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[提问] x^3+y^4=z^5 的正整数解

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发表于 2023-1-16 14:20:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
求`x^3+y^4=z^5`的正整数解

第1组解:  `256^3+64^4=32^5`

$(256*2^{\ 20n}\ )^3+(64*2^{\ 15n}\ )^4=(32*2^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第2组解:  `9375^3+625^4=250^5`

$(9375*5^{\ 20n}\ )^3+(625*5^{\ 15n}\ )^4=(250*5^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第3组解:  还会有吗?我的电脑算到c=1000就动不了了。

各位网友!还会有吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-19 19:08:17 | 显示全部楼层
指数超过6的:

              方程        最小解
第41组:2+2=6, (35, 120, 5)
第42组:2+3=6, (3-2, 1)
第43组:2+4=6, (75, 10, 5)
第44组:2+5=6, (15552, 72, 36)
第45组:2+6=2, (6, 2, 10)
第46组:2+6=3, (3-1, 2)
第47组:2+6=4, (63, 6, 15)
第48组:2+6=5, (4096, 16, 32)
第49组:2+6=6, (0)
第50组:3+4=6, (-18, 3, 9)
第51组:3+5=6, (15^8, 15^5, 2*15^4)
第52组:3+6=2, (2, 1, 3)
第53组:3+6=4, (18, 3, 9)
第54组:3+6=5, (256, 16, 32)
第55组:4+5=6, (15^6, 15^5, 2*15^4)
第56组:4+6=2, (6, 3, 45)
第57组:4+6=3, (9,-3, 18)
第58组:4+6=5, (64, 16, 32)
第59组:4+6=6, (0)
第60组:5+5=6, (2, 2, 2)
第61组:5+6=2, (8, 4, 192)
第62组:5+6=3, (7^5, 7^4, 2*7^8)
第63组:5+6=4, (15^5, 15^4, 2*15^6)
第64组:5+6=5, (31, 31, 62)
第65组:5+6=6, (63^5, 63^4, 2*63^4)
第66组:6+6=2, (0)
第67组:6+6=4, (0)
第68组:6+6=5, (16, 16, 32)
第69组:2+2=7, (8, 8, 2)
第70组:2+3=7, (8, 4, 2)
第71组:2+4=7, (1024, 32, 8)
第72组:2+5=7, (1024, 16, 8)
第73组:2+6=7, (8, 2, 2)
第74组:2+7=2, (4, 2, 12)
第75组:2+7=3, (40, 2, 12)
第76组:2+7=4, (1792, 8, 48)
第77组:2+7=5, (128, 4, 8)
第78组:2+7=6, (23625, 15, 30)
第79组:2+7=7, (260144641, 127, 254)
第80组:3+3=7, (4, 4, 2)
第81组:3+4=7, (162, 27, 9)
第82组:3+5=7, (2^30, 2^18, 2^13)
第83组:3+6=7, (4, 2, 2)
第84组:3+7=2, (2, 1, 2)
第85组:3+7=3, (49, 7, 98)
第86组:3+7=4, (2^21, 2^9, 2^16)
第87组:3+7=5, (2^28, 2^12, 2^17)
第88组:3+7=6, (4107, 37, 74)
第89组:3+7=7, (127^5, 127^2, 2*127^2)
第90组:4+4=7, (32, 32, 8)
第91组:4+5=7, (32, 16, 8)
第92组:4+6=7, (4096, 256, 128)
第93组:4+7=2, (2, 2, 12)
第94组:4+7=3, (2^14, 2^8, 2^19)
第95组:4+7=4, (759375, 3375, 1518750)
第96组:4+7=5, (2^21, 2^12, 2^17)
第97组:4+7=6, (63^12, 63^7, 2*63^8)
第98组:4+7=7, (127^2, 127, 2*127)
第99组:5+5=7, (16, 16, 8)
第100组:5+6=7, (2^18, 2^15, 2^13)
第101组:5+7=2, (128, 32, 2^18)
第102组:5+7=3, (128, 32, 2^12)
第103组:5+7=4, (128, 32, 2^9)
第104组:5+7=5, (31^4, 31^3, 2*31^4)
第105组:5+7=6, (128, 32, 64)
第106组:5+7=7, (127^3, 127^2, 2*127^2)
第107组:6+6=7, (2, 2, 2)
第108组:6+7=2, (3, 3, 54)
第109组:6+7=3, (7, 7, 98)
第110组:6+7=4, (15^8, 15^7, 2*15^12)
第111组:6+7=5, (2^14, 2^12, 2^17)
第112组:6+7=6, (63^8, 63^7, 2*63^8)
第113组:6+7=7, (127^6, 127^5, 2*127^5)
第114组:7+7=2, (2, 2, 16)
第115组:7+7=3, (4, 4, 32)
第116组:7+7=4, (2, 2, 4)
第117组:7+7=5, (4, 4, 8)
第118组:7+7=6, (32, 32, 64)

还有更小的解吗(手工算的,心里没底)?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 昨天 11:54 | 显示全部楼层
已知a,b,c,求x^a+y^b=z^c 的正整数解

记 a,b,c 3 数中最大数=n,可以有a(n)种组合。

a( n ):总数=无解+模糊+有解
a(02): 001= 000+ 000 +001
a(03): 004= 000+ 000 +004
a(04): 011= 002+ 000 +009
a(05): 021= 000+ 000 +021
a(06): 034= 010+ 009 +015
a(07): 050= 000+ 000 +050
a(08): 069= 010+ 012 +047
a(09): 091= 008+ 012 +071
a(10): 116= 018+ 036 +062
a(11): 144= 000+ 000 +144
a(12): 175= 026+ 066 +083
a(13): 209= 000+ 000 +209
a(14): 246= 026+ 078 +142
a(15): 286= 024+ 081 +181
a(16): 329= 026+ 090 +213
a(17): 375= 000+ 000 +375
a(18): 424= 042+ 174 +208
a(19): 476= 000+ 000 +476
a(20): 531= 042+ 192 +297
........

总数是这样一串数: 1, 4, 11, 21, 34, 50, 69, 91, 116, 144, 175, 209, 246, 286, 329, 375, 424, 476, 531, 589, 650, 714, 781, 851, 924,
1000, 1079, 1161, 1246, 1334, 1425, 1519, 1616, 1716, 1819, 1925, 2034, 2146, 2261, 2379, 2500, 2624, 2751, 2881, 3014, 3150, 3289,
3431, 3576, 3724, 3875, 4029, 4186, 4346, 4509, 4675, 4844, 5016, 5191, 5369, 5550, 5734, 5921, 6111, 6304, 6500, 6699, 6901, .......

无解是这样一串数: 0, 0, 2, 0, 10, 0, 10, 8, 18, 0, 26, 0, 26, 24, 26, 0, 42, 0, 42, 32, 42, 0, 58, 16, 50, 32, 58, 0, 82, 0, 58, 48, 66, 40,
90, 0, 74, 56, 90, 0, 114, 0, 90, 80, 90, 0, 122, 24, 114, 72, 106, 0, 138, 56, 122, 80, 114, 0, 170, 0, 122, 104, 122, 64, 178, 0, 138, 96,
178, 0, 186, 0, 146, 136, 154, 64, 210, 0, 186, 104, 162, 0, 234, 80, 170, 120, 186, 0, 258, 72, 186, 128, 186, 88, 250, 0, 218, 152, .....

模糊是这样一串数: 0, 0, 0, 0, 9, 0, 12, 12, 36, 0, 66, 0, 78, 81, 90, 0, 174, 0, 192, 165, 219, 0, 333, 99, 309, 210, 399, 0, 645, 0, 432,
405, 543, 375, 825, 0, 684, 567, 921, 0, 1272, 0, 984, 966, 1029, 0, 1497, 321, 1458, 981, 1395, 0, 1914, 855, 1761, 1224, 1662, 0, 2784,
0, 1884, 1791, 1926, 1164, 3171, 0, 2370, 1794, 3399, 0, 3507, 0, 2703, 2820, 2976, 1410, 4416, 0, 3900, 2283, 3357, 0, 5367, 1932, ....

有解是这样一串数: 1, 4, 9, 21, 15, 50, 47, 71, 62, 144, 83, 209, 142, 181, 213, 375, 208, 476, 297, 392, 389, 714, 390, 736, 565, 758,
622, 1161, 519, 1334, 935, 1066, 1007, 1301, 904, 1925, 1276, 1523, 1250, 2379, 1114, 2624, 1677, 1835, 1895, 3150, 1670, 3086, 2004,
2671, 2374, 4029, 2134, 3435, 2626, 3371, 3068, 5016, 2237, 5369, 3544, 3839, 3873, 4883, 2955, 6500, 4191, 5011, 3529, 7314, .......
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2023-1-18 09:46:22 | 显示全部楼层
谢谢 mathe!用6楼的方法可以解决大批的题目!
                方程              最小解
第01组:$x^2+y^2=z^2, (3,4,5)$
第02组:$x^2+y^2=z^3, (2,2,2)$
第03组:$x^2+y^2=z^4, (7,24,5)$
第04组:$x^2+y^2=z^5, (4,4,2)$
第05组:$x^2+y^3=z^2, (1,2,3)$
第06组:$x^2+y^3=z^3, (13,7,8)$
第07组:$x^2+y^3=z^4, (28,8,6)$
第08组:$x^2+y^3=z^5, (104,28,8)$
第09组:$x^2+y^4=z^2, (3,2,5)$
第10组:$x^2+y^4=z^3, (16,4,8)$
第11组:$x^2+y^4=z^4, (?)$
第12组:$x^2+y^4=z^5, (4,2,2)$
第13组:$x^2+y^5=z^2, (2,2,6)$
第14组:$x^2+y^5=z^3, (10,3,7)$
第15组:$x^2+y^5=z^4, (7,2,3)$
第16组:$x^2+y^5=z^5, (88,2,6)$
第17组:$x^3+y^3=z^2, (1,2,3)$
第18组:$x^3+y^3=z^3, (0)$
第19组:$x^3+y^3=z^4, (2,2,2)$
第20组:$x^3+y^3=z^5, (3,6,3)$
第21组:$x^3+y^4=z^2, (2,1,3)$
第22组:$x^3+y^4=z^3, (7,7,14)$
第23组:$x^3+y^4=z^4, (2000,100,300)$
第24组:$x^3+y^4=z^5, (256,64,32)$
第25组:$x^3+y^5=z^2, (2,1,3)$
第26组:$x^3+y^5=z^3, (91,13,104)$
第27组:$x^3+y^5=z^4, (32,8,16)$
第28组:$x^3+y^5=z^5, (961,31,62)$
第29组:$x^4+y^4=z^2, (0)$
第30组:$x^4+y^4=z^3, (4,4,8)$
第31组:$x^4+y^4=z^4, (0)$
第32组:$x^4+y^4=z^5, (2,2,2)$
第33组:$x^4+y^5=z^2, (3,3,18)$
第34组:$x^4+y^5=z^3, (32,16,128)$
第35组:$x^4+y^5=z^4, (15,15,30)$
第36组:$x^4+y^5=z^5, (?)$
第37组:$x^5+y^5=z^2, (2,2,8)$
第38组:$x^5+y^5=z^3, (2,2,4)$
第39组:$x^5+y^5=z^4, (8,8,16)$
第40组:$x^5+y^5=z^5, (0)$

第11组, 第36组有解吗?

找第1个解,我的电脑到`z=1000`就算不动了。
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发表于 2023-1-16 15:20:00 | 显示全部楼层
$(256*p^{20} )^3+(64*p^{15} )^4=(32*p^{12} )^5,p \in Z$

如果`(u,v,w)`是一解,则$(u*p^20,v*p^15,w*p^12)$也是,后者称为比例解,与之相对的是本原解。

现在,让我们求本原解吧。
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发表于 2023-1-16 15:57:23 | 显示全部楼层
$(u(w^5-u^3)^5)^3+((w^5-u^3)^4)^4=(w (w^5-u^3)^3)^5$
比如
w=2,u=1,得到
$28629151^3+923521^4=59582^5$
类似还可以有
$((w^5-v^4)^7)^3+(v*(w^5-v^4)^5)^4=(w*(w^5-v^4)^4)^5$

评分

参与人数 2威望 +16 金币 +16 贡献 +16 经验 +16 鲜花 +16 收起 理由
王守恩 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 这些还都是本原解!!!
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 mathe怎么推导出来的呢?

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发表于 2023-1-16 16:10:20 | 显示全部楼层
$256^3+64^4=32^5$
$209952^3+11664^4=1944^5$
$268912^3+19208^4=2744^5$
$839808^3+23328^4=3888^5$
$13176688^3+134456^4=19208^5$
$15925248^3+331776^4=27648^5$
$79626240^3+331776^4=55296^5$
$86093442^3+531441^4=59049^5$
$28629151^3+923521^4=59582^5$
$143327232^3+995328^4=82944^5$
$400000000^3+4000000^4=200000^5$
$1660753125^3+24603750^4=820125^5$
$962391456^3+12338352^4=474552^5$
$268435456^3+2097152^4=131072^5$
$3073907232^3+25874640^4=862488^5$
$3110400000^3+25920000^4=864000^5$
$918540000^3+2916000^4=243000^5$
$1578460851^3+8696754^4=395307^5$
$6975757441^3+48275138^4=1419857^5$
$5248800000^3+29160000^4=972000^5$
$3339553536^3+12649824^4=574992^5$
$6400000000^3+16000000^4=800000^5$
$12150000000^3+40500000^4=1350000^5$
$9830400000^3+20480000^4=1024000^5$

评分

参与人数 1威望 +9 金币 +9 贡献 +9 经验 +9 鲜花 +9 收起 理由
王守恩 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 哇塞!吓着宝宝了!

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发表于 2023-1-17 00:18:51 | 显示全部楼层
$x=u^8,z=u^5,y=u^6(u-1)^{1/4}$

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参与人数 1威望 +9 金币 +9 贡献 +9 经验 +9 鲜花 +9 收起 理由
王守恩 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 很给力!

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发表于 2023-1-17 09:48:19 | 显示全部楼层
对于任意个`x,y,z`共享的素因子`p`
假设`x`中`p`的次数为`a`, `y`中`p`的次数为`b`,`z`中`p`的次数为c
那么由于$x^3+y^4=z^5$,我们容易得出
$3a=4b, 3a=5c,4b=5c$三式中必然有一个成立。而且对于本原解,三个等式只能成立一个。
于是我们可以假设
$x=m^4 n^5 r^a x_0, y=m^3 n^b r^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
其中$m,n,r,x_0,y_0,z_0$两两互素,而且$5c>12, 4b>15, 3a>20$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-12}z_0^5$
特别的取$n=m=x_0=1$,然后,$3a-20=1$等就可以得到3#中三种构造解

另外由于$5c-12$无法达到1,限制了很多构造的可能,
我们还可以选择
$x=m^8 n^5 r^a x_0, y=m^6 n^br^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-24}z_0^5$
从而$5c-24$也可以为1,获得更多的构造选择,比如我们限定$a=7,b=4,c=5$得到方程
$r x_0^3+n y_0^4 =m z_0^5$,然后可以从此方程出发仅选择$x_0,y_0,z_0$之一为1,得到更多本原解

评分

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northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 茅塞顿开!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-18 10:51:40 | 显示全部楼层
$x^4+y^5=z^5$可以有解
$x=(z_0^5-y_0^5)^4$
$y=y_0 (z_0^5-y_0^5)^3$
$z=z_0 (z_0^5-y_0^5)^3$

$x^2+y^4=z^4$应该无平凡解但是还没有人能够证明
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-18 21:27:01 | 显示全部楼层
第03组: $x^2+y^3=z^6$

$(3t^3)^2+(-2t^2)^3=t^6$

点评

如何证明 Abs(x^a-y^b)=1只有唯一解 9-8,参考 A001597  发表于 2023-1-20 07:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-19 08:37:31 | 显示全部楼层
以下将方程$x^a+y^b=z^c$略去变元简记为 a+b=c
先解决“有解无解”的问题。
指数6~12的,下面都是无解的吗?

第01对:6+6=2, 2+6=6
第02对:6+6=4, 4+6=6
第03对: 10+10=2, 2+10=10
第04对:10+10=4, 4+10=10
第05对:10+10=6, 6+10=10
第06对:10+10=8
第07对:06+06=10, 6+10=06
第08对:10+10=04, 4+10=10
第09对:10+10=06, 6+10=10
第10对:10+10=08, 8+10=10
第11对:10+10=12, 10+12=10

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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