三角形中的几何不等式

hujunhua

如图，三角形DEF在三角形ABC内部，`AD=BE=CF=:r`，D，E, F分别在线段AF，BD，CE上。
求证：`r<R`（三角形ABC的外径）

ccmmjj

“D，E， F分别在线段AF，BD，CE上”很必要，D、E、F是对应线段的内点，这才会成立。这个题目和我的那题在构图上有几分相似，值得认真思考。

ccmmjj

题目比我想象的要简单。引理如图，钝角三角形ABC的角A为钝角，以锐角顶点B、C为圆心，以不超出至顶点A的距离为半径的两圆重合部分（图中阴影部分）必在钝角A内（可能包含钝角顶点）。证明极易，不必说了。
现在看楼主的图，三角形ACF、BCE、ABD中至少有两个是以D、E、F为钝角顶点的钝角三角形，不妨设为三角形ACF、BCE。分别以A、B、C为圆心，r为半径作圆，若r>=R,则此三圆必皆包含其外心（r=R时外心在圆上，r>R时外心在圆内）。即此三圆必有交。外心当在任两圆之交内。于是由引理，外心既在钝角AFC内又在钝角BEC内。而如图此二限并无交集即生矛盾。于是假设r>=R必不能于此图成立。证毕。

hujunhua

我得到题目时感觉很直观，应该有简单的证明，但在发帖时还没有找到简明的证明。随后找到一个，很有启发性，但所依赖的几何直观要转化为严格的证明虽然不难，却比较啰嗦，全盘列出会使证明丧失简明性。
如图，由于∠ADB+∠BEC+∠CFA=2π, 所以含此三角的三条弧相交于一点G。

可以证明：
1、G位于△DEF内.  因为G位于三个外围三角形之外。
2、比较弧ADB所含两角ADB和AGB，可得AD<AG，同理可得BE<BG, CF<CG. 于是 r<min{AG, BG, CG}.
3、引理：三角形内任一点到其三顶点的距离至少有一个不大于其外径。应用引理即得 min{AG, BG, CG}≤R.
所以，r<R.

kastin

三角形DEF与ABC是否相似，以及三角形ABC的外心是否可能是三角形DEF的某心？

hujunhua

今天偶尔翻到此贴，想起当年提问时，可能就是因为4#那三条弧共点，想基于它构造一个妙证，结果有点翻车：基于它的证明并不简明。

这个点麻烦，就换个点呗，发现△DEF的内心就很好。容易证明三角形的内角之半加上相补的外角是个钝角。
下图中，G是△DEF的内心，那么∠ADG、∠BEG、∠CFG都是钝角，所以AG>AD=r, BG>BE=r, CG>CF=r.
所以r<min(AG,BG,CG)<R.


事实上，我们也并不需要内心。若△DEF不是钝角三角形，则其内任何一点都行。
若△DEF是钝角三角形，比如∠E为钝角，则作以B为圆心、过E的圆，该圆之外、△DEF之内的点都行。
只不过，用内心的话能简单地满足证明要求，不需要因为一般性再作多余的说明。