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楼主: wayne

[讨论] 解丢番图方程x^2+y^2+z^2=3xyz

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发表于 2013-2-22 19:09:04 | 显示全部楼层
  1. f[x_] := {{x[[1]], x[[3]], 3 x[[1]] x[[3]] - x[[2]]}, {x[[2]], x[[3]],3 x[[2]] x[[3]] - x[[1]]}};
  2. g[x_] := Flatten[f /@ x, 1];
  3. h[x_] := Select[g[x], #[[3]] < 10^10 &]
  4. Answer = NestWhileList[h, {{1, 2, 5}}, Length[#] > 0 &];
  5. Flatten[Answer, 1]
  6. (Flatten[Answer, 1] // Length) + 2
复制代码
  1. {{1, 2, 5}, {1, 5, 13}, {2, 5, 29}, {1, 13, 34}, {5, 13, 194}, {2, 29,169}, {5, 29, 433}, {1, 34, 89}, {13, 34, 1325}, {5, 194, 2897}, {13, 194, 7561}, {2, 169, 985},{29,169,14701}, {5, 433,  6466}, {29, 433, 37666}, {1, 89, 233}, {34, 89, 9077}, {13, 1325, 51641}, {34, 1325, 135137}, {5, 2897, 43261}, {194, 2897, 1686049},{13,7561,294685}, {194, 7561, 4400489}, {2, 985, 5741}, {169, 985, 499393}, {29, 14701, 1278818}, {169, 14701, 7453378}, {5, 6466, 96557}, {433, 6466, 8399329}, {29, 37666,  3276509}, {433, 37666, 48928105}, {1, 233, 610}, {89, 233, 62210}, {34, 9077, 925765}, {89, 9077, 2423525}, {13, 51641,  2012674}, {1325,51641,205272962}, {34, 135137, 13782649}, {1325, 135137, 537169541}, {5, 43261, 646018}, {2897, 43261, 375981346}, {194, 1686049, 981277621}, {13,294685, 11485154}, {7561, 294685, 6684339842}, {194, 4400489,2561077037}, {2, 5741, 33461}, {985, 5741, 16964653}, {169, 499393, 253191266}, {985,499393, 1475706146}, {29, 1278818, 111242465}, {169, 7453378, 3778847945}, {5, 96557, 1441889}, {6466,96557, 1873012681}, {29, 3276509, 285018617}, {1,610, 1597}, {233,610, 426389}, {89, 62210, 16609837}, {233, 62210, 43484701}, {34,925765, 94418953}, {89, 2423525, 647072098}, {13, 2012674, 78442645}, {34,13782649, 1405695061}, {5, 646018, 9647009}, {13,11485154, 447626321}, {2, 33461, 195025}, {5741, 33461,576298801}, {29, 111242465, 9676815637}, {5,1441889, 21531778}, {1,1597, 4181}, {610, 1597, 2922509}, {233, 426389, 298045301}, {610,426389, 780291637}, {89, 16609837, 4434764269}, {34,94418953,9629807441}, {13, 78442645, 3057250481}, {5, 9647009,144059117}, {2, 195025, 1136689}, {5, 21531778, 321534781}, {1, 4181, 10946}, {1597,4181,20031170}, {610, 2922509,5348189873}, {5, 144059117, 2151239746}, {2, 1136689, 6625109}, {5, 321534781, 4801489937}, {1, 10946, 28657}, {4181,10946, 137295677}, {2, 6625109, 38613965}, {1, 28657, 75025}, {10946,28657, 941038565}, {2, 38613965, 225058681}, {1, 75025,196418}, {28657,75025,6449974274}, {2, 225058681, 1311738121}, {1,196418, 514229}, {2, 1311738121, 7645370045}, {1, 514229,1346269}, {1, 1346269, 3524578}, {1,3524578, 9227465}, {1, 9227465,24157817}, {1, 24157817, 63245986}, {1, 63245986, 165580141}, {1, 165580141, 433494437}, {1, 433494437, 1134903170}, {1,1134903170, 2971215073}, {1, 2971215073, 7778742049}}
  2. 107
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10^10以内的解除{1,1,1}和{1,1,2}外都在此处了,共计107个。
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发表于 2013-2-22 19:36:36 | 显示全部楼层
由于对称性,可以定义满足方程的 x 的递增序列,它将包含方程的解集{{x,y,z}}中的所有数值。这个序列称为马尔科夫数(Markov numbers),见A002559
{1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597, 2897, 4181, 5741, 6466, 7561, 9077,...}

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发表于 2013-2-22 19:48:40 | 显示全部楼层
http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number
对于这类不定方程最有趣的是如何构造递推解
例:$x^2+y^2+z^2+u^2=4*x*y*z*u$ 的递推解如何?
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发表于 2013-2-22 23:41:33 | 显示全部楼层
Mathematica里面取下标[[]]看着有点碍眼,我更喜欢用
  1. f[n_] := Block[{x, y, z}, {x, y, z} = n; {{x, z, 3 x z - y}, {y, z, 3 y z - x}}];
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 楼主| 发表于 2013-2-22 23:49:46 | 显示全部楼层
24# chyanog

最好对n做一下模式判定
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2013-2-23 13:51:52 | 显示全部楼层
23# 数学星空
根据mathe的分析,我们可以这么递推,

如果存在解 {x,y,z,t},x<=y<=z<=t , 那么,那么必然同时存在解 {x,y,z,4xyz-t}
从{1,1,1,1},我们可以推出 {1,1,1,3}
从{1,1,1,3},我们推出{1,1,3,11}
从{1,1,3,11},我们推出{1, 3, 11, 131},{1, 1, 11, 41}
......
继续同理,我们可以找到数列:http://oeis.org/A075276
不过该数列貌似第16项开始就不对了,应该是29681。

{1, 3, 11, 41, 131, 153, 571, 1561, 1803, 2131, 5761, 7953, 17291, \
18601, 25091, 29681, 79291, 110771, 221651, 253353, 295681, 349451, \
413403, 817961, 2282281, 2453891, 2641211, 3018753, 3252611, 3487001, \
4114771, 4867203}
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 楼主| 发表于 2013-2-23 14:15:52 | 显示全部楼层
21# hujunhua
我也写了程序:

  1. Union@Flatten[
  2.   NestList[Union@Sort@Flatten[Table[Union[
  3.          Map[Sort, {x, y, z, 4 x y z - t} /. Thread[Rule[{x, y, z, t}, #]] & /@
  4.            NestList[RotateLeft, ii, 4]]], {ii, #}], 1] &, {{1, 1, 1, 1}}, 5], 1]
复制代码

  1. 1        1        1        1
  2. 1        1        1        3
  3. 1        1        3        11
  4. 1        1        11        41
  5. 1        1        41        153
  6. 1        1        153        571
  7. 1        1        571        2131
  8. 1        3        11        131
  9. 1        3        131        1561
  10. 1        3        1561        18601
  11. 1        3        18601        221651
  12. 1        11        41        1803
  13. 1        11        131        5761
  14. 1        11        1803        79291
  15. 1        11        5761        253353
  16. 1        11        79291        3487001
  17. 1        11        253353        11141771
  18. 1        41        153        25091
  19. 1        41        1803        295681
  20. 1        41        25091        4114771
  21. 1        41        295681        48489881
  22. 1        131        1561        817961
  23. 1        131        5761        3018753
  24. 1        131        817961        428610003
  25. 1        131        3018753        1581820811
  26. 1        153        571        349451
  27. 1        153        25091        15355651
  28. 1        1561        18601        116144641
  29. 1        1561        817961        5107348353
  30. 1        1803        79291        571846681
  31. 1        1803        295681        2132451331
  32. 1        5761        253353        5838266521
  33. 1        5761        3018753        69564144001
  34. 3        11        131        17291
  35. 3        11        17291        2282281
  36. 3        11        2282281        301243801
  37. 3        131        1561        2453891
  38. 3        131        17291        27181441
  39. 3        131        2453891        3857515091
  40. 3        131        27181441        42729207961
  41. 3        1561        18601        348433931
  42. 3        1561        2453891        45966286081
  43. 3        17291        2282281        473555049241
  44. 3        17291        27181441        5639931555841
  45. 11        41        1803        3252611
  46. 11        41        3252611        5867708441
  47. 11        131        5761        33206403
  48. 11        131        17291        99665321
  49. 11        131        33206403        191401701131
  50. 11        131        99665321        574470892953
  51. 11        1803        79291        6290313611
  52. 11        1803        3252611        258036135811
  53. 11        5761        253353        64220931851
  54. 11        5761        33206403        8417291857921
复制代码
解的个数呈指数膨胀,迭代10次,得到4927组

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数学星空 + 6 + 3 + 3 呵呵!辛苦了……

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发表于 2013-2-23 18:55:55 | 显示全部楼层
23# 数学星空
根据mathe的分析,我们可以这么递推,

如果存在解 {x,y,z,t},x
wayne 发表于 2013-2-23 13:51

这样无法保证得到所有的解。无穷递降后不一定必然可以变换到全1,我们需要穷举一定范围内的解
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 楼主| 发表于 2013-2-23 19:10:35 | 显示全部楼层
28# mathe
恩,是的
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发表于 2013-2-23 19:17:21 | 显示全部楼层
为了找到所有解,我们先查看一般有两个正根的二次方程
$x^2-bx+c=0$以及两根$x_1<=x_2$,于是$x_1(x_1+x_2)<=2x_1x_2$,得出$x_1<={2c}/b$
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