x^3+y^4=z^5 的正整数解

王守恩

30楼这样处理简单些。已知  n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

试证:  \(x^{n}+y^{n+1}+z^{n+2}=w^{n+3}\)  有 >1 的正整数解。

\(n=2k, \)

\(\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{(n + 2) (n + 3)}{2}}\big)^{n} +\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{(n^2+4n+2}{2}}\big)^{n+1} +\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{n(n + 3)}{2}}\big)^{n+2}=\big(t(t^{n + 3} - 2)^{\frac{n(n + 2)}{2}}\big)^{n+3}\)


\(n=2k+1, \)

\(\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{(n + 1)^2 (n + 3)}{2}}\big)^{n} +\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{n(n + 1) (n + 3)}{2}}\big)^{n+1} +\big((t^{n + 3} - 2)^{\frac{n^3+3n^2+n+1}{2}}\big)^{n+2}=\big(t(t^{n + 3} - 2)^{\frac{n(n + 1)^2}{2}}\big)^{n+3}\)

王守恩

加数指数是连续 5 个的，还有吗？会有吗？！

\((4^{020})^{1}+(4^{010})^{2}+(4^{005})^{04}+(4^{004})^{05}=(4^{07})^{03}\)
\((4^{045})^{2}+(4^{040})^{3}+(4^{018})^{05}+(4^{015})^{06}=(4^{13})^{07}\)
\((4^{084})^{3}+(4^{040})^{4}+(4^{042})^{06}+(4^{036})^{07}=(4^{23})^{11}\)
\((4^{140})^{4}+(4^{040})^{5}+(4^{080})^{07}+(4^{070})^{08}=(4^{33})^{17}\)
\((4^{216})^{5}+(4^{040})^{6}+(4^{135})^{08}+(4^{120})^{09}=(4^{47})^{23}\)
\((4^{315})^{6}+(4^{040})^{7}+(4^{210})^{09}+(4^{189})^{10}=(4^{61})^{31}\)
\((4^{440})^{7}+(4^{040})^{8}+(4^{308})^{10}+(4^{280})^{11}=(4^{79})^{39}\)
\((4^{594})^{8}+(4^{040})^{9}+(4^{432})^{11}+(4^{396})^{12}=(4^{97})^{49}\)

王守恩

任意(a)个加数,且指数(n)连续, 都可以有的。

  先立座灯塔，航行大海就有方向了。

\(\displaystyle\frac{1}{a^{\frac{n!+(n+a)!}{n!}}}\sum_{k=n+1}^{n+a}\bigg(a^{\frac{(n+a)!}{n!k}}\bigg)^{k}=1\)

a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......       n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

王守恩

\((4^{020})^{1}+(4^{010})^{2}+(4^{005})^{04}+(4^{004})^{05}=(4^{07})^{03}\)
\((4^{045})^{2}+(4^{030})^{3}+(4^{018})^{05}+(4^{015})^{06}=(4^{13})^{07}\)
\((4^{084})^{3}+(4^{063})^{4}+(4^{042})^{06}+(4^{036})^{07}=(4^{23})^{11}\)
\((4^{140})^{4}+(4^{112})^{5}+(4^{080})^{07}+(4^{070})^{08}=(4^{33})^{17}\)
\((4^{216})^{5}+(4^{180})^{6}+(4^{135})^{08}+(4^{120})^{09}=(4^{47})^{23}\)
\((4^{315})^{6}+(4^{270})^{7}+(4^{210})^{09}+(4^{189})^{10}=(4^{61})^{31}\)
\((4^{440})^{7}+(4^{385})^{8}+(4^{308})^{10}+(4^{280})^{11}=(4^{79})^{39}\)
\((4^{594})^{8}+(4^{528})^{9}+(4^{432})^{11}+(4^{396})^{12}=(4^{97})^{49}\)

\(\frac{\big(4^{(n^2-1)(n+2)/2}\big)^{n-2}+\big(4^{(n^2-4)(n+1)/2}\big)^{n-1}+\big(4^{(n^2-4)(n-1)/2}\big)^{n+1}+\big(4^{(n^2-1)(n-2)/2}\big)^{n+2}}{\big(4^{(2n^2-5-\cos(n\pi))/2}\big)^{(2n^2-5+\cos(n\pi))/4}}=1\)

王守恩

任意(a)个加数满足指数(n)连续, 都是可以有的。

  先立座灯塔，航行大海就有方向了。

\(\D\frac{1}{a^{\frac{n!+(n+a)!}{n!}}}\sum_{k=n+1}^{n+a}\bigg(a^{\frac{(n+a)!}{n!k}}\bigg)^{k}=1\)

a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......       n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

王守恩

各位网友！这2道题会有解吗？来个反例。谢谢！

1,  \(x^{s}+y^{t}=z^{s*t}\)  x>0,  y>0,  z>0,  s≥2,  t≥3,

2,  \(x^{s}+y^{s*t}=z^{t}\)  x>0,  y>1,  z>0,  s≥2,  t≥3,

王守恩

主帖目的很明确：我们无法证明"模糊数"无解，但我们可以让某些"模糊数"有解。

\(2^{04}+003^2=005^2\Rightarrow(003*2)^{04}+003^{06}=(003^2*005)^2\)
\(2^{06}+006^2=010^2\Rightarrow(006*2)^{06}+006^{08}=(006^3*010)^2\)
\(2^{08}+012^2=020^2\Rightarrow(012*2)^{08}+012^{10}=(012^4*020)^2\)
\(2^{10}+024^2=040^2\Rightarrow(024*2)^{10}+024^{12}=(024^5*040)^2\)
\(2^{12}+048^2=080^2\Rightarrow(048*2)^{12}+048^{14}=(048^6*080)^2\)
\(2^{14}+096^2=160^2\Rightarrow(096*2)^{14}+096^{16}=(096^7*160)^2\)
\(2^{16}+192^2=320^2\Rightarrow(192*2)^{16}+192^{18}=(192^8*320)^2\)
\(2^{18}+384^2=640^2\Rightarrow(384*2)^{18}+384^{20}=(384^9*640)^2\)

王守恩

主帖目的很明确：我们无法证明"模糊数"无解，但我们可以让某些"模糊数"变得有解。

57楼第1行:\(2^{4}+3^2=5^2\)
\((3^{1}*2)^{4}+3^{06}=(3^{02}*5)^2\)
\((3^{2}*2)^{4}+3^{10}=(3^{04}*5)^2\)
\((3^{3}*2)^{4}+3^{14}=(3^{06}*5)^2\)
\((3^{4}*2)^{4}+3^{18}=(3^{08}*5)^2\)
\((3^{5}*2)^{4}+3^{22}=(3^{10}*5)^2\)
\((3^{6}*2)^{4}+3^{26}=(3^{12}*5)^2\)
\((3^{7}*2)^{4}+3^{30}=(3^{14}*5)^2\)
\((3^{8}*2)^{4}+3^{34}=(3^{16}*5)^2\)
\((3^{9}*2)^{4}+3^{38}=(3^{18}*5)^2\)

57楼第2行:\(2^{6}+6^2=10^2\)
\((6^{1}*2)^{6}+6^{08}=(6^{03}*10)^2\)
\((6^{2}*2)^{6}+6^{14}=(6^{04}*10)^2\)
\((6^{3}*2)^{6}+6^{20}=(6^{06}*10)^2\)
\((6^{4}*2)^{6}+6^{26}=(6^{08}*10)^2\)
\((6^{5}*2)^{6}+6^{32}=(6^{10}*10)^2\)
\((6^{6}*2)^{6}+6^{38}=(6^{12}*10)^2\)
\((6^{7}*2)^{6}+6^{44}=(6^{14}*10)^2\)
\((6^{8}*2)^{6}+6^{50}=(6^{16}*10)^2\)
\((6^{9}*2)^{6}+6^{56}=(6^{18}*10)^2\)

57楼第3行:\(2^{8}+12^2=20^2\)
\((12^{1}*2)^{8}+12^{10}=(12^{04}*20)^2\)
\((12^{2}*2)^{8}+12^{18}=(12^{08}*20)^2\)
\((12^{3}*2)^{8}+12^{26}=(12^{12}*20)^2\)
\((12^{4}*2)^{8}+12^{34}=(12^{16}*20)^2\)
\((12^{5}*2)^{8}+12^{42}=(12^{20}*20)^2\)
\((12^{6}*2)^{8}+12^{50}=(12^{24}*20)^2\)
\((12^{7}*2)^{8}+12^{58}=(12^{28}*20)^2\)
\((12^{8}*2)^{8}+12^{66}=(12^{32}*20)^2\)
\((12^{9}*2)^{8}+12^{74}=(12^{36}*20)^2\)

王守恩

都是勾股定理若得祸！

\(35^2+120^2=5^6\)
\((35*120^6)^2+120^{14}=(120^2*5)^6\)
\((35*120^6)^{44}+\big((35*120^6)^3*120\big)^{14}=\big((35*120^6)^7*120^2*5\big)^6\)
\(\big((35*120^6)^2\big)^{22}+\big((35*120^6)^3*120\big)^{14}=\big((35*120^6)^7*120^2*5\big)^6\)

\(3^2+2^4=5^2\)
两边同乘\(2^{42}3^{66}5^{154}\)
得\((2^33^25^7)^{22}+(2^53^35^{11})^{14}=(2^{11}3^75^{26})^{6}\)

\(2^4+3^2=5^2\)
两边同乘\(2^{84}3^{264}5^{154}\)
得\((2^43^{12}5^7)^{22}+(2^63^{19}5^{11})^{14}=(2^{14}3^{44}5^{26})^{6}\)

王守恩

  "模糊数"  6+9=4  可以有解的！！

\(1^6+2^3=3^2\)

\((2^4*3^3)^6+(2^3*3^2)^9=(2^6*3^5)^4\)

  "模糊数"  6+9=8  可以有解的！！

\(1^6+2^3=3^2\)

\((2^4*3^9)^6+(2^3*3^6)^9=(2^3*3^7)^8\)