立方数最小和问题

mathe

上面猜想对于k=1,2,3,4我检验过都成立。

无心人

除非你的证明存在k=5以上需要修正的地方 否则，应该成立吧

mathe

我说的是30#的猜想在k=2,3,4都成立，但是这个猜想没有证明过

mathe

还有发现26楼的公式有点错误，不过这个方法没有问题

gxqcn

【定义】项数为 $N(N=nxxk;n,k>=2;n,kinNN)$ 数列若存在一种划分：将其分成 $k$ 组，每组有 $n$ 个元素，组与组之间无公共元素，并使其各组的元素之和、之平方和、…、之 $r$ 次方和彼此对应相等，则称该数列可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分，并称上述划分为该数列一个 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分。若不存在上述划分，则称该数列不可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分。

显然，研究“等幂和划分问题”（包括其存在性问题、计数问题等）与研究幻方有密切关系。

美妙定理：若前 $N$ 个正整数可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分，则任意长度为 N 项的等差数列均可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分。
（证明略）

一般地，当 $k=2$ 时，仅简称为 $r$ 次等幂和划分即可（类似于我们将 $\root2 2$ 可简化为 $\sqrt2$）。

请问：
1、前 $N=2008$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max = ?$
2、前 $N=2008!$ 个正整数可 $r$ 次等幂和划分的最大 $r_max = ?$

备注：因新教材将“自然数”包含了“0”，所以不再沿用术语“自然数”，而改用无歧义的术语“正整数”。

gxqcn

楼主 mathe 的问题相对单纯些，只要求某个幂次的代数和绝对值最小即可。 但研究上述“等幂和划分问题”将有助于问题的快速构造性解决。

无心人

把你的精彩留在论坛吧 适当的时候，全部精彩可以考虑出个CHM或者PDF 叫 数学研发论坛一周年精彩集

mathe

原帖由 gxqcn 于 2008-5-3 17:31 发表 【定义】项数为 $N(N=nxxk;n,k>=2;n,kinNN)$ 数列若存在一种划分：将其分成 $k$ 组，每组有 $n$ 个元素，组与组之间无公共元素，并使其各组的元素之和、之平方和、…、之 $r$ 次方和彼此对应相等，则称该数列可 $k$ 组 $r$ 次等幂 ...

2008是8的倍数，根据我前面的构着方法，知道r=2的方法是存在的。也就是$r_{"max"}>=2$ 同样我们可以计算出$2008!$中2的幂为$k=[2008/2]+[2008/4]+[2008/8]+[2008/16]+...$,那么$r=k-1$的方案是存在的，也就是$r_{"max"}>=k-1$。 但是是否这个是最佳的方案就不知道了

mathe

对于我在30#中的猜想不知道gxqcn有没有什么有用的结论或相关结果？

gxqcn

这个我倒没有。 因为我研究“等幂和”时没有自己的电脑，主要得靠数学推导论证， 而无法借助电脑搜集数据。