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楼主: wayne

[讨论] 解丢番图方程x^2+y^2+z^2=3xyz

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发表于 2013-2-21 15:50:33 | 显示全部楼层
不对
13 34 1325
13 1325 51641

13 194 7561
13 7561 294689
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-2-21 15:53:37 | 显示全部楼层
估计这方程有两个符号解
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-2-21 15:54:42 | 显示全部楼层
34 89 9077
34 9077 925765
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-2-21 16:01:08 | 显示全部楼层
$x_1 = 1$
$y_1 = 1$
$z_1 = 1$
$x_n = 3 z_(n-1) - y_(n-1)$
$y_n = 3 x_n - z_(n-1)$
$z_n = 3 y_n - x_n$
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 楼主| 发表于 2013-2-21 16:21:08 | 显示全部楼层
12# 无心人
能有符号解就更好了。
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发表于 2013-2-21 18:56:22 | 显示全部楼层
假设有解x,y,z,由于$z^2-3xyz+x^2+y^2=0$,所以取$z'=3xy-z$代替z也是方程的解。
也就是如果对于给定x,y,存在解z,那么必然是成对的,记为$z_1,z_2$,
我们先查看$x<=y<=z_1<=z_2$情况的解,于是根据韦达定理
$2y^2>=x^2+y^2=z_1z_2>=yz_2$
所以$y>=z_2/2$,
而$3/2*z_2x<=3xy=z_1+z_2<=2z_2$
我们得出$3x<=4$,也就是只能$x=1$
也就是对于x>1的所有解$(x,y,z_2)$,我们可以知道找到另外一组解$(x,y,z_1)$其中$z_1$必然比y小。
也就是反复这种操作下去,最终会变换到一个含1的解
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发表于 2013-2-21 19:04:46 | 显示全部楼层
而对于x=1的情况,我们可以解的$z_1={3y-sqrt(5y^2-4)}/2$
于是看出对于$y>=2$,必然有$z_1<=y/2$,也就是除了$x=y=1$,所以其它的解都有$z_1<y$
也就是说,所有的其它解我们都必然可以通过(1,1,1)出发,对于每个解中,任意选择一个元作为$z_1$,计算$z_2=3xy-z_1$得出另外的解,由此一个解最多产生两个新解(有一个是旧解)
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发表于 2013-2-21 19:19:00 | 显示全部楼层


$mathe$出手,没难题啊
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2013-2-22 17:45:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 hujunhua 于 2013-2-22 17:48 编辑

按照17#,18#的结论,限定$1<=x<=y<=z$,可得如下递推解:
□□□□□□ ↗(x, z, 3xz-y)
(x, y, z)
□□□□□□ ↘(y, z, 3yz-x)

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2013-2-22 18:10:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 hujunhua 于 2013-2-22 18:19 编辑

用M9程序验证了一下,递推的拓扑结构确是一个没有任何叶结点的无穷二叉树。
  1. f[x_] := {{x[[1]], x[[3]], 3 x[[1]] x[[3]]-x[[2]]},{x[[2]],x[[3]],3x[[2]] x[[3]]-x[[1]]}};
  2. NestList[Flatten[f/@#,1] &,{{1, 2, 5}}, 4]//TableForm
复制代码

({1,1,1}->{1,1,2}->{1,2,5}, 从{1,2,5}开始有分叉,程序从{1,2,5}开始以避免重复解)
捕获.JPG
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