解丢番图方程x^2+y^2+z^2=3xyz

无心人 · 发表于 2013-2-21 15:50:33

不对 13 34 1325 13 1325 51641 13 194 7561 13 7561 294689

无心人 · 发表于 2013-2-21 15:53:37

估计这方程有两个符号解

无心人 · 发表于 2013-2-21 15:54:42

34 89 9077 34 9077 925765

无心人 · 发表于 2013-2-21 16:01:08

$x_1 = 1$ $y_1 = 1$ $z_1 = 1$ $x_n = 3 z_(n-1) - y_(n-1)$ $y_n = 3 x_n - z_(n-1)$ $z_n = 3 y_n - x_n$

wayne · 发表于 2013-2-21 16:21:08

12# 无心人 能有符号解就更好了。

mathe · 发表于 2013-2-21 18:56:22

假设有解x,y,z,由于$z^2-3xyz+x^2+y^2=0$,所以取$z'=3xy-z$代替z也是方程的解。也就是如果对于给定x,y,存在解z,那么必然是成对的，记为$z_1,z_2$, 我们先查看$x<=y<=z_1<=z_2$情况的解,于是根据韦达定理 $2y^2>=x^2+y^2=z_1z_2>=yz_2$ 所以$y>=z_2/2$, 而$3/2*z_2x<=3xy=z_1+z_2<=2z_2$ 我们得出$3x<=4$,也就是只能$x=1$ 也就是对于x>1的所有解$(x,y,z_2)$,我们可以知道找到另外一组解$(x,y,z_1)$其中$z_1$必然比y小。也就是反复这种操作下去，最终会变换到一个含1的解

mathe · 发表于 2013-2-21 19:04:46

而对于x=1的情况，我们可以解的$z_1={3y-sqrt(5y^2-4)}/2$ 于是看出对于$y>=2$,必然有$z_1<=y/2$,也就是除了$x=y=1$,所以其它的解都有$z_1

无心人 · 发表于 2013-2-21 19:19:00

$mathe$出手，没难题啊

hujunhua · 发表于 2013-2-22 17:45:57

本帖最后由 hujunhua 于 2013-2-22 17:48 编辑 按照17#，18#的结论，限定$1<=x<=y<=z$,可得如下递推解： □□□□□□ ↗(x, z, 3xz-y) (x, y, z) □□□□□□ ↘(y, z, 3yz-x)

hujunhua · 发表于 2013-2-22 18:10:04

本帖最后由 hujunhua 于 2013-2-22 18:19 编辑 用M9程序验证了一下，递推的拓扑结构确是一个没有任何叶结点的无穷二叉树。

f[x_] := {{x[[1]], x[[3]], 3 x[[1]] x[[3]]-x[[2]]},{x[[2]],x[[3]],3x[[2]] x[[3]]-x[[1]]}};
NestList[Flatten[f/@#,1] &,{{1, 2, 5}}, 4]//TableForm

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（{1,1,1}->{1,1,2}->{1,2,5}, 从{1,2,5}开始有分叉，程序从{1,2,5}开始以避免重复解）捕获.JPG

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