这样的A有多少个？

northwolves

mathe 发表于 2024-2-27 09:56
如同主贴，这个问题一方面我们可以搜索平方数尾数必须是7/8/9的数来缩小范围，另外一方面，也可以搜索开 ...

我搜索10^25-10^26是用pre12 *10^14+b*10^12+  lat12 计算了10几个小时未找到

northwolves

我是硬算的：
n=27也未搜到

1. n=1;For[a=1,a<=Length@q13,a++,For[c=0,c<=10^n-1,c++,e=IntegerLength@c;For[b=1,b<=Length@q13,b++,k=q13[[a]]*10^(13+n)+c*10^13+h13[[b]];If[Min@IntegerDigits[k^2]>6,Print[{k,d}];]]]]

复制代码

{Length@q7, Length@h7}：  {1501, 648}
{Length@q10, Length@h10}： {28528, 17496}
{Length@q12, Length@h12}：{196665, 157464}
{Length@q13, Length@h13}：{477591, 472392}

mathe

northwolves 发表于 2024-2-27 10:43
我是硬算的：
n=27也未搜到

你这是头尾拼接，代码有小bug,b的范围错了。另外头上开根号得出数据有可能会有一定偏差，通常还需要同时搜索边上数据

王守恩

这是最简单的一个无限数串, 性价比排第2(76#排第1)。说到性价比(数码和: 数位)我们约定2条：1, 相同的起点=33:4(不可能有34:4)。2, 8出现的越早越好。

1. Table[k = 3*10^(2 n + 1) - (5*10^n + 1)/3; {k, k^2}, {n, 0, 10}] // TableForm

复制代码

{"28", "784"},
{"2983", "8898289"},
{"299833", "89899827889"},
{"29998333", "899899982778889"},
{"2999983333", "8999899998277788889"},
{"299999833333", "89999899999827777888889"},
{"29999998333333", "899999899999982777778888889"},
{"2999999983333333", "8999999899999998277777788888889"},
{"299999999833333333", "89999999899999999827777777888888889"},
{"29999999998333333333", "899999999899999999982777777778888888889"},
{"2999999999983333333333", "8999999999899999999998277777777788888888889"},
{"299999999999833333333333", "89999999999899999999999827777777777888888888889"},
{"29999999999998333333333333", "899999999999899999999999982777777777778888888888889"},
{"2999999999999983333333333333", "8999999999999899999999999998277777777777788888888888889"},
{"299999999999999833333333333333", "89999999999999899999999999999827777777777777888888888888889"},
{"29999999999999998333333333333333", "899999999999999899999999999999982777777777777778888888888888889"},
{"2999999999999999983333333333333333", "8999999999999999899999999999999998277777777777777788888888888888889"},
{"299999999999999999833333333333333333", "89999999999999999899999999999999999827777777777777777888888888888888889"},
{"29999999999999999998333333333333333333", "899999999999999999899999999999999999982777777777777777778888888888888888889"},
{"2999999999999999999983333333333333333333", "8999999999999999999899999999999999999998277777777777777777788888888888888888889"},
{"299999999999999999999833333333333333333333", "89999999999999999999899999999999999999999827777777777777777777888888888888888888889"}

1. Table[(33 n + 19)/(4 n + 3), {n, 0, 50}]

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{19/3, 52/7, 85/11, 118/15, 151/19, 8, 217/27, 250/31, 283/35, 316/39, 349/43, 382/47, 415/51, 448/55, 481/59, 514/63, 547/67, 580/71, 613/75, 646/79, 679/83}

mathe

northwolves 发表于 2024-2-27 10:43
我是硬算的：
n=27也未搜到

提前算完了，29位以内没有新解

王守恩

这串数虽然简单, 不满足参赛条件被淘汰: 1, 起点不满足=33:4。2, 不会出现8。

1. Table[k = (5*10^n + 1)/3; {k, k^2}, {n, 20}] // TableForm

复制代码

{"17", "289"},
{"167", "27889"},
{"1667", "2778889"},
{"16667", "277788889"},
{"166667", "27777888889"},
{"1666667", "2777778888889"},
{"16666667", "277777788888889"},
{"166666667", "27777777888888889"},
{"1666666667", "2777777778888888889"},
{"16666666667", "277777777788888888889"},
{"166666666667", "27777777777888888888889"},
{"1666666666667", "2777777777778888888888889"},
{"16666666666667", "277777777777788888888888889"},
{"166666666666667", "27777777777777888888888888889"},
{"1666666666666667", "2777777777777778888888888888889"},
{"16666666666666667", "277777777777777788888888888888889"},
{"166666666666666667", "27777777777777777888888888888888889"},
{"1666666666666666667", "2777777777777777778888888888888888889"},
{"16666666666666666667", "277777777777777777788888888888888888889"},
{"166666666666666666667", "27777777777777777777888888888888888888889"}

1. Table[(15 n + 4)/(2 n + 1), {n, 20}]

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{19/3, 34/5, 7, 64/9, 79/11, 94/13, 109/15, 124/17, 139/19, 22/3, \169/23, 184/25, 199/27, 214/29, 229/31, 244/33, 37/5, 274/37, 289/39, 304/41}

mathe

MAXS需要是偶数，比如12,14,16,18, GROUP定义为10的幂:10^(MAXS/2), EBIT 需要比4*MAXS略小，我一般选小6到8左右，EBIT代表搜索的平方数的最大位数。
代码搜索的最小平方数位数为2*MAXS+1,最大位数EBIT。
然后依次设置D1,D2,D3为三个需要搜索的数。
下面程序中是现在大量搜索使用的参数，MAXS=16代表前后缀都搜索16位，同时仅输不小于17位的被平方数。EBIT=54代表目标平方数最多54位，也就是被平方数最多27位。

1. #include <stdio.h>
   
2. #include <gmpxx.h>
   
3. #include <vector>
   
4. #include <iostream>
   
5. #include <algorithm>
   
6. 
   
7. std::vector<int> smalllist;
   
8. std::vector<long> longlist;
   
9. #define BLOCKSIZE 10000
   
10. #define STARTS 6
    
11. #define MAXS   16
    
12. #define SBIT  MAXS
    
13. #define GROUP 100000000L
    
14. #define GROUPS GROUP
    
15. #define EBIT   54
    
16. #ifndef D1
    
17. #define D1     4
    
18. #endif
    
19. #ifndef D2
    
20. #define D2     6
    
21. #endif
    
22. #ifndef D3
    
23. #define D3     9
    
24. #endif
    
25. //              0,    1 ,   2,   3,     4,    5,    6,    7,    8,   9
    
26. bool vset[10]={false,false,false,false,false,false,false,false,false,false};
    
27. char enc[3]={D1,D2,D3};
    
28. long gid=0;
    
29. void setvset()
    
30. {
    
31.     vset[enc[0]]=vset[enc[1]]=vset[enc[2]]=true;
    
32. }
    
33. bool allinset(const mpz_class& y)
    
34. {
    
35.     mpz_class x=y;
    
36.     while(x>0){
    
37.         mpz_class t=x%10;
    
38.         int d=t.get_si();
    
39.         x/=10;
    
40.         if(!vset[d])return false;
    
41.     }
    
42.     return true;
    
43. }
    
44. bool allinset(__int128_t y)
    
45. {
    
46.     while(y>0){
    
47.         int t=y%10;
    
48.         y/=10;
    
49.         if(!vset[t])return false;
    
50.     }
    
51.     return true;
    
52. }
    
53. 
    
54. int bestv=0;
    
55. 
    
56. #define SMALLR 1000000
    
57. #define LEVEL 6
    
58. void initsmalls()
    
59. {
    
60.     long i;
    
61.     int j;
    
62.     for(i=1;i<SMALLR;i++){
    
63.         int x=(i*i)%SMALLR;
    
64.         if(enc[0]==0&&i%10==0)continue;
    
65.         for(j=0;j<LEVEL;j++){
    
66.             if(!vset[x%10])break;
    
67.             x/=10;
    
68.         }
    
69.         if(j>=LEVEL){
    
70.             smalllist.push_back(i);
    
71.         }
    
72.     }
    
73. }
    
74. 
    
75. struct SV{
    
76.     long v;
    
77.     long tens;
    
78.     int level;
    
79.     int sz;
    
80. };
    
81. 
    
82. struct GSV{
    
83.     long v;
    
84.     int level;
    
85. };
    
86. 
    
87. void searcht(SV *sv)
    
88. {
    
89.     if(sv->level==MAXS){
    
90.             {
    
91. #pragma omp critical
    
92.         longlist.push_back(sv->v);
    
93.             }
    
94.         return;
    
95.     }
    
96. #if 0
    
97.     mpz_class sqrv=sv->v*sv->v;
    
98.     if(!sv->sz&&allinset(sqrv)){
    
99. #pragma omp critical
    
100.             {
     
101.                     std::cout<<"Found "<<sv->v<<std::endl;
     
102.                     fflush(stdout);
     
103.             }
     
104.     }
     
105. #else
     
106.     __int128_t sqrv;
     
107. #endif
     
108.     int i;
     
109.     sv->level++;
     
110.     sv->tens*=10;
     
111.     for(i=0;i<=9;i++){
     
112.         sqrv = ((__int128_t)sv->v*sv->v)%sv->tens;
     
113.         sv->sz = (i==0);
     
114.         if(allinset(sqrv)){
     
115.             searcht(sv);
     
116.         }
     
117.         sv->v+=sv->tens/10;
     
118.     }
     
119.     sv->v-=sv->tens;
     
120.     sv->tens/=10;
     
121.     sv->level--;
     
122. }
     
123. 
     
124. bool getinitv(long cid, long& ret)
     
125. {
     
126.     int i;
     
127.     ret = 0;
     
128.     for(i=0;i<SBIT;i++){
     
129.         int x=(cid>>(2*i))&3;
     
130.         if(i==0&&x==0&&enc[0]==0)return false;//must not start with zero
     
131.         if(x==3)return false;
     
132.         ret*=10;ret+=enc[x];
     
133.     }
     
134.     return true;
     
135. }
     
136. 
     
137. void verify(const mpz_class& x)
     
138. {
     
139.     mpz_class z=x*x;
     
140.     if(enc[0]==0&&x%10==0)return;
     
141.     if(allinset(z)){
     
142. #pragma omp critical
     
143.             {
     
144.                     std::cout<<"Found "<<x<<std::endl;
     
145.                     fflush(stdout);
     
146.             }
     
147.     }
     
148. }
     
149. 
     
150. void check(const mpz_class& start, const mpz_class& end, int k)
     
151. {
     
152.     int tlen = (k+1)/2;
     
153.     long mod = GROUP*GROUPS;
     
154.     long leftbit=tlen-SBIT;
     
155.     if(leftbit<=0)return;
     
156.     long mod2=1;
     
157.     int i;
     
158.     for(i=0;i<leftbit;i++)mod2*=10;
     
159.     if(start/mod == end/mod){
     
160.             mpz_class s1=start%mod;
     
161.             mpz_class e1=end%mod;
     
162.             long ls1 = s1.get_si();
     
163.             long le1 = e1.get_si();
     
164.             std::vector<long>::iterator sit = std::lower_bound(longlist.begin(),longlist.end(),ls1);
     
165.             mpz_class y=(start/mod)*mod;
     
166.             while(sit!=longlist.end()){
     
167.                 if(*sit>le1)break;
     
168.                 if(*sit>=ls1&&*sit<=le1){
     
169.                         mpz_class x=y + (*sit);
     
170.                         verify(x);
     
171.                 }
     
172.                 ++sit;
     
173.             }
     
174.     }else{
     
175.             mpz_class s1=start%mod;
     
176.             long ls1 = s1.get_si();
     
177.             std::vector<long>::iterator sit = std::lower_bound(longlist.begin(),longlist.end(),ls1);
     
178.             mpz_class y=(start/mod)*mod;
     
179.             while(sit!=longlist.end()){
     
180.                     mpz_class x= y + (*sit);
     
181.                     verify(x);
     
182.                     ++sit;
     
183.             }
     
184.             s1=end%mod;
     
185.             ls1=s1.get_si();
     
186.             sit = std::upper_bound(longlist.begin(),longlist.end(),ls1);
     
187.             if(sit!=longlist.end()){
     
188.                     mpz_class y = (end/mod)*mod;
     
189.                     int endindex = sit-longlist.begin()+1;
     
190.                     int j;
     
191.                     for(j=0;j<endindex;j++){
     
192.                             mpz_class x =y+(longlist[j]);
     
193.                             verify(x);
     
194.                     }
     
195.             }
     
196.     }
     
197. }
     
198. 
     
199. void searchh(GSV *sv)
     
200. {
     
201.     long i;
     
202.     mpz_class x=sv->v;
     
203.     x*=(GROUPS*GROUP);
     
204. //    for(i=0;i<1L<<(SBIT);i++){
     
205. //        long j;
     
206. //        if(getinitv(i, j)){
     
207. //            mpz_class y=x;y+=j;
     
208.             mpz_class z=x+(GROUPS*GROUP);
     
209.             int k;
     
210.             for(k=2*SBIT;k<=EBIT;k++){
     
211.                 mpz_class y1=sqrt(x);
     
212.                 mpz_class z1=sqrt(z);
     
213.                 check(y1,z1,k);
     
214.                 x*=10;
     
215.                 z*=10;
     
216.             }
     
217. //        }
     
218. //    }
     
219. }
     
220. 
     
221. int main()
     
222. {
     
223.     setvset();
     
224.     initsmalls();
     
225.     printf("size is %ld\n",smalllist.size());fflush(stdout);
     
226. #pragma omp parallel
     
227.     {
     
228.          long cid;
     
229.          long i;
     
230.       while(1){
     
231.          #pragma omp critical
     
232.             {
     
233.                 cid = gid++;
     
234.             }
     
235.             if(cid>=smalllist.size())break;
     
236.             SV sv;
     
237.             sv.v = smalllist[cid];
     
238.             sv.level=STARTS;
     
239.             sv.tens=SMALLR;
     
240.             sv.sz = cid<SMALLR/10;
     
241. 
     
242.             searcht(&sv);
     
243.       }
     
244.     }
     
245.     std::cout<<"Search tail done\n";
     
246.     std::sort(longlist.begin(),longlist.end());
     
247.     std::cout<<"Total count "<<longlist.size()<<std::endl;
     
248.     if(longlist.size()==0)return 0;
     
249. 
     
250.     gid=0;
     
251. #pragma omp parallel
     
252.     {
     
253.         long cid=-1;
     
254.         long i;
     
255.         GSV gsv;
     
256.         while(1){
     
257. #pragma omp critical
     
258.                 {
     
259.                         cid = gid++;
     
260. /*                        if(cid%1000000==0){
     
261.                                 std::cerr<<cid<<std::endl;
     
262.                                 fflush(stderr);
     
263.                         }*/
     
264.                 }
     
265.                 if(cid>=1L<<(2*SBIT))break;
     
266.                 long initv;
     
267.                 if(getinitv(cid, initv)){
     
268.                     gsv.v=initv;
     
269.                     gsv.level=SBIT;
     
270.                     searchh(&gsv);
     
271.                 }
     
272.         }
     
273.     }
     
274. 
     
275.     return 0;
     
276. }
     

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mathe

mathe 发表于 2024-2-25 12:24
修改前面的代码，并且合并两个代码最优结果，可以得到如下结果(同样两边搜索长度之和选择为41)

但是现在 ...

将搜索的自由度和从41提升到50以后（减少了搜索的位数），重新进行搜索，得出的结果250以前和上次的结果都匹配，但是250以后出现三项不同：250， 264，286。
另外代码汇报250以前还需要做进一步验证的有:

1. 136 requires 59 with value 100990098524 and square 10008979987899889938496
   
2. 153 requires 59 with value 1014839888843 and square 1000988298688985989999969
   
3. 156 requires 56 with value 1014888614576 and square 1003583888989878989799889
   
4. 170 requires 59 with value 10193036838937 and square 100096389888998998898978689
   
5. 173 requires 56 with value 10198029221374 and square 100379999996978967985987969
   
6. 187 requires 59 with value 102323017938283 and square 10026689997889879988968797889
   
7. 190 requires 56 with value 102420701027617 and square 10009989799579789889898988996
   
8. 204 requires 59 with value 1024646280430417 and square 1003999886849997989979889898569
   
9. 207 requires 56 with value 1029028181829827 and square 1006789978779869979887798899969
   
10. 221 requires 59 with value 10236698686588367 and square 100499989988887999999998099878596
    
11. 224 requires 56 with value 10295630140938386 and square 100679989989498899889884898789889
    
12. 232 requires 65 with value 102420159148480136 and square 10019998638998788989988699979897689
    
13. 238 requires 59 with value 102415819090558417 and square 10067678989889899999999948798749889
    
14. 241 requires 56 with value 103440315641431117 and square 10089997699899997997939669998986889
    
15. 249 requires 65 with value 1029077255068831067 and square 1000899899897891995898789997789999889
    

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所以现在可以认为135项之前是可靠的，250项之前基本问题不大，但是后面的可改进机会较大

1. 218c214
   
2. < 250 104861813830344833
   
3. ---
   
4. > 250 108443524467807563
   
5. 232c228
   
6. < 264 1038739615976929417
   
7. ---
   
8. > 264 1043791118657318333
   
9. 247a244
   
10. > 280 100049937411274724684
    
11. 249a247
    
12. > 283 100239159011830301264
    
13. 252c250
    
14. < 286 12161409457780746063
    
15. ---
    
16. > 286 12453874858814022867
    

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mathe

mathe 发表于 2024-2-25 12:24
修改前面的代码，并且合并两个代码最优结果，可以得到如下结果(同样两边搜索长度之和选择为41)

但是现在 ...

mathe 发表于 2024-2-25 12:24
修改前面的代码，并且合并两个代码最优结果，可以得到如下结果(同样两边搜索长度之和选择为41)

但是现在 ...

将搜索的自由度和从41提升到50以后（减少了搜索的位数），重新进行搜索，得出的结果250以前和上次的结果都匹配，但是250以后出现三项不同：250， 264，286。
另外代码汇报250以前还需要做进一步验证的有:

1. 136 requires 59 with value 100044889864 and square 10008979987899889938496
   
2. 153 requires 59 with value 1000494027313 and square 1000988298688985989999969
   
3. 156 requires 56 with value 1001790341833 and square 1003583888989878989799889
   
4. 170 requires 59 with value 10004818333633 and square 100096389888998998898978689
   
5. 173 requires 56 with value 10018981984063 and square 100379999996978967985987969
   
6. 187 requires 59 with value 100133361063583 and square 10026689997889879988968797889
   
7. 190 requires 56 with value 100049936529614 and square 10009989799579789889898988996
   
8. 204 requires 59 with value 1001997947527837 and square 1003999886849997989979889898569
   
9. 207 requires 56 with value 1003389245896063 and square 1006789978779869979887798899969
   
10. 221 requires 59 with value 10024968328572814 and square 100499989988887999999998099878596
    
11. 224 requires 56 with value 10033941896856833 and square 100679989989498899889884898789889
    
12. 232 requires 65 with value 100099943251726117 and square 10019998638998788989988699979897689
    
13. 238 requires 59 with value 100337824323083167 and square 10067678989889899999999948798749889
    
14. 241 requires 56 with value 100448980581686333 and square 10089997699899997997939669998986889
    
15. 249 requires 65 with value 1000449848766989417 and square 1000899899897891995898789997789999889
    

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所以现在可以认为135项之前是可靠的， 而249项之前也基本上是可靠的

1. 218c214
   
2. < 250 104861813830344833
   
3. ---
   
4. > 250 108443524467807563
   
5. 232c228
   
6. < 264 1038739615976929417
   
7. ---
   
8. > 264 1043791118657318333
   
9. 247a244
   
10. > 280 100049937411274724684
    
11. 249a247
    
12. > 283 100239159011830301264
    
13. 252c250
    
14. < 286 12161409457780746063
    
15. ---
    
16. > 286 12453874858814022867
    

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我又专门写了一个程序，专门对于100开头的数据做了加深搜索, 没有找到新解，但是这部分检查是否足够还没有验证

mathe

补充Sporadic solutions 后面的数据.
搜索32位以内数据目标已经完成.

All data between 17 digits and 30 digits are available in github download address  
012:A058411
[24]471287714788971663493899^2=222112110111011100020110111110102200012010222201
[29]10000009999995510010001000001^2=100000200000010200110220220200010211120011021020002000001 (这个数据 https://www.worldofnumbers.com/threedigits.htm#z012 上已经提供)
[31]1000001099999955100100001000001^2=1000002200001120200101222222020201022120200110201200002000001

无穷模式有两类
其中第一类仅由01构成，那么01构成的数可以用参数$1=a_0\lt a_1 \lt a_2 \lt \cdots\lt a_k$表示，写成 $X=\sum_{h=0}^k 10^{a_h}$
   展开后写成$X^2=\sum_{h=0}^k  10^{2a_h} + 2\sum_{0\le h_1\lt h_2\le k} 10^{a_{h_1}+a_{h_2}}$
所以如果所有的$2a_h, a_{h_1}+a_{h_2}$互不相同，就得到一个合法的解。也就是这种无穷模式所有数满足$2a_h, a_{h_1}+a_{h_2}$互不相同的序列$1=a_0\lt a_1 \lt a_2 \lt \cdots\lt a_k$对应的整数$X=\sum_{h=0}^k 10^{a_h}$。 如100000000000000101000000010001。 于是如果我们去掉末尾数不为0的人为限制并且包含数字0，那么所有不超过n位的满足这个规律的数字的数目就是A143823 (Also the number of subsets of {1..n} such that every orderless pair of (not necessarily distinct) elements has a different sum)。比如A143823[4]-A143823[3]=6, 所以正好4位的这种规律的数字有6个，分别为1000,1001,1010,1100,1011,1101.
那么是否所有仅由01构成的这种数都必须满足上面的规律呢？答案也是否定的，比如我们可以构造多项式$f(x)=x^2048 + x^1280 + x^1088 + x^1040 + x^1028 + x^1020 + x^1008 + x^960 + x^768 + 1$, 于是$f(x)^2=x^4096 + 2*x^3328 + 2*x^3136 + 2*x^3088 + 2*x^3076 + 2*x^3068 + 2*x^3056 + 2*x^3008 + 2*x^2816 + x^2560 + 2*x^2368 + 2*x^2320 + 2*x^2308 + 2*x^2300 + 2*x^2288 + 2*x^2240 + x^2176 + 2*x^2128 + 2*x^2116 + 2*x^2108 + 2*x^2096 + x^2080 + 2*x^2068 + 2*x^2060 + x^2056 + 10*x^2048 + x^2040 + 2*x^2036 + 2*x^2028 + x^2016 + 2*x^2000 + 2*x^1988 + 2*x^1980 + 2*x^1968 + x^1920 + 2*x^1856 + 2*x^1808 + 2*x^1796 + 2*x^1788 + 2*x^1776 + 2*x^1728 + x^1536 + 2*x^1280 + 2*x^1088 + 2*x^1040 + 2*x^1028 + 2*x^1020 + 2*x^1008 + 2*x^960 + 2*x^768 + 1$系数全部是1，2，10，而且系数10只有一项$x^2048$，其前一项指数次数为$x^2056$,所以我们可以看出$f(10)$是一个所有数字都是01的数字，而且$f(10)^2$所有数字都是0，1，2，但是$f(10)$不满足这里的规律。

其中第二类由014构成，总是4在中间，两边对称各分布3个1，可以写成
  $1+10^a+10^{a+h}+4\times 10^{2a+h}+10^{3a+h}+10^{3a+2h}+10^{4a+2h}$
其平方展开有19项，其中一项系数为22，其余系数都是1或2，如果我们将22拆成20+2变成两个不同的次数，那么平方后的指数和系数可以如图分布

如图可以得出平方后系数都是0，1，2的一个充分条件是$a\gt 1,h\gt 1, a\ne h+1,a\ne h, a\ne h-1,2a\ne h$. 如10000010100000400000101000001。
经验证，程序找出的30位以内所有仅包含数字014的被平方数都符合这两个特征之一，所以可以认为这里已经覆盖了所有01和014模式的数。

014:A058413
   其无穷模式有$10^a+2, 2\times10^a+1$, 其中$a\ge 1$,如100000000000000000000000002和20000000000000000000000001。
   或者 $1+2\times 10^a+2\times10^b+10^{a+b} ， 2+10^a+10^b+2\times 10^{a+b}$, 其中$b\gt a+1, a\gt 1, b\ne 2a$，如10002000000000000000020001和200000000000010010000000000002。

016:A058417
[26]77470059130002034719700749^2=6001610061606011616611060006010661000616100111161001
[31]1269252181664724031960616588454^2=1611001100660661616100110660666016660116006106161001606110116
    其无穷模式有$1+3\times 10^a + 10^{2a}, 1+8\times 10^a+10^{2a}, a\ge 2$. 如100000000000030000000000001和100000000000080000000000001。
      以及$4+127\times 10^{a} + 4\times 10^{2a}, a\ge 5$，如400000000001270000000000004。

018:A058421
[28]2981276371121751737986262751^2=8888008801008880800188080010010188818118011188010088001
   其无穷模式有$1+9\times 10^a, 9+10^a, a\ge 2$ 以及$1+4\times 10^a +10^{2a}, a\ge 2$ 还有$1+9\times 10^a+10^{2a+1}, a\ge 2$，如
      10000000000000000000000009，90000000000000000000000001和100000000000040000000000001，10000000000009000000000001。

019:A058473
[27]100990098979999970099500001^2=10199000091990191001091091099001091999900190199000001

024:A058423
[24]205524700326856587391168^2=42240402444444204240022400420200244000244404224
[27]634050802727999251005000002^2=402020420440020222440222024020044204422022004020000004
   其无穷模式有$2+6\times 10^a+2\times10^{2a}, a\ge 2$，如200000000000060000000000002。

025:A058425
[24]447241797269721007814765^2=200025225225050225520202505522022522200552005225
[30]141422082876067219949805050005^2=20000205525005225202000505202222520222202205205000550500025
另外还有两组疑似规律数据，但是每组各自只有两个数，不确定是否无穷模式
[22]5000000500000500254955^2=25000005000005252550050255205255020002052025
[27]500000000000500000500254955^2=250000000000500000500255205000500255205255020002052025
[22]5000005004997549999955^2=25000050050000550000025505552050220500002025
[27]5000000500499975499999955^2=25000005005000005500225025500555205002205000002025

无穷模式比较复杂，其中第一类仅由05构成，和012:中的第一类模式类似，我们可以将它写成$\sum_{h=0}^k 5\times 10^{a_h}$,其中$1=a_0\lt a_1\lt\cdots\lt a_k$.
  平方展开后各项系数分别为25和50，其中50中的10可以转移到指数，变成要求所有的$2a_h,2a_h+1, a_{h_1}+a_{h_2}+1$互不相同，或者可以改为要求所有的
  $2a_h-1,2a_h,a_{h_1}+a_{h_2}$互不相同。如5000000000000000000000500505。 第一类计算机验证全部符合模式。

其中第二类由一个2和5个5和若干0构成，其中分布现在看到规律总是2前面两个5后面三个5或2前面三个5后面两个5.
我们可以假设这个数为X=5+5*10^a+5*10^b+5*10^c+5*10^d+2*10^h, 看到一类解是平方以后要求4*10^(2h)+5*10^(c+1)+5*10^(a+b+1)能够合并成5*10^(2h)
更一般情况就是要求2h-1和{a+1,b+1,c+1,d+1,a+b+1,a+c+1,a+d+1,b+c+1,b+d+1,c+d+1,0,2*a,2*b,2*c,2*d}中正好两项相同, 然后其它各项指数互不相同, 并且它们和{1,2*a+1,2*b+1,2*c+1,2*d+1}也互不相同。如50050500000002000000000505。如果我们用x表示10，可以将这个数字的平方写成
(5*x^25+5*x^22+5*x^20+2*x^12+5*x^2+5)^2=25*x^50 + 50*x^47 + 50*x^45 + 25*x^44 + 50*x^42 + 25*x^40 + 20*x^37 + 20*x^34 + 20*x^32 + 50*x^27 + 50*x^25 + 54*x^24 + 100*x^22 + 50*x^20 + 20*x^14 + 20*x^12 + 25*x^4 + 50*x^2 + 25，
其中绿色部分中4*x^24为(2*x^12)^2产生的结果，含4，正好被后面的100*x^22产生的结果叠加后将4变成5。
但是实际计算结果表明除了上面列出情况，还有一些不在这个范围，比如
    500000000050205050000000005005
我们如果将上面数字中用x代表10，其平方可以写成(5*x^29+5*x^19+2*x^17+5*x^15+5*x^13+5*x^3+5)^2=25*x^58 + 50*x^48 + 20*x^46 + 50*x^44 + 50*x^42 + 25*x^38 + 20*x^36 + 54*x^34 + 120*x^32 + 45*x^30 + 50*x^29 + 50*x^28 + 25*x^26 + 50*x^22 + 20*x^20 + 50*x^19 + 50*x^18 + 20*x^17 + 50*x^16 + 50*x^15 + 50*x^13 + 25*x^6 + 50*x^3 + 25。
    可以看出绿色部分的数字4对应特殊部分(2*x^17)^2, 这部分可以通过两个50*x^32产生的100*x^32叠加处理掉。但是代码里面还会产生额外的4（红色部分）为其它部分叠加的结果，又被后面一项50*x^29叠加处理掉了，这中类型前面统一的模式就处理不了了。所以第二类这部分数据特征特别复杂, 比如搜索26到30位的这类数据共217个，其中有35个不符合上面找出的规律，其它都符合。而这35种中分析了前面几种，都是额外有意向45*x^(2k)后面跟着50*x^(2k-1), 而显然其中45*x^(2k)应该来自一个(5*x^k)^2和一个2*5x^a*2x^b的叠加，比如:

1. 
   
2. ? (+5*x^29+5*x^19+5*x^15+5*x^13+5*x^3+5*x^0+2*x^17)^2
   
3. %3 = 25*x^58 + 50*x^48 + 20*x^46 + 50*x^44 + 50*x^42 + 25*x^38 + 20*x^36 + 54*x^34 + 120*x^32 + 45*x^30 + 50*x^29 + 50*x^28 + 25*x^26 + 50*x^22 + 20*x^20 + 50*x^19 + 50*x^18 + 20*x^17 + 50*x^16 + 50*x^15 + 50*x^13 + 25*x^6 + 50*x^3 + 25
   
4. ? (+5*x^26+5*x^17+5*x^9+5*x^4+5*x^0+2*x^14)^2
   
5. %4 = 25*x^52 + 50*x^43 + 20*x^40 + 50*x^35 + 25*x^34 + 20*x^31 + 50*x^30 + 4*x^28 + 100*x^26 + 20*x^23 + 50*x^21 + 45*x^18 + 50*x^17 + 20*x^14 + 50*x^13 + 50*x^9 + 25*x^8 + 50*x^4 + 25
   
6. ? (+5*x^27+5*x^18+5*x^14+5*x^12+5*x^3+5*x^0+2*x^16)^2
   
7. %5 = 25*x^54 + 50*x^45 + 20*x^43 + 50*x^41 + 50*x^39 + 25*x^36 + 20*x^34 + 54*x^32 + 120*x^30 + 45*x^28 + 50*x^27 + 50*x^26 + 25*x^24 + 50*x^21 + 20*x^19 + 50*x^18 + 50*x^17 + 20*x^16 + 50*x^15 + 50*x^14 + 50*x^12 + 25*x^6 + 50*x^3 + 25
   
8. ? (+5*x^27+5*x^19+5*x^16+5*x^14+5*x^2+5*x^0+2*x^9)^2
   
9. %6 = 25*x^54 + 50*x^46 + 50*x^43 + 50*x^41 + 25*x^38 + 20*x^36 + 50*x^35 + 50*x^33 + 25*x^32 + 50*x^30 + 50*x^29 + 45*x^28 + 50*x^27 + 20*x^25 + 20*x^23 + 50*x^21 + 50*x^19 + 54*x^18 + 100*x^16 + 50*x^14 + 20*x^11 + 20*x^9 + 25*x^4 + 50*x^2 + 25
   
10. ? (+5*x^25+5*x^17+5*x^13+5*x^11+5*x^3+5*x^0+2*x^15)^2
    
11. %7 = 25*x^50 + 50*x^42 + 20*x^40 + 50*x^38 + 50*x^36 + 25*x^34 + 20*x^32 + 54*x^30 + 120*x^28 + 45*x^26 + 50*x^25 + 50*x^24 + 25*x^22 + 50*x^20 + 20*x^18 + 50*x^17 + 50*x^16 + 20*x^15 + 50*x^14 + 50*x^13 + 50*x^11 + 25*x^6 + 50*x^3 + 25

复制代码

其中第三类15+85*10^n+1500*10^(2n),其中$n\ge4$, 如15000000000008500000000015。
其中第四类好像$5*10^{a_0}-5\sum_{h=1}^k 10^{a_h}$,其中$a_0 \gt a_1 \gt a_2 ...\gt a_k=0$, 固体模式待确定，如44949994994999949999999995。
其中第五类和第四类相反，同样一些10的幂的5倍进行组合，但是中间有一项系数为负，其余为正，可以写成$5\sum_{h=1}^k 10^{a_h}-5*10^{a_0}$
    第四第五类所有产生的指数$a_h+a_0$需要能够等于某个$a_{h_1}+a_{h_2}, h_i>0$或某个$2a_h-1$(包含$2a_0-1$), 使得出现的负参数被抵消，而余下的那些指数
包含$a_{h_1}+a_{h_2}+1, 2a_h,2a_h+1$要互不相同。 数组合模式待验证，如50000005004999999999955050005。

045:A058435
[26]21214250022106461574572502^2=450044404000444005405445044455050544404404054540004
[28]2108436491907081488939581538^2=4445504440405440505004450045555054500055550554550445444

046:A058437
无穷模式有$8+254\times 10^a+8\times 10^{2a}, a\ge 5$，如800000000002540000000000008。

048:A058441
[24]942575429577943326987798^2=888448440444044400080440444440408800048040888804
[29]20000019999991020020002000002^2=400000800000040800440880880800040844480044084080008000004
[31]2000002199999910200200002000002^2=4000008800004480800404888888080804088480800440804800008000004
和012:等价，将012:模式每个数字乘以2即可，对应无穷模式也相同，就不再列出

049：A058443
无穷模式有$10^a-3, a\ge 1$ 和$2+10^a+2\times 10^{2a}, a\ge 1$，如99999999999999999999999997和200000000000010000000000002。

067:A058499
[32]82259751809132500370470387225026^2=6766666767700077667660006767777700777007007700660707660760700676

069:A058451
[29]24691314243454114014126412353^2=609660999069000006699096996606066090996096009966990996609

089:A058455
[27]299831600904572582192518303^2=89898988900998890088080098089989880890999988989999809

124:A053880
[28]1114110597927523626433041668^2=1241242424414424212214142144114212224412421422224222224
无穷模式$\frac{10^n-1}3+5， n\ge 2$，如33333333333333333333333338

125:A031153
[28]4638162516046117503822620335^2=21512551525255251211125255525551555121211151225555512225
无穷模式$\frac{10^n-1}3+2，12\times 10^n+\frac{10^n-1}3+2, n\ge 2$ 以及$\frac{100000}3(10^n-1)+204485, n\ge 5$，如
    33333333333333333333333335，12333333333333333333333335和33333333333333333333504485。

126:A053882
[26]51595698572871617009432954^2=2662116111222626216162621266666216222222216621166116

128:A053886
无穷模式$\frac{10^n-1}3+26, n\ge 3$，如33333333333333333333333359

129:A053888
[27]145303131149776986249167839^2=21112999921929291129929211912291229929191119991929921

134:A053890
[30]177324875114669443080086908188^2=31444111334433114334141133143444444313434111431113141443344

136:A053892
[29]11537606482136410218512760694^2=133116363336636111166666336113333136136363666113311361636
[32]40759430336194731508570147356619^2=1661331161331111363611616136663163363361366331311163633163111161

146:A027677
[30]105567345643273687982611367608^2=11144464466166416111166414141141166144146161144464111641664

148:A053900
[28]2209483759119790145920022988^2=4881818481814118844811411488844844184118148818448448144

156:A053902
无穷模式$\frac{10^n-1}3+1, n\ge 1$ ，如33333333333333333333334。

169:A053910
[30]248216864092061020657513399437^2=61611611619696691696969619616966119999999161919199911916969

235:A053918
[27]576387476638096486959455635^2=332222523225232223533222222253253255253352335533253225

236:A058457
[27]251462176552105392823457806^2=63233226236322223226263332266636366232262662262333636

245:A031154
[27]212706944938912242495946332^2=45244244425245444452555552444225545225555452224254224
无穷模式$\frac 2 3(10^n-1)-1, \frac{2000}3(10^n-1)+515 , 2\times 10^n + \frac{10}3(10^n-1) +5, n\ge 1$，如
   66666666666666666666666665， 66666666666666666666666515，23333333333333333333333335。

246:A053922
[27]47144739098275455895604568^2=2222626424644462446266642442624422642664422222466624
[27]163176169897520398456349838^2=26626462422424442244464226222466224666246222642626244
[30]162062538622046218465618335432^2=26264266424622222222622644266266266222662426642466466626624
无穷模式$\frac{2}3(10^n-1)+2, n\ge 1$，如66666666666666666666666668。

248:A027679
[27]149140498954591218312271662^2=22242888428424424282282224442842448448442222888242244
[29]20598117118436403877526792022^2=424282428824822822284282828848288484482824448422442848484

256:A030486
[26]81401637345465395512991484^2=6626226562522666562566262626266252566552622656522256 (26位日本网站已提供)
[29]14920674457351323857264196585^2=222626526262256222655556652225555252265566656525525662225
[29]23508012597117321085533117075^2=552626656266226655522226225556662256522626266565656555625

257:A030487
[26]52174924557278712520943915^2=2722222752557725255755757775775772222257522575527225
无穷模式$10^n+\frac{2}3(10^n-1)-1, n\ge 1$, 如166666666666666666665。

259:A053928
[26]30484348812550551609088485^2=929295522525252225925225599299529559999252559595225
[26]76975943837016723668817565^2=5925295929599552922952299222959292529595925252529225

269:A053930
[26]26395073915340646948470264^2=696699926996296229992699669262629222696929692229696

279:A053932
[27]850281851974525726895170673^2=722979227797229279772792797979272222799797729799272929

289:A053934
[26]17320185602062360469701767^2=299988829289888292222928892882898892999989922922289

347:A058463
[27]271006150065722262703289312^2=73444333373444774773333473377377773344743344373433344

348:A053940
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无穷模式$\frac{2}3(10^n-1)+1, n\ge 1$，如66666666666666666666666667

689:A053974
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