立方数最小和问题

mathe

发现前面的计算也错了，如果不限制正负号的比例，结果应该是8303139055857536.
前面的附件我已更新

无心人

能否通过线性规化
通过部分解得到全部解

比如80个分4组
最后把4组结果拟合？

mathe

总结果太多了，保存这些结果都是问题

无心人

假设得到的结果组成个
4X2^20的矩阵
有方法对矩阵进行某种变换
以把有价值的数字凑到一行么？

gxqcn

原帖由 mathe 于 2008-5-3 21:28 发表

2008是8的倍数，根据我前面的构着方法，知道r=2的方法是存在的。也就是$r_{"max"}>=2$
同样我们可以计算出$2008!$中2的幂为$k=[2008/2]+[2008/4]+[2008/8]+[2008/16]+...$,那么$r=k-1$的方案是存在的，也就是$r_{ ... $

在很早很早之前，我就得到了“前16及前24个正整数”均可3次等幂和划分，
所以，前 $N=2008$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max >= 3$

其中，“前24个正整数3次等幂和划分”是由“前12个正整数2次等幂和划分”推演出来的，而后者是划分方式是唯一的。
这几天我编写了个程序，居然又得到一组非常特别的数据——“前40个正整数可4次等幂和划分”，且划分形式也是唯一的！

我曾猜想：“连续 $2^{r+1}$ 个整数可 $r$ 次等幂和划分；且划分形式是唯一的”。
存在性容易证明，唯一性未证明。

也就是说，连续 N 个整数可等幂和划分的次数不低于将 N 用二进制表达时末尾连续“0”的个数-1；
而“前12个正整数可2次等幂和划分”，则可将次数在上述结论上可添一（如 $N$ 可表达成 $4xx(2s+3t)$ 时，$r >= 2$）；
而“前40个正整数可4次等幂和划分”，则可将次数在上述结论上可再添一（如 $N$ 可表达成 $8xx(4s+5t)$ 时，$r >= 4$）；

所以，前 $N=2008$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max >= 4$，
因为：$2008 = 8 xx ( 4 xx 4 + 5 xx 47 )$，
这样我们将可等幂和划分次数就从 2 提高到了 4 ！

是否还有更奇异的结论？
（要得到它，需要对现有程序进行改造，且需要大量的机时去运行。。。）

无心人

太玄妙啊

gxqcn

注意：我对 35# 中的定义进行了修改，并新加了一个美妙定理。

欢迎大家继续探讨：如何提高可等幂和划分次数问题。。。

mathe

通过计算机穷举长度不超过32的所有数据，可以得到
在N<=32中，2次等幂划分很多，有6057组，其中
N=7,N=8,N=11,N=12都只有1组解。
而3次等幂划分总共23组，如下:
Len 15, Max Order 3:-1-2+3-4+5+6-7-8+9+10-11+12-13-14+15
Len 16, Max Order 3:+1-2-3+4-5+6+7-8-9+10+11-12+13-14-15+16
Len 23, Max Order 3:+1-2-3-4-5+6-7+8-9+10+11+12+13-14+15-16+17-18-19-20-21+22+23
Len 23, Max Order 3:-1+2-3+4-5-6-7-8+9+10+11+12+13+14-15-16-17-18+19-20+21-22+23
Len 23, Max Order 3:-1+2-3-4+5-6+7-8-9+10+11+12+13-14-15+16-17+18-19-20+21-22+23
Len 23, Max Order 3:-1+2-3-4-5+6+7+8-9+10-11-12+13-14+15+16+17-18-19-20+21-22+23
Len 23, Max Order 3:-1-2+3+4-5-6+7-8+9-10+11+12-13+14-15+16-17-18+19+20-21-22+23
Len 23, Max Order 3:+1+2-3+4-5+6-7-8+9-10-11+12+13+14+15-16-17-18+19+20-21-22+23
Len 23, Max Order 3:+1+2-3-4+5+6+7-8-9-10-11+12+13-14+15+16-17+18-19+20-21-22+23
Len 23, Max Order 3:-1-2-3+4+5+6+7-8+9-10-11-12-13+14-15+16+17+18+19-20-21-22+23
Len 24, Max Order 3:+1+2-3-4-5-6+7-8+9-10+11+12+13+14-15+16-17+18-19-20-21-22+23+24
Len 24, Max Order 3:-1-2-3-4+5+6+7-8-9+10-11-12+13+14+15+16+17-18-19-20-21-22+23+24
Len 24, Max Order 3:+1-2+3-4+5-6-7-8-9+10+11+12+13+14+15-16-17-18-19+20-21+22-23+24
Len 24, Max Order 3:-1-2-3-4+5+6-7+8-9+10+11-12+13-14+15-16+17-18+19-20-21+22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1-2+3-4-5+6-7+8-9-10+11+12+13+14-15-16+17-18+19-20-21+22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1-2+3-4-5-6+7+8+9-10+11-12-13+14-15+16+17+18-19-20-21+22-23+24
Len 24, Max Order 3:-1-2-3-4+5-6+7+8+9+10-11-12+13-14-15+16+17-18-19+20+21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1-2-3+4+5-6-7+8-9+10-11+12+13-14+15-16+17-18-19+20+21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:-1+2+3-4+5-6+7-8-9+10-11-12+13+14+15+16-17-18-19+20+21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:-1+2+3-4-5+6+7+8-9-10-11-12+13+14-15+16+17-18+19-20+21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1+2+3+4-5-6+7+8-9-10-11-12-13+14+15+16+17+18-19-20+21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1-2-3-4+5+6+7+8-9+10-11-12-13-14+15-16+17+18+19+20-21-22-23+24
Len 24, Max Order 3:+1+2+3+4-5+6-7-8-9-10+11+12+13-14-15-16+17+18+19+20-21-22-23+24

mathe

需要说明的是没有找到4次等幂划分，也就是说长度为31和32的4次等幂划分不存在

mathe

上面错了，还没有搜索n=31和32