*b^2*c*d^3*e - 2*b^2*c*d*e^3)*
     x^3 + (a^4*c^2*d^2 + a^4*c^2*e^2 + a^4*d^2*e^2 - a^2*b^2*c^4 -
       a^2*b^2*d^4 - a^2*b^2*e^4 - 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + b^4*c^2*d^2 +
       b^4*c^2*e^2 + b^4*d^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2*e^2)*
     x^2 + (a^4*c^3*d*e + a^4*c*d^3*e + a^4*c*d*e^3 -
       2*a^2*b^2*c^3*d*e - 2*a^2*b^2*c*d^3*e - 2*a^2*b^2*c*d*e^3 +
       b^4*c^3*d*e + b^4*c*d^3*e + b^4*c*d*e^3)*x + a^4*c^2*d^2*e^2 -
    2*a^2*b^2*c^2*d^2*e^2 + b^4*c^2*d^2*e^2 == 0 &&
  R^2*(-a^4 + 2*a^2*b^2 + 2*a^2*x^2 - b^4 + 2*b^2*x^2 - x^4) -
    a^2*b^2*x^2 == 0, x]

居然用MATHEMATICA 9.0算了很长时间都没结果？
用MAPLE 9.0很快就有结果了

mathematica

我给一个思路,先求出圆的面积,再求出弧形与弦组成的面积(共五个), 然后前者减去后者,就得到五边形的面积!

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简化后的R方程

s15^6-s15^4*(4*s11^3*s15-4*s11^2*s12*s14-2*s11^2*s13^2+4*s11*s12^2*s13-s12^4-8*s11*s12*s15+8*s11*s13*s14+4*s12^2*s14-4*s12*s13^2-8*s13*s15)*R^2+s15^2*(6*s11^6*s15^2-8*s11^5*s12*s14*s15-4*s11^5*s13^2*s15+4*s11^5*s13*s14^2+4*s11^4*s12^2*s13*s15+2*s11^4*s12^2*s14^2-4*s11^4*s12*s13^2*s14+s11^4*s13^4-28*s11^4*s12*s15^2+8*s11^4*s13*s14*s15-4*s11^4*s14^3+32*s11^3*s12^2*s14*s15+16*s11^3*s12*s13^2*s15-16*s11^3*s12*s13*s14^2-16*s11^2*s12^3*s13*s15-8*s11^2*s12^3*s14^2+16*s11^2*s12^2*s13^2*s14-4*s11^2*s12*s13^4+16*s11^3*s14^2*s15+24*s11^2*s12^2*s15^2-32*s11^2*s12*s13*s14*s15+8*s11^2*s13^2*s14^2-16*s11*s12^3*s14*s15-24*s11*s12^2*s13^2*s15+32*s11*s12^2*s13*s14^2-16*s11*s12*s13^3*s14+4*s11*s13^5+16*s12^4*s13*s15-8*s12^3*s13^2*s14+2*s12^2*s13^4-32*s11^2*s14*s15^2+32*s11*s12*s13*s15^2-16*s11*s13^2*s14*s15-32*s12^2*s13*s14*s15+32*s12*s13^3*s15-4*s13^4*s14+64*s11*s15^3-32*s12*s14*s15^2+32*s13^2*s15^2)*R^4+(-4*s11^9*s15^3+4*s11^8*s12*s14*s15^2+2*s11^8*s13^2*s15^2-4*s11^8*s13*s14^2*s15+s11^8*s14^4+32*s11^7*s12*s15^3-32*s11^6*s12^2*s14*s15^2-16*s11^6*s12*s13^2*s15^2+32*s11^6*s12*s13*s14^2*s15-8*s11^6*s12*s14^4-16*s11^6*s13*s15^3-88*s11^5*s12^2*s15^3-16*s11^5*s12*s13*s14*s15^2+16*s11^5*s12*s14^3*s15+8*s11^5*s13^3*s15^2-8*s11^5*s13^2*s14^2*s15+88*s11^4*s12^3*s14*s15^2+52*s11^4*s12^2*s13^2*s15^2-80*s11^4*s12^2*s13*s14^2*s15+16*s11^4*s12^2*s14^4-16*s11^4*s12*s13^3*s14*s15+8*s11^4*s12*s13^2*s14^3+4*s11^4*s13^5*s15-2*s11^4*s13^4*s14^2+16*s11^5*s14*s15^3+96*s11^4*s12*s13*s15^3-32*s11^4*s12*s14^2*s15^2+8*s11^4*s13^2*s14*s15^2+96*s11^3*s12^3*s15^3+64*s11^3*s12^2*s13*s14*s15^2-64*s11^3*s12^2*s14^3*s15-32*s11^3*s12*s13^3*s15^2+32*s11^3*s12*s13^2*s14^2*s15-96*s11^2*s12^4*s14*s15^2-80*s11^2*s12^3*s13^2*s15^2+64*s11^2*s12^3*s13*s14^2*s15+64*s11^2*s12^2*s13^3*s14*s15-32*s11^2*s12^2*s13^2*s14^3-16*s11^2*s12*s13^5*s15+8*s11^2*s12*s13^4*s14^2-128*s11^4*s15^4+128*s11^3*s12*s14*s15^3+32*s11^3*s13^2*s15^3-320*s11^2*s12^2*s13*s15^3+96*s11^2*s12^2*s14^2*s15^2-128*s11^2*s12*s13^2*s14*s15^2+56*s11^2*s13^4*s15^2+64*s11*s12^3*s13*s14*s15^2-32*s11*s12^2*s13^3*s15^2+64*s11*s12^2*s13^2*s14^2*s15-48*s11*s12*s13^4*s14*s15+8*s11*s13^6*s15+64*s12^4*s13^2*s15^2-64*s12^3*s13^3*s14*s15+16*s12^2*s13^5*s15+16*s12^2*s13^4*s14^2-8*s12*s13^6*s14+s13^8+320*s11^2*s12*s15^4-256*s11^2*s13*s14*s15^3-320*s11*s12^2*s14*s15^3+256*s11*s12*s13^2*s15^3+256*s11*s12*s13*s14^2*s15^2-128*s11*s13^3*s14*s15^2+128*s12^3*s13*s15^3-160*s12^2*s13^2*s14*s15^2+64*s12*s13^4*s15^2+320*s11*s13*s15^4-96*s12^2*s15^4-256*s12*s13*s14*s15^3+128*s13^3*s15^3-64*s14*s15^4)*R^6+(s11^12*s15^2-12*s11^10*s12*s15^2+4*s11^9*s13*s15^2-8*s11^9*s14^2*s15+66*s11^8*s12^2*s15^2-16*s11^8*s12*s13*s14*s15+8*s11^8*s12*s14^3+8*s11^8*s13^3*s15-4*s11^8*s13^2*s14^2+12*s11^8*s14*s15^2-32*s11^7*s12*s13*s15^2+64*s11^7*s12*s14^2*s15-208*s11^6*s12^3*s15^2+128*s11^6*s12^2*s13*s14*s15-64*s11^6*s12^2*s14^3-64*s11^6*s12*s13^3*s15+32*s11^6*s12*s13^2*s14^2+96*s11^7*s15^3-256*s11^6*s12*s14*s15^2-48*s11^6*s13^2*s15^2+64*s11^6*s13*s14^2*s15-32*s11^6*s14^4+160*s11^5*s12^2*s13*s15^2-64*s11^5*s12^2*s14^2*s15-224*s11^5*s12*s13^2*s14*s15+64*s11^5*s12*s13*s14^3+88*s11^5*s13^4*s15-32*s11^5*s13^3*s14^2+352*s11^4*s12^4*s15^2-320*s11^4*s12^3*s13*s14*s15+128*s11^4*s12^3*s14^3+160*s11^4*s12^2*s13^3*s15-32*s11^4*s12^2*s13^2*s14^2-24*s11^4*s12*s13^4*s14+4*s11^4*s13^6-512*s11^5*s12*s15^3+128*s11^5*s13*s14*s15^2+64*s11^5*s14^3*s15+928*s11^4*s12^2*s14*s15^2+384*s11^4*s12*s13^2*s15^2-384*s11^4*s12*s13*s14^2*s15+128*s11^4*s12*s14^4-64*s11^4*s13^3*s14*s15+32*s11^4*s13^2*s14^3-384*s11^3*s12^3*s13*s15^2-256*s11^3*s12^3*s14^2*s15+896*s11^3*s12^2*s13^2*s14*s15-256*s11^3*s12^2*s13*s14^3-352*s11^3*s12*s13^4*s15+128*s11^3*s12*s13^3*s14^2-256*s11^2*s12^5*s15^2+256*s11^2*s12^4*s13*s14*s15-128*s11^2*s12^3*s13^3*s15-128*s11^2*s12^3*s13^2*s14^2+96*s11^2*s12^2*s13^4*s14-16*s11^2*s12*s13^6+64*s11^4*s13*s15^3-32*s11^4*s14^2*s15^2+768*s11^3*s12^2*s15^3-768*s11^3*s12*s13*s14*s15^2-512*s11^3*s12*s14^3*s15+384*s11^3*s13^3*s15^2+128*s11^3*s13^2*s14^2*s15-640*s11^2*s12^3*s14*s15^2-1536*s11^2*s12^2*s13^2*s15^2+1280*s11^2*s12^2*s13*s14^2*s15-256*s11^2*s12*s13^3*s14*s15-256*s11^2*s12*s13^2*s14^3+128*s11^2*s13^5*s15+32*s11^2*s13^4*s14^2+512*s11*s12^4*s13*s15^2-512*s11*s12^3*s13^2*s14*s15+256*s11*s12^2*s13^4*s15+256*s11*s12^2*s13^3*s14^2-192*s11*s12*s13^5*s14+32*s11*s13^7-256*s11^3*s14*s15^3+256*s11^2*s12*s13*s15^3+1152*s11^2*s12*s14^2*s15^2-1152*s11^2*s13^2*s14*s15^2-512*s11*s12^3*s15^3+256*s11*s12^2*s13*s14*s15^2+512*s11*s12*s13^3*s15^2+512*s11*s12*s13^2*s14^2*s15-192*s11*s13^4*s14*s15+768*s12^3*s13^2*s15^2-768*s12^2*s13^3*s14*s15+128*s12*s13^5*s15+128*s12*s13^4*s14^2-32*s13^6*s14+1152*s11^2*s15^4-1792*s11*s12*s14*s15^3+1408*s11*s13^2*s15^3+512*s11*s13*s14^2*s15^2-896*s12*s13^2*s14*s15^2+224*s13^4*s15^2-512*s12*s15^4-512*s13*s14*s15^3)*R^8+(4*s11^12*s13*s15-2*s11^12*s14^2-48*s11^10*s12*s13*s15+24*s11^10*s12*s14^2-40*s11^10*s15^2-48*s11^9*s12*s14*s15+88*s11^9*s13^2*s15-32*s11^9*s13*s14^2+208*s11^8*s12^2*s13*s15-80*s11^8*s12^2*s14^2-24*s11^8*s12*s13^2*s14+6*s11^8*s13^4+448*s11^8*s1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\(s11=a+b+c+d+e\)
\(s12=a(b+c+d+e)+b(c+d+e)+c(d+e)+de\)
\(s13=ab(c+d+e)+ac(d+e)+ade+bc(d+e)+bde+cde\)
\(s14=abc(d+e)+abde+acde+bcde\)
\(s15=abcde\)

令$a=b=c=d=e=1$得到$-1215*R^14+3240*R^12-3618*R^10+2205*R^8-795*R^6+170*R^4-20*R^2+1=0 $解得：$R=0.8506508085$