三角形正负等角中心间距

陈九章

对正、负Brocard线长公式的别样表达。
“Brocard边”是我以前引入的新概念，可简化“Brocard几何”中的部分公式。

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creasson

接上给出证明：令各点的复数为：\[{Z_A} = 0,{Z_B} = 1,{Z_C} = z,{Z_L} = 0,{Z_M} = 1,{Z_N} = w\]   (ABC和LMN分别在两个复平面上.)
于是可知： \[{Z_{{L^ + }}} = \frac{{w - z}}{{w - 1}},{Z_{{M^ + }}} = \frac{z}{w},{Z_{{N^ + }}} = w;\]
并\[A{L^ + },B{M^ + },C{N^ + }\]三线共点于：\[{Z_E} = \frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{w}{{w - z}}} \right)}}{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{1}{{w - 1}}} \right)}}\left( {\frac{{w - z}}{{w - 1}}} \right)\]
将\[w\]换成它的共轭即得： \[{Z_{{L^ - }}} = \frac{{conj\left( w \right) - z}}{{conj\left( w \right) - 1}},{Z_{{M^ - }}} = \frac{z}{{conj\left( w \right)}},{Z_{{N^ - }}} = conj\left( w \right);\]
及\[A{L^ - },B{M^ - },C{N^ - }\]三线的公共交点：\[{Z_F} = \frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{conj\left( w \right)}}{{conj\left( w \right) - z}}} \right)}}{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{1}{{conj\left( w \right) - 1}}} \right)}}\left( {\frac{{conj\left( w \right) - z}}{{conj\left( w \right) - 1}}} \right)\]
\[EF\]的距离：\[{d_{EF}} = |{Z_E} - {Z_F}| \times AB;\]
再将\[a = BC,b = CA,c = AB,l = MN,m = NL,n = LM\],
\[z = \frac{{2b}}{{\left( {a + b - c} \right)}} \times \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right) - 16S_{ABC}^2}}{{{{\left( {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2} - 4i{S_{ABC}}} \right)}^2}}}\]
\[w = \frac{{2m}}{{\left( {l + m - n} \right)}} \times \frac{{{{\left( {l + m + n} \right)}^2}\left( {l + m - n} \right)\left( {m + n - l} \right) - 16S_{LMN}^2}}{{{{\left( {{{\left( {m + n} \right)}^2} - {l^2} - 4i{S_{LMN}}} \right)}^2}}}\]
代入化简即可.

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前不久，在网上购得华中师范大学彭翕成老师的新书《向量、复数与质点》（中国科学技术大学出版社，2014年5月出版），读到张景中院士的精彩序言 ：

几何问题千变万化，不同的方法各有自己的长处，有不少题目用向量法做起来比较简明快捷，也有不少题目用面积法或质点法更为直观方便；还有一些题目，用综合法能够巧妙地做出来，用向量法反而显得笨拙。这些都显示了几何的丰富和优美。

向量方法是解几何问题的通法，翻来覆去只用那几条规则。此外，面积法、质点法和复数法也是通法，并且已经有了适用于相当广泛的命题类的机械化算法。面积可以用向量、质点或复数的运算表示，所以，面积法给出的题解，原则上都可以改写成这些方法，质点法的基本公式都可以写成向量形式或复数形式，所以，质点法给出的题解容易改写成向量或复数的形式。在这个意义上，用向量法和复数法解几何题实质上也应有适用于相当广泛的命题类的机械化算法。

著名数学家华罗庚和吴文俊都特别强调几何要与代数结合。几何与代数的结合，有坐标方法和非坐标方法两种。用坐标方法研究几何，发展成了“代数几何”；用代数方法且尽量不用坐标研究几何，发展成了“几何代数”。向量是代数几何的基础，也是几何代数的基础，同时更是大学里要学的数学分析、解析几何和高等代数这些主要数学课程的基础之一。（节选）

我们知道，平面上的欧氏几何题一般可用分析法、综合法、反证法、变换法、射影法、代数法、面积法、三角法、解析法、向量法、复数法、质点法求解。41楼数学星空教授介绍的定理是我于2002年8月发表在湖北大学主办的《中学数学》杂志上，该文用三角法证明了那个复杂而优美的距离公式；刚才，看到creasson老师用娴熟的复数法对拙公式进行推证（虽然后续化简运算量还较大），得到了该定理的第二个证明。可喜可贺！用复数法求解几何问题的基本思路是建立复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过复数的计算与推理，将“形”入“数”，以“数”显“形”，完成对几何问题的解答。

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creasson

creasson 发表于 2016-9-3 01:15
接上给出证明：令各点的复数为：\[{Z_A} = 0,{Z_B} = 1,{Z_C} = z,{Z_L} = 0,{Z_M} = 1,{Z_N} = w\]   (ABC ...

做复杂了

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