数字串的通项公式

northwolves

$a_n=10^{n-1}-8\* 9^{n-2},a_1=1$

王守恩

{\[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi], \[Pi]}

1. Table[(Gamma[n + 1/2]/((2 n - 1)!! 2^-n))^2, {n, 29}]

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王守恩

{1, 4, 10, 20, 35, 56, 084, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 0680, 0816, 0969, 1140, 1330},
{1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470},
{1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610},
{1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856, 3417, 4047, 4750},
{1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, 2380, 2920, 3536, 4233, 5016, 5890},
{1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, 1045, 1386, 1794, 2275, 2835, 3480, 4216, 5049, 5985, 7030},
{1, 10, 34, 80, 155, 266, 420, 624, 885, 1210, 1606, 2080, 2639, 3290, 4040, 4896, 5865, 6954, 8170},
{1, 11, 38, 90, 175, 301, 476, 708, 1005, 1375, 1826, 2366, 3003, 3745, 4600, 5576, 6681, 7923, 9310},
{1, 12, 42, 100, 195, 336, 532, 792, 1125, 1540, 2046, 2652, 3367, 4200, 5160, 6256, 7497, 8892, 10450}

1. Table[((k (n - 1) + 3) n (n + 1))/6, {k, 9}, {n, 19}]

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王守恩

n位数, 各位数字之和等于n。

这样的1位数有1个。

这样的2位数有2个。

这样的3位数有6个。

这样的4位数有20个。

这样的5位数有70个。

这样的6位数有252个。

这样的7位数有924个。

这样的8位数有3432个。

这样的9位数有12870个。

northwolves

已确认。
A000984
Central binomial coefficients: binomial(2*n,n) = (2*n)!/(n!)^2.

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112

王老师可以尝试用生成函数证明或解释一下

王守恩

a(1)=1,{1},
a(2)=2,{12},{21},
a(3)=3,{112},{121},{211},
a(4)=6,{1122},{1212},{1221},{2112},{2121},{2211},6=3*2
a(5)=10,{11122},{11212},{11221},{12112},{12121},{12211},{21112},{211121},{21211},{22111},10=6+4?
a(6)=20,{111222},{112122},{112212},{112221},{121122},{121212},{121221},{122112},{122121},{122211},20=10*2
a(7)=35,{2111122},{2111212},{2111221},{2112112},{2112121},{2112211},{2121112},{2121121},{2121211},{2122111},{2211112},{2211121},{2211211},{2212111},{2221111},35=20+15?
a(8)=70,70=35*2
a(9)=126,126=70+56?
a(10)=252,252=126*2
a(11)=462,462=252+210?
a(12)=924,924=462*2
a(13)=1716,1716=924+792?
a(14)=3432,3432=1716*2
a(15)=6435,6435=3432+3003?
a(16)=12870,12870=6435*2
......
1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310, 48620, 92378, 184756, 352716, 705432,

是这串数吗？要不就是 ？处有问题了。

如果是这串数, OEIS应该有上面的条文清晰简单些。

王守恩

这通项公式还是比OEIS——A131708——好一些。

{1, 2, 3, 5, 10, 21, 43, 86, 171, 341, 682, 1365, 2731, 5462, 10923, 21845, 43690, 87381, 174763, 349526, 699051, 1398101, 2796202, 5592405, 11184811}

1. Table[Round[(2^n + Sin[n*Pi/3])/3], {n, 25}]

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王守恩

楼上的通项公式可以有更好的。

(2^n + 2 Cos[(n - 2)*Pi/3])/3=(2^n - 2 Cos[(n + 1)*Pi/3])/3=Round[(2^n + Sin[n*Pi/3])/3]

{1, 2, 3, 5, 10, 21, 43, 86, 171, 341, 682, 1365, 2731, 5462, 10923, 21845, 43690, 87381, 174763, 349526, 699051, 1398101, 2796202, 5592405, 11184811}