解丢番图方程x^2+y^2+z^2=3xyz

hujunhua

1. f[x_] := {{x[[1]], x[[3]], 3 x[[1]] x[[3]] - x[[2]]}, {x[[2]], x[[3]],3 x[[2]] x[[3]] - x[[1]]}};
   
2. g[x_] := Flatten[f /@ x, 1];
   
3. h[x_] := Select[g[x], #[[3]] < 10^10 &]
   
4. Answer = NestWhileList[h, {{1, 2, 5}}, Length[#] > 0 &];
   
5. Flatten[Answer, 1]
   
6. (Flatten[Answer, 1] // Length) + 2

复制代码

1. {{1, 2, 5}, {1, 5, 13}, {2, 5, 29}, {1, 13, 34}, {5, 13, 194}, {2, 29,169}, {5, 29, 433}, {1, 34, 89}, {13, 34, 1325}, {5, 194, 2897}, {13, 194, 7561}, {2, 169, 985},{29,169,14701}, {5, 433,  6466}, {29, 433, 37666}, {1, 89, 233}, {34, 89, 9077}, {13, 1325, 51641}, {34, 1325, 135137}, {5, 2897, 43261}, {194, 2897, 1686049},{13,7561,294685}, {194, 7561, 4400489}, {2, 985, 5741}, {169, 985, 499393}, {29, 14701, 1278818}, {169, 14701, 7453378}, {5, 6466, 96557}, {433, 6466, 8399329}, {29, 37666,  3276509}, {433, 37666, 48928105}, {1, 233, 610}, {89, 233, 62210}, {34, 9077, 925765}, {89, 9077, 2423525}, {13, 51641,  2012674}, {1325,51641,205272962}, {34, 135137, 13782649}, {1325, 135137, 537169541}, {5, 43261, 646018}, {2897, 43261, 375981346}, {194, 1686049, 981277621}, {13,294685, 11485154}, {7561, 294685, 6684339842}, {194, 4400489,2561077037}, {2, 5741, 33461}, {985, 5741, 16964653}, {169, 499393, 253191266}, {985,499393, 1475706146}, {29, 1278818, 111242465}, {169, 7453378, 3778847945}, {5, 96557, 1441889}, {6466,96557, 1873012681}, {29, 3276509, 285018617}, {1,610, 1597}, {233,610, 426389}, {89, 62210, 16609837}, {233, 62210, 43484701}, {34,925765, 94418953}, {89, 2423525, 647072098}, {13, 2012674, 78442645}, {34,13782649, 1405695061}, {5, 646018, 9647009}, {13,11485154, 447626321}, {2, 33461, 195025}, {5741, 33461,576298801}, {29, 111242465, 9676815637}, {5,1441889, 21531778}, {1,1597, 4181}, {610, 1597, 2922509}, {233, 426389, 298045301}, {610,426389, 780291637}, {89, 16609837, 4434764269}, {34,94418953,9629807441}, {13, 78442645, 3057250481}, {5, 9647009,144059117}, {2, 195025, 1136689}, {5, 21531778, 321534781}, {1, 4181, 10946}, {1597,4181,20031170}, {610, 2922509,5348189873}, {5, 144059117, 2151239746}, {2, 1136689, 6625109}, {5, 321534781, 4801489937}, {1, 10946, 28657}, {4181,10946, 137295677}, {2, 6625109, 38613965}, {1, 28657, 75025}, {10946,28657, 941038565}, {2, 38613965, 225058681}, {1, 75025,196418}, {28657,75025,6449974274}, {2, 225058681, 1311738121}, {1,196418, 514229}, {2, 1311738121, 7645370045}, {1, 514229,1346269}, {1, 1346269, 3524578}, {1,3524578, 9227465}, {1, 9227465,24157817}, {1, 24157817, 63245986}, {1, 63245986, 165580141}, {1, 165580141, 433494437}, {1, 433494437, 1134903170}, {1,1134903170, 2971215073}, {1, 2971215073, 7778742049}}
   
2. 107
   

复制代码

10^10以内的解除{1,1,1}和{1，1，2}外都在此处了，共计107个。

hujunhua

由于对称性，可以定义满足方程的 x 的递增序列，它将包含方程的解集｛{x,y,z}｝中的所有数值。这个序列称为马尔科夫数（Markov numbers）,见A002559：
{1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597, 2897, 4181, 5741, 6466, 7561, 9077,...}

数学星空

http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number
对于这类不定方程最有趣的是如何构造递推解
例：$x^2+y^2+z^2+u^2=4*x*y*z*u$ 的递推解如何？

chyanog

Mathematica里面取下标[[]]看着有点碍眼，我更喜欢用

1. f[n_] := Block[{x, y, z}, {x, y, z} = n; {{x, z, 3 x z - y}, {y, z, 3 y z - x}}];

复制代码

wayne

24# chyanog

最好对n做一下模式判定

wayne

23# 数学星空
根据mathe的分析，我们可以这么递推，

如果存在解 {x,y,z,t},x<=y<=z<=t , 那么，那么必然同时存在解 {x,y,z,4xyz-t}
从{1,1,1,1},我们可以推出 {1,1,1,3}
从{1,1,1,3},我们推出{1,1,3,11}
从{1,1,3,11},我们推出{1, 3, 11, 131},{1, 1, 11, 41}
......
继续同理，我们可以找到数列：http://oeis.org/A075276
不过该数列貌似第16项开始就不对了，应该是29681。

{1, 3, 11, 41, 131, 153, 571, 1561, 1803, 2131, 5761, 7953, 17291, \
18601, 25091, 29681, 79291, 110771, 221651, 253353, 295681, 349451, \
413403, 817961, 2282281, 2453891, 2641211, 3018753, 3252611, 3487001, \
4114771, 4867203}

wayne

21# hujunhua
我也写了程序：

1. 
   
2. Union@Flatten[
   
3.   NestList[Union@Sort@Flatten[Table[Union[
   
4.          Map[Sort, {x, y, z, 4 x y z - t} /. Thread[Rule[{x, y, z, t}, #]] & /@
   
5.            NestList[RotateLeft, ii, 4]]], {ii, #}], 1] &, {{1, 1, 1, 1}}, 5], 1]
   

复制代码

1. 
   
2. 1        1        1        1
   
3. 1        1        1        3
   
4. 1        1        3        11
   
5. 1        1        11        41
   
6. 1        1        41        153
   
7. 1        1        153        571
   
8. 1        1        571        2131
   
9. 1        3        11        131
   
10. 1        3        131        1561
    
11. 1        3        1561        18601
    
12. 1        3        18601        221651
    
13. 1        11        41        1803
    
14. 1        11        131        5761
    
15. 1        11        1803        79291
    
16. 1        11        5761        253353
    
17. 1        11        79291        3487001
    
18. 1        11        253353        11141771
    
19. 1        41        153        25091
    
20. 1        41        1803        295681
    
21. 1        41        25091        4114771
    
22. 1        41        295681        48489881
    
23. 1        131        1561        817961
    
24. 1        131        5761        3018753
    
25. 1        131        817961        428610003
    
26. 1        131        3018753        1581820811
    
27. 1        153        571        349451
    
28. 1        153        25091        15355651
    
29. 1        1561        18601        116144641
    
30. 1        1561        817961        5107348353
    
31. 1        1803        79291        571846681
    
32. 1        1803        295681        2132451331
    
33. 1        5761        253353        5838266521
    
34. 1        5761        3018753        69564144001
    
35. 3        11        131        17291
    
36. 3        11        17291        2282281
    
37. 3        11        2282281        301243801
    
38. 3        131        1561        2453891
    
39. 3        131        17291        27181441
    
40. 3        131        2453891        3857515091
    
41. 3        131        27181441        42729207961
    
42. 3        1561        18601        348433931
    
43. 3        1561        2453891        45966286081
    
44. 3        17291        2282281        473555049241
    
45. 3        17291        27181441        5639931555841
    
46. 11        41        1803        3252611
    
47. 11        41        3252611        5867708441
    
48. 11        131        5761        33206403
    
49. 11        131        17291        99665321
    
50. 11        131        33206403        191401701131
    
51. 11        131        99665321        574470892953
    
52. 11        1803        79291        6290313611
    
53. 11        1803        3252611        258036135811
    
54. 11        5761        253353        64220931851
    
55. 11        5761        33206403        8417291857921
    

复制代码

解的个数呈指数膨胀，迭代10次，得到4927组

mathe

23# 数学星空
根据mathe的分析，我们可以这么递推，

如果存在解 {x,y,z,t},x
wayne 发表于 2013-2-23 13:51

这样无法保证得到所有的解。无穷递降后不一定必然可以变换到全1，我们需要穷举一定范围内的解

wayne

28# mathe
恩，是的

mathe

为了找到所有解，我们先查看一般有两个正根的二次方程
$x^2-bx+c=0$以及两根$x_1<=x_2$,于是$x_1(x_1+x_2)<=2x_1x_2$,得出$x_1<={2c}/b$