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楼主: mathe

[擂台] 立方数最小和问题

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 楼主| 发表于 2008-5-1 21:50:58 | 显示全部楼层
上面猜想对于k=1,2,3,4我检验过都成立。
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发表于 2008-5-1 22:00:38 | 显示全部楼层


除非你的证明存在k=5以上需要修正的地方
否则,应该成立吧
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 楼主| 发表于 2008-5-2 08:49:45 | 显示全部楼层
我说的是30#的猜想在k=2,3,4都成立,但是这个猜想没有证明过
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 楼主| 发表于 2008-5-2 08:50:35 | 显示全部楼层
还有发现26楼的公式有点错误,不过这个方法没有问题
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发表于 2008-5-3 17:31:10 | 显示全部楼层
【定义】项数为 $N(N=nxxk;n,k>=2;n,kinNN)$ 数列若存在一种划分:将其分成 $k$ 组,每组有 $n$ 个元素,组与组之间无公共元素,并使其各组的元素之和、之平方和、…、之 $r$ 次方和彼此对应相等,则称该数列可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分,并称上述划分为该数列一个 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分。若不存在上述划分,则称该数列不可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分

显然,研究“等幂和划分问题”(包括其存在性问题、计数问题等)与研究幻方有密切关系。

美妙定理:若前 $N$ 个正整数可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分,则任意长度为 N 项的等差数列均可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分
(证明略)

一般地,当 $k=2$ 时,仅简称为 $r$ 次等幂和划分即可(类似于我们将 $\root2 2$ 可简化为 $\sqrt2$)。

请问:
1、前 $N=2008$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max = ?$
2、前 $N=2008!$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max = ?$

备注:因新教材将“自然数”包含了“0”,所以不再沿用术语“自然数”,而改用无歧义的术语“正整数”。
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发表于 2008-5-3 17:37:06 | 显示全部楼层
楼主 mathe 的问题相对单纯些,只要求某个幂次的代数和绝对值最小即可。

但研究上述“等幂和划分问题”将有助于问题的快速构造性解决。
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发表于 2008-5-3 17:44:24 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2008-5-3 21:28:22 | 显示全部楼层
原帖由 gxqcn 于 2008-5-3 17:31 发表
【定义】项数为 $N(N=nxxk;n,k>=2;n,kinNN)$ 数列若存在一种划分:将其分成 $k$ 组,每组有 $n$ 个元素,组与组之间无公共元素,并使其各组的元素之和、之平方和、…、之 $r$ 次方和彼此对应相等,则称该数列可 $k$ 组 $r$ 次等幂 ...

2008是8的倍数,根据我前面的构着方法,知道r=2的方法是存在的。也就是$r_{"max"}>=2$
同样我们可以计算出$2008!$中2的幂为$k=[2008/2]+[2008/4]+[2008/8]+[2008/16]+...$,那么$r=k-1$的方案是存在的,也就是$r_{"max"}>=k-1$。
但是是否这个是最佳的方案就不知道了
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 楼主| 发表于 2008-5-3 21:29:59 | 显示全部楼层
对于我在30#中的猜想不知道gxqcn有没有什么有用的结论或相关结果?
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发表于 2008-5-3 21:37:52 | 显示全部楼层
这个我倒没有。

因为我研究“等幂和”时没有自己的电脑,主要得靠数学推导论证,
而无法借助电脑搜集数据。
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