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楼主: wayne

[讨论] 解丢番图方程x^2+y^2+z^2=3xyz

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发表于 2013-2-23 19:24:58 | 显示全部楼层
回到一般性题目$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=mx_1x_2...x_n$
对于解$x_1<=x_2<=...<=x_n$,如果一组解不能够通过更加小的解通过二次方程的方法扩展而成,那么
$x_n$必然是方程$X^2-mx_1x_2...x_{n-1}X+(x_1^2+...+x_{n-1}^2)=0$较小的解,于是我们得出
$x_{n-1}<=x_n<={2(x_1^2+...+x_{n-1}^2)}/{mx_1x_2...x_{n-1}}<={2(n-1)x_{n-1}^2}/{mx_1x_2...x_{n-1}}$
由此我们得出
$x_1x_2...x_{n-2}<={2(n-1)}/m$
也就是我们只需要先分析出满足上面情况的解
对应23#的情况,也就是分析$x_1x_2<=3/2$的解即可。也就是$x_1=x_2=1$
对应$2+z^2+u^2=4zu$
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发表于 2013-2-23 19:31:21 | 显示全部楼层
而同样,对于任意一组满足条件的$x_1,x_2,...,x_{n-2}$,方程简化为
$A+X^2+Y^2=CXY$,
同样假设$X<=Y$,同样,如果这组解(X,Y)如果不能由更小的解产生,必然有
$X<=Y<={2(A+X^2)}/{CX}$
得出$CX^2<=2X^2+2A$
于是对于任意$C>=3$,我们直接得出$X<=sqrt({2A}/{C-2})$
也就是同样,我们可以非常良好的确定$x_{n-1}$的范围。然后对于范围内的就可以很容易确定$x_n$,最后通过这些解可以构造出所有其它解。
对应到23#题目得出$z<=sqrt(2)$,所以必然$x=y=z=1$,$3+u^2=4u$,u=1或u=3

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发表于 2013-2-23 19:34:15 | 显示全部楼层
而对于C=2或1,由于题目中$A>0$,我们得出$A+X^2+Y^2>=A+2XY>CXY$所以必然无解。
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发表于 2013-2-23 20:11:15 | 显示全部楼层
进一步分析,我们可以得出如下算法:
i)穷举31#中条件下所有$x_1<=x_2<=...<=x_{n-2}$
ii)对于i)中每个组合,利用32#穷举所有$x_{n-1}<=sqrt({2A}/{C-2})$,而且要求$x_{n-2}<=x_{n-1}$
iii)对于上面的每个$x_1<=x_2<=...<=x_{n-2}<=x_{n-1}$,求解关于$x_n$的二次方程,如果两个解都不小于$x_{n-1}$,我们就得出两个(或重根情况只有一个)基本解。
iv)对于所有的解,分别替换$x_1,x_2,...,x_{n-1}$得出所有的扩展解。 (注意对于小的基本解,替换$x_n$可以得出另外一组基本解,但是我们这里不需要了)

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发表于 2013-2-25 10:36:18 | 显示全部楼层
31# mathe
关于此处的一般性题目,我想使方程有$GCD(x_1,x_2,...,x_n)=1$的互质解的m的取值是有限的。对于n=3,也就是Markov方程,容易证明m只能是3。是否对于一般性方程,只能是m=n呢?
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发表于 2013-2-25 12:21:09 | 显示全部楼层
...(注意对于小的基本解,替换xn可以得出另外一组基本解,但是我们这里不需要了) mathe 发表于 2013-2-23 20:11

这个注解貌似画蛇添足啊。
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发表于 2013-2-25 14:48:11 | 显示全部楼层
25# wayne
嗯,我又总结了一下:
  1. f1[a_List] := Block[{x, y}, {x, y} = a; {{x, y}, {y, x}}];
  2. f2[a_List] := {{a[[1]], a[[2]]}, {a[[2]], a[[1]]}};
  3. f3[a_List] := a /. {x_, y_} -> {{x, y}, {y, x}};
  4. f4[a_List] := {{#, #2}, {#2, #}} & @@ a;
  5. f5[{x_, y_}] := {{x, y}, {y, x}};

  6. #[{1, 2}] & /@ {f1, f2, f3, f4, f5} // Column
  7. Clear["`*"];(*用ReplaceAll或Apply的不能Compile*)
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发表于 2013-2-25 17:36:48 | 显示全部楼层
当$1<=x_1<x_2<...<x_n$时,一个完整的递推公式共有(n-1)的单式,分别是
$(x_1, x_2, ..., x_n)->(x_1, x_2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., x_n, x'_i)$, $ (i=1, 2, 3, ..., n-1)$
其中$x'_i=mx_1 x_2 ... x_{(i-1)} x_{(i+1)} ... x_n-x_i$
也就是从表$(x_1, x_2, ..., x_n)$中去掉$x_i$, 然后在表尾添上$x'_i$
当相邻分量相等时,对应的单式相同,可缩并为一个单式。

在这样的递推关系下,从一个初解出发可以生成一棵树。如果这棵树不能囊括方程的全解,那就表明有多个初解,相应地可生成多棵树。
不同的树有不同的初解(根),不同的初解,即mathe所言基本解,是不会存在递推关系的。因为,存在递推关系的两个解,必有一个不是基本解。
所以mathe在34#最后的注解是不妥的。
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 楼主| 发表于 2013-2-27 09:44:49 | 显示全部楼层
38# hujunhua
(注意对于小的基本解,替换xn可以得出另外一组基本解,但是我们这里不需要了)

小的基本解有可能替换得到反方向的含有负数的基本解,这不是我们所需要的。
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 楼主| 发表于 2013-2-27 10:04:54 | 显示全部楼层
31# mathe
对于 $2+z^2+u^2=4zu$
我们可以设 z+u =x  ,z-u=y,  则 $x^2- 3y^2 =4$
这是一个pell方程, 于是我们得知, n=4,即 #23楼的方程, 只有一个基本解,
如hujunhua所言,该方程所有的解只有一棵树。
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