一维反Nim游戏

无心人

7#把7，8的表做出来，应该就能知9，10了

shshsh_0510

1）当只有n1=3时，则奇数个1，奇数个2 构成所有奇异局势 {3,2..2,1,...1}
2）当只有n1=n2=3时，则偶数个1或偶数个2 构成所有奇异局势 {3,3,1,...1}{3,3,2,...2}
3）当只有n1=n2=n3=3时，挺复杂，感觉好像还是 1）的情况，于是猜想奇数个3是1）那样，偶数个3是2）那样

[ 本帖最后由 shshsh_0510 于 2008-9-10 15:37 编辑 ]

shshsh_0510

用pi表示奇数个i,oi表示偶数个i,
猜想所有i小于N的奇异局势为
p(a1)p(a2)..p(ak) ，k奇数
o(a1)p(a2)..p(ak) ，k偶数
如分划最大子集的势N≤3,则所有奇异局势为：
p1，
o1o2, o1o3, o2o3
p1p2p3

shshsh_0510

情况挺复杂，可能有错，我把推倒写详细一点，有兴趣的可以一起检查、推到一下
记pi 为奇数个i, oi为非零偶数个i
(1)n1=1 时
    显然 p1 奇异。如局势{1，1，1}，{1，1，1，1，1}
(2) n1=2时
    o1o2, o2 奇异 如{1,1,2,2},{1,1,2,2,2,2},{2,2,2,2},
    后走方策略如下：如果先走的选某个1，则也选某个1，如果先走的选某个2，则也选某个2，此时，可以有和对方拿的数目相同、不同两种。如果是最后一对2，则不同。
    其他情况
  1）p2,可变为  o2,非异
  2）p1p2，当不只一个2时，可变为o1o2(拿走某个2中的1个）
                      当只一个2时，可变为p1，所以非异
  3）p1o2，可变为  o1o2或 o2非异
  4)  o1p2，当不只一个2时，可变为o1o2(拿走某个2中的1个）
                      当只一个2时，可变为p1，所以非异

shshsh_0510

(3) n1=3时
在说明以下记号, 如 p1p2333 表示奇数个1和2以及3个3，如{3，3，3，2，1，1，1}
先讨论只有一个3的情况：
1）3   非异
2）p13, 将3分为两个1，变为p1 非异
3)  o13  将3拿走2，变为p1 非异
4) p23  将3拿走1，变为o2 非异
5) o23   将3分为两个1，变为o1o2 非异
6) p1p23 ,任何方法都构不成奇异局势，所以为奇异局势
7) p1o23 将3拿走2，变为o1o2非异
8) o1p23 将3拿走1，变为o1o2 非异
9) o1o23  将3分为两个1，变为o1o2 非异

shshsh_0510

讨论只有两个3的情况：
1）33  可变为 13,23,113均非异,所以为奇异局势
2）p133  可变为 p1p23,非异
3)o133   p133,p13,o13,o1p23均非异,所以为奇异局势
4) p233   可变为 p1p23,非异
5) o233    可变为p233,p1p233,p23,p1o23,o1o23均非异,所以为奇异局势
6) p1p233 可变为 p1p23,非异
7) p1o233  可变为 p1p23,非异
8) o1p233  可变为 p1p23,非异
9) o1o233  可变为 p1o233,p1p233,o1p233,p1o23,o1p23,o1o23均非异,所以为奇异局势
综上，33，o133,o233,o1o233为奇异局势

shshsh_0510

讨论只有3个3的情况：
1）333  可变为 o133,非异
2）p1333 可变为 o133,非异
3)o1333 可变为 o133,非异
4) p2333 可变为 o233,非异
5) o2333 可变为 o1o233,非异
6) p1p2333 可变为o1p2333,o1o2333,p1o2333,p1p233,o1p233,p1o233均非异,所以为奇异局势
7) p1o2333  可变为o1o233,非异
8) o1p2333  可变为o1o233,非异
9) o1o2333  可变为o1o233,非异
既只有p1p2333为奇异局势

shshsh_0510

4个3和两个3的情况一样
所以归纳得出n1=3时的所有奇异局势为：
p1p2p3 ,o3，o1o3,o2o3, o1o2o3
n1<=3时的所有奇异局势为：
p1,o2,o3
o1o2, o1o3,o2o3
o1o2o3,p1p2p3

n1=4,要讨论27种情况，很烦，不过奇异的局势应该很少。先按上面模式先猜一下：最好只有o1o2o3o4

shshsh_0510

4:
(0)
4:----------
(1)
p14:变为p1非异
o14:p14,p1p3,p1p2,o1p2,o1均非异,所以为奇异局势
(2)
p24: 变为 o2 非异
o24: 变为 o1o2 非异
(3)
p34:变为 o3非异
o34:变为o1o3非异
(12)
p1p24:变为o1o2非异
p1o24:----------
o1p24:变为o1o2非异
o1o24:变为o1o2非异
(13)
p1p34:变为p1p2p3非异
p1o34-----------
o1p34:变为o1o3非异
o1o34:变为o1o3非异
(23)
p2p34-----------
p2o34:变为o2o3非异
o2p34:变为p1p2p3非异
o2o34:变为o1o2o3非异
(123)
p1p2p34:变为p1p2p3非异
p1p2o34:变为p1p2p3非异
p1o2p34:变为p1p2p3非异
p1o2o34:-----------
o1p2p34:-----------
o1p2o34:变为o1o2o3非异
o1o2p34:变为p1p2p3非异
o1o2o34:变为o1o2o3非异

所以：o14，p1o24，p1o34，p2p34，p1o2o34，o1p2p34为奇异局势

[ 本帖最后由 shshsh_0510 于 2008-9-11 17:35 编辑 ]

无心人

我想你有点过于复杂了

再来个定理
定理：
如果一个局面恰好有两个连续的序列
则交换两个序列，局面的胜负不变