立方数最小和问题

mathe

长度31的情况的4阶解唯一
Len 31, Max Order 4:+1+2-3+4-5-6+7+8-9-10+11-12+13+14-15+16-17-18+19-20+21+22-23-24+25+26-27+28-29-30+31

gxqcn

原帖由 gxqcn 于 2008-5-3 17:31 发表
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美妙定理：若前 $N$ 个正整数可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分，则任意长度为 N 项的等差数列均可 $k$ 组 $r$ 次等幂和划分。
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由上述定理，81# 的结果相当于对“前32个正整数4次等幂和划分”（若在式子前面添加上“-0”就更直观了），
而结果的唯一性与我的在 75# 猜想完全相吻合：

原帖由 gxqcn 于 2008-5-7 20:57 发表
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我曾猜想：“连续 $2^{r+1}$ 个整数可 $r$ 次等幂和划分；且划分形式是唯一的”。
存在性容易证明，唯一性未证明。
...

通过程序，我得到了前12个正整数2次、前40个整数4次、前48个正整数5次等幂和划分的数据，且均唯一，
这是非常难得的，因为它们都不是 2 的整数幂次。

gxqcn

其中一组数据为：1, 2, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 21, 22, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 47, 48
未列入其中的另 24 个正整数为第二组（这是昨天才得到的数据）。

如需检验，强烈建议您使用专业的 PowCalc(等幂和计算器)。

前 56 个正整数可 4 次等幂和划分，共有 217 种不同的划分组合形式，
里面是否存在 5 次等幂和划分，尚未检验。

mathe

原帖由 gxqcn 于 2008-5-9 19:41 发表


由上述定理，81# 的结果相当于对“前32个正整数4次等幂和划分”（若在式子前面添加上“-0”就更直观了），
而结果的唯一性与我的在 75# 猜想完全相吻合：


通过程序，我得到了前12个正整数2次、前40个整数4 ...

你是不是总是要求划分的两个部分数据数目相同。不然无法得到这个"美妙的定理"的。我搜索的数据没有数目相等的要求。如果加上这个限制，解答应该更少

gxqcn

确实。
要求划分后的每部分数据数目是相等的。

这样因“等幂和”具有美妙的“可伸缩平移”变换（即“线性变换”不影响“等幂和”性），
从而可进一步得到许多美妙的性质定理或构造定理（这样才更有研究价值）。

其实，在 78# 中，
若将“Len 15, Max Order 3:-1-2+3-4+5+6-7-8+9+10-11+12-13-14+15”添加个“+0”，
得到：+0-1-2+3-4+5+6-7-8+9+10-11+12-13-14+15
再向右平移1个单位：:+1-2-3+4-5+6+7-8-9+10+11-12+13-14-15+16
就与“Len 16, Max Order 3”的结果完全一致了。

无心人

能不能找到模式？
或者转化成变换群类似的东西

否则高次的就无法在合理时间内处理了

gxqcn

所以，合理的研究方法是先在低阶中找结果，试图发现一些可具推广性的规律，
从而让问题的一般性解决有个构造性的方案。

无心人

除了动态规划
除了暴力搜索

还有什么方法能得到全部解？

gxqcn

有些问题，存在性与否 比 是否全部解 更有意义。
典型的例子，比如：幻方。

无心人

所有问题还有个下限问题吧
就比如这问题
每个次方都存在最小序列项个数

如何选择加减号?
有规律么？