轻便、省线的蜂窝型渔网

hujunhua

渔网的网眼一般是正方形，当然，得拉正了看，否则你只看到棱形。
有人研发了一种专门织网眼为正六边形的渔网的机器，因为据数学家说这种渔网比普通方眼渔网省线13%，相应地轻便13%。

这是真的吗，怎么算的呢？

zeroieme

渔网是软的，网眼应当看作软绳圈，要这个绳圈能挡住鱼。

等周长的正六边形比正方形面积大，相应等面积渔网需要的正六边形网眼比正方形面网眼少。
但我算的是$1/sqrt(3)$ 0.57735

gxqcn

要想挡住多大尺寸的鱼，取决于网眼的最大直径，即该网眼周长的一半。

假设每个网眼的周长是定值 \(\ell\)，则：
\(S_4=a_4^2=\left(\frac\ell4\right)^2=\frac1{16}\ell^2\)
\(S_6=6*\frac{\sqrt3}4 a_6^2=\frac{3\sqrt3}2\left(\frac\ell6\right)^2=\frac{\sqrt3}{24}\ell^2\)
\(S_4:S_6=\frac1{16}:\frac{\sqrt3}{24}=\sqrt3:2=0.8660:1 \implies \text{正六边形比正方形的渔网省线13%（基于相等的网眼周长及渔网总面积）}\)

倪举鹏

主要问题是  六边形所有节点是奇数线连接，不能“一笔画”，也就是要织网就必须要将线剪断成一小段一小段。而正方形就可以用整根线织了，比如网破了，可以人工补，六边形网破了  就不好补了

zeroieme

虽然不是渔网，但从这些钢丝网的图中可以了解





三个方向有一个方向是双绞的。所以用料应当是线段和的$4/3$

gxqcn

楼主的问题是渔网，网眼可变形的。

现在换成挡蚊虫的纱窗，假设装好后不变形，屏蔽蚊虫的能力取决于网眼的最大直径，
请问采用正方形网眼与正六边形的网眼哪种省材料？

设网眼的最大直径均为 \(d\)，两种方案的网眼周长与面积分别为 \(\ell_4,\ell_6,S_4,S_6\)，则：
\(\ell_4=2\sqrt2d,\ \ell_6=3d\)
\(S_4=\frac1{16}\ell_4^2=\frac12d^2,\ S_6=\frac{\sqrt3}{24}\ell_6^2=\frac{3\sqrt3}8d^2\)

针对相同的纱窗面积 \(S\)，两只方案的需要的纱线总长分别为 \(L_4,L_6\)，则：
\[L_4 : L_6=\left(\frac{S}{S_4}\ell_4\right):\left(\frac{S}{S_6}\ell_6\right)=\frac{\ell_4}{S_4}:\frac{\ell_6}{S_6}=\sqrt6:2=1.2247:1\]
当然，线段间是基于“点焊”的，而非“双绞”的，否则不能用上述推导过程。

hujunhua

@zeroieme \(\sqrt3/2\times4/3=2/\sqrt3\), 反过来了，单丝方眼网反而省料13%。