x^3+y^4=z^5 的正整数解

王守恩

这36道("模糊"数组)题，我只能解17道，你能解第18道吗？！

第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,

王守恩

这81道题，好像一个解也没有！！！

第01组:02+06=15, 02+15=06, 06+15=02,
第02组:02+10=15, 02+15=10, 10+15=02,
第03组:02+12=15, 02+15=12, 12+15=02,
第04组:03+05=15, 03+15=05, 05+15=03,
第05组:03+06=15, 03+15=06, 06+15=03,
第06组:03+09=15, 03+15=09, 09+15=03,
第07组:03+10=15, 03+15=10, 10+15=03,
第08组:03+12=15, 03+15=12, 12+15=03,
第09组:04+06=15, 04+15=06, 06+15=04,
第10组:04+10=15, 04+15=10, 08+15=04,
第11组:04+12=15, 04+15=12, 12+15=04,
第12组:05+06=15, 05+15=06, 06+15=05,
第13组:05+09=15, 05+15=09, 09+15=05,
第14组:05+10=15, 05+15=10, 10+15=05,
第15组:05+12=15, 05+15=12, 12+15=05,
第16组:06+08=15, 06+15=08, 08+15=06,
第17组:06+09=15, 06+15=09, 09+15=06,
第18组:06+10=15, 06+15=10, 10+15=06,
第19组:06+12=15, 06+15=12, 12+15=06,
第20组:06+14=15, 06+15=14, 14+15=06,
第21组:08+10=15, 08+15=10, 10+15=08,
第22组:08+12=15, 08+15=12, 12+15=08,
第23组:09+10=15, 09+15=10, 10+15=09,
第24组:09+12=15, 09+15=12, 12+15=09,
第25组:10+12=15, 10+15=12, 12+15=10,
第26组:10+14=15, 10+15=14, 14+15=10,
第27组:12+14=15, 12+15=14, 14+15=12,

王守恩

这165道题，好像一个解也没有！！！

第01组:02+06=21, 02+21=06, 06+21=02,
第02组:02+12=21, 02+21=12, 12+21=02,
第03组:02+14=21, 02+21=14, 14+21=02,
第04组:02+18=21, 02+21=18, 18+21=02,
第05组:03+06=21, 03+21=06, 06+21=03,
第06组:03+07=21, 03+21=07, 07+21=03,
第07组:03+09=21, 03+21=09, 09+21=03,
第08组:03+12=21, 03+21=12, 12+21=03,
第09组:03+14=21, 03+21=14, 14+21=03,
第10组:03+15=21, 03+21=15, 15+21=03,
第11组:03+18=21, 03+21=18, 18+21=03,
第12组:04+06=21, 04+21=06, 06+21=04,
第13组:04+12=21, 04+21=12, 12+21=04,
第14组:04+14=21, 04+21=14, 14+21=04,
第15组:04+18=21, 04+21=18, 18+21=04,
第16组:05+15=21, 05+21=15, 15+21=05,
第17组:06+07=21, 06+21=07, 07+21=06,
第18组:06+08=21, 06+21=08, 08+21=06,
第19组:06+09=21, 06+21=09, 09+21=06,
第20组:06+10=21, 06+21=10, 10+21=06,
第21组:06+12=21, 06+21=12, 12+21=06,
第22组:06+14=21, 06+21=14, 14+21=06,
第23组:06+15=21, 06+21=15, 15+21=06,
第24组:06+16=21, 06+21=16, 16+21=06,
第25组:06+18=21, 06+21=18, 18+21=06,
第26组:06+20=21, 06+21=20, 20+21=06,
第27组:07+09=21, 07+21=09, 09+21=07,
第28组:07+12=21, 07+21=12, 12+21=07,
第29组:07+14=21, 07+21=14, 14+21=07,
第30组:07+15=21, 07+21=15, 15+21=07,
第31组:07+18=21, 07+21=18, 18+21=07,
第32组:08+12=21, 08+21=12, 12+21=08,
第33组:08+14=21, 08+21=14, 14+21=08,
第34组:08+18=21, 08+21=18, 18+21=08,
第35组:09+12=21, 09+21=12, 12+21=09,
第36组:09+14=21, 09+21=14, 14+21=09,
第37组:09+15=21, 09+21=15, 15+21=09,
第38组:09+18=21, 09+21=18, 18+21=09,
第39组:10+12=21, 10+21=12, 12+21=10,
第40组:10+14=21, 10+21=14, 14+21=10,
第41组:10+15=21, 10+21=15, 15+21=10,
第42组:10+18=21, 10+21=18, 18+21=10,
第43组:12+14=21, 12+21=14, 14+21=12,
第44组:12+15=21, 12+21=15, 15+21=12,
第45组:12+16=21, 12+21=16, 16+21=12,
第46组:12+18=21, 12+21=18, 18+21=12,
第47组:12+20=21, 12+21=20, 20+21=12,
第48组:14+15=21, 14+21=15, 15+21=14,
第49组:14+16=21, 14+21=16, 16+21=14,
第50组:14+18=21, 14+21=18, 18+21=14,
第51组:14+20=21, 14+21=20, 20+21=14,
第52组:15+18=21, 15+21=18, 18+21=15,
第53组:15+20=21, 15+21=20, 20+21=15,
第54组:16+18=21, 16+21=18, 18+21=16,
第55组:18+20=21, 18+21=20, 20+21=18,

王守恩

一般的"模糊数"都可以这样解，这方法可以改进吗？谢谢！

1. Table[Solve[{(a*a1 - x)/LCM[b, c] == bc, (b*b1 - y)/LCM[a, c] == ac,(c*c1 - z)/LCM[a, b] == ab, a > bc, b > ac, c > ab},
   
2. {a1,b1,c1,bc,ac,ab},PositiveIntegers]//First,{a,34,34},{b,38,38},{c,26,26},{x,4,4},{y,2,2},{z,2,2}]

复制代码

{{{{{{{a1 -> 189, b1 -> 128, c1 -> 174, bc -> 13, ac -> 11, ab -> 7}}}}}}}

王守恩

这些"模糊数"，解会是怎样的一个规律？？？

第01组:02+03=06, 02+06=03, 03+06=02,
第02组:03+04=06, 02+06=04, 04+06=03,

第01组:03+06=08, 03+08=06, 06+08=03,

第01组:02+06=09, 02+09=06, 06+09=02,
第02组:04+06=09, 04+09=06, 06+09=04,
第03组:06+08=09, 06+09=08, 08+09=06,

第01组:03+06=10, 03+10=06, 06+10=03,
第02组:06+09=10, 06+10=09, 09+10=06,

第01组:02+03=12, 02+12=03, 03+12=02,
第02组:02+09=12, 02+12=09, 09+12=02,
第03组:03+04=12, 03+12=04, 04+12=03,
第04组:03+08=12, 03+12=08, 08+12=03,
第05组:03+10=12, 03+12=10, 10+12=03,
第06组:04+09=12, 04+12=09, 09+12=04,
第07组:08+09=12, 08+12=09, 09+12=08,
第08组:09+10=12, 09+12=10, 10+12=09,

第01组:03+06=14, 03+14=06, 06+14=03,
第02组:03+12=14, 03+14=12, 12+14=03,
第03组:06+09=14, 06+14=09, 09+14=06,
第04组:09+12=14, 09+14=12, 12+14=09,

第01组:02+06=15, 02+15=06, 06+15=02,
第02组:02+12=15, 02+15=12, 12+15=02,
第03组:04+06=15, 04+15=06, 06+15=04,
第04组:04+12=15, 04+15=12, 12+15=04,
第05组:06+08=15, 06+15=08, 08+15=06,
第06组:06+10=15, 06+15=10, 10+15=06,
第07组:06+14=15, 06+15=14, 14+15=06,
第08组:08+12=15, 08+15=12, 12+15=08,
第09组:10+12=15, 10+15=12, 12+15=10,
第10组:12+14=15, 12+15=14, 14+15=12,

第01组:03+06=16, 03+16=06, 06+16=03,
第02组:03+12=16, 03+16=12, 12+16=03,
第03组:06+09=16, 06+16=09, 09+16=06,
第04组:06+15=16, 06+16=15, 15+16=06,
第05组:09+12=16, 09+16=12, 12+16=09,
第06组:12+15=16, 12+16=15, 15+16=12,

第01组:02+06=18, 02+18=06, 06+18=02,
第02组:02+10=18, 02+18=10, 10+18=02,
第03组:02+12=18, 02+18=12, 12+18=02,
第04组:03+05=18, 03+18=05, 05+18=03,
第05组:03+06=18, 03+18=06, 06+18=03,
第06组:03+09=18, 03+18=09, 09+18=03,
第07组:03+10=18, 03+18=10, 10+18=03,
第08组:03+12=18, 03+18=12, 12+18=03,
第09组:04+06=18, 04+18=06, 06+18=04,
第10组:04+10=18, 04+18=10, 08+18=04,
第11组:04+12=18, 04+18=12, 12+18=04,
第12组:05+06=18, 05+18=06, 06+18=05,
第13组:05+09=18, 05+18=09, 09+18=05,
第14组:05+10=18, 05+18=10, 10+18=05,
第15组:05+12=18, 05+18=12, 12+18=05,
第16组:06+08=18, 06+18=08, 08+18=06,
第17组:06+09=18, 06+18=09, 09+18=06,
第18组:06+10=18, 06+18=10, 10+18=06,
！
第01组:03+06=20, 03+20=06, 06+20=03,
第02组:03+12=20, 03+20=12, 12+20=03,
第03组:03+18=20, 03+20=18, 18+20=03,
第04组:06+09=20, 06+20=09, 09+20=06,
第05组:06+15=20, 06+20=15, 15+20=06,
第06组:09+12=20, 09+20=12, 12+20=09,
第07组:09+18=20, 09+20=18, 18+20=09,
第08组:12+15=20, 12+20=15, 15+20=12,
第09组:15+18=20, 15+20=18, 18+20=15,

第01组:02+06=21, 02+21=06, 06+21=02,
第02组:02+12=21, 02+21=12, 12+21=02,
第03组:02+18=21, 02+21=18, 18+21=02,
第04组:04+06=21, 04+21=06, 06+21=04,
第05组:04+12=21, 04+21=12, 12+21=04,
第06组:04+18=21, 04+21=18, 18+21=04,
第07组:06+08=21, 06+21=08, 08+21=06,
第08组:06+10=21, 06+21=10, 10+21=06,
第09组:06+14=21, 06+21=14, 14+21=06,
第10组:06+16=21, 06+21=16, 16+21=06,
第11组:06+20=21, 06+21=20, 20+21=06,
第12组:08+06=21, 08+21=06, 06+21=08,
第13组:08+09=21, 08+21=09, 09+21=08,
第14组:10+10=21, 10+21=10, 10+21=10,
第15组:10+12=21, 10+21=12, 12+21=10,
第16组:12+14=21, 12+21=14, 14+21=12,
第17组:12+16=21, 12+21=16, 16+21=12,
第18组:14+18=21, 14+21=18, 18+21=14,
第19组:14+18=21, 14+21=18, 18+21=14,
第20组:16+18=21, 16+21=18, 18+21=16,
第21组:18+20=21, 18+21=20, 20+21=18,

第01组:03+06=22, 03+22=06, 06+22=03,
第02组:03+12=22, 03+22=12, 12+22=03,
第03组:03+18=22, 03+22=18, 18+22=03,
第04组:06+09=22, 06+22=09, 09+22=06,
第05组:06+15=22, 06+22=15, 15+22=06,
第06组:06+21=22, 06+22=21, 21+22=06,
第07组:09+12=22, 09+22=12, 12+22=09,
第08组:09+18=22, 09+22=18, 18+22=12,
第09组:12+15=22, 12+22=15, 15+22=12,
第10组:12+21=22, 12+22=21, 21+22=12,
第11组:15+18=22, 15+22=18, 18+22=15,
第12组:18+21=22, 18+22=21, 21+22=18,

是这样一串数：2,  1,3,2, 8,  4,10,6, 18,  9,21,12, 32,  16,36,20, 50,  25,55,30, 72,  36,78,42, 98,  49,105,56, 128,  64,142,72, 162,  81,171,90, 200,  100,210,110,

王守恩

1, 用1+1=2也可以
\(1^1+3^1=2^2\Rightarrow(1^{7}3^{8}2^{10})^3+(1^{4}3^{5}2^{6})^5=(1^{5}3^{6}2^{8})^4\)
\(4^1+5^1=3^2\Rightarrow(4^{7}5^{8}3^{10})^3+(4^{4}5^{5}3^{6})^5=(4^{5}5^{6}3^{8})^4\)
\(7^1+9^1=4^2\Rightarrow(7^{7}9^{8}4^{10})^3+(7^{4}9^{5}4^{6})^5=(7^{5}9^{6}4^{8})^4\)
.........
2, 用1+1=1也可以
\(1^1+1^1=2^1\Rightarrow(1^{8}1^{10}2^{12})^2+(1^{5}1^{7}2^{8})^3=(1^{3}1^{4}2^{5})^5\)
\(1^1+2^1=3^1\Rightarrow(1^{8}2^{10}3^{12})^2+(1^{5}2^{7}3^{8})^3=(1^{3}2^{4}3^{5})^5\)
\(2^1+3^1=5^1\Rightarrow(2^{8}3^{10}5^{12})^2+(2^{5}3^{7}5^{8})^3=(2^{3}3^{4}5^{5})^5\)
.........
3, 用0+1=1也可以
\(1^0+1^1=2^1\Rightarrow(1^{20}1^{8}2^{5})^3+(1^{12}1^{5}2^{3})^5=(1^{15}1^{6}2^{4})^4\)
\(2^0+3^1=4^1\Rightarrow(2^{20}3^{8}4^{5})^3+(2^{12}3^{5}4^{3})^5=(2^{15}3^{6}4^{4})^4\)
\(3^0+4^1=5^1\Rightarrow(3^{20}4^{8}5^{5})^3+(3^{12}4^{5}5^{3})^5=(3^{15}4^{6}5^{4})^4\)
.........
4, 用0+0=1也可以
\(1^0+1^0=2^1\Rightarrow(1^{4}1^{4}2^{3})^5+(1^{4}1^{4}2^{3})^5=(1^{5}1^{5}2^{4})^4\)
\(2^0+3^0=2^1\Rightarrow(2^{4}3^{4}2^{3})^5+(2^{4}3^{4}2^{3})^5=(2^{5}3^{5}2^{4})^4\)
\(5^0+6^0=2^1\Rightarrow(5^{4}5^{4}2^{3})^5+(5^{4}6^{4}2^{3})^5=(5^{5}6^{5}2^{4})^4\)
.........
.........

XIAOWEN

证明如下：

假设此方程有整数解(x,y,z)，且x、y、z互质，则根据费马小定理，有：

- x^3 ≡ x (mod 3)
- y^4 ≡ 1 (mod 3)
- z^5 ≡ z (mod 3)

因此，x^3+y^4 ≡ x+1 (mod 3)，而z^5 ≡ z (mod 3)。因为x、y、z互质，所以x+1与z必定有一个因子是3的倍数，另一个因子不是3的倍数。

若x+1是3的倍数，则根据小学数学知识，x必为3的倍数，令x=3m，则原方程变为：

(3m)^3 + y^4 = z^5

化简可得：

27m^3 + y^4 = z^5

此时，左边为3的倍数，而右边不是3的倍数，产生矛盾，所以假设不成立。

若z是3的倍数，则根据小学数学知识，y必为3的倍数，令y=3n，则原方程变为：

x^3 + (3n)^4 = (3k)^5

化简可得：

x^3 + 81n^4 = 243k^5

此时，左边为3的倍数，而右边也为3的倍数，但是左边只有一个因子是3，而右边有至少两个因子是3，产生矛盾，所以假设也不成立。

综上所述，方程x^3+y^4=z^5无正整数解。

王守恩

这帖子真还不能沉了！亲爱的网友！有类似的资料吗？谢谢！
1, 用1+1=2也可以
\(1^1+3^1=2^2\Rightarrow(1^{7}3^{8}2^{10})^3+(1^{4}3^{5}2^{6})^5=(1^{5}3^{6}2^{8})^4\)
\(4^1+5^1=3^2\Rightarrow(4^{7}5^{8}3^{10})^3+(4^{4}5^{5}3^{6})^5=(4^{5}5^{6}3^{8})^4\)
\(7^1+9^1=4^2\Rightarrow(7^{7}9^{8}4^{10})^3+(7^{4}9^{5}4^{6})^5=(7^{5}9^{6}4^{8})^4\)
.........
2, 用1+1=1也可以
\(1^1+1^1=2^1\Rightarrow(1^{8}1^{10}2^{12})^2+(1^{5}1^{7}2^{8})^3=(1^{3}1^{4}2^{5})^5\)
\(1^1+2^1=3^1\Rightarrow(1^{8}2^{10}3^{12})^2+(1^{5}2^{7}3^{8})^3=(1^{3}2^{4}3^{5})^5\)
\(2^1+3^1=5^1\Rightarrow(2^{8}3^{10}5^{12})^2+(2^{5}3^{7}5^{8})^3=(2^{3}3^{4}5^{5})^5\)
.........
3, 用0+1=1也可以
\(1^0+1^1=2^1\Rightarrow(1^{20}1^{8}2^{5})^3+(1^{12}1^{5}2^{3})^5=(1^{15}1^{6}2^{4})^4\)
\(2^0+3^1=4^1\Rightarrow(2^{20}3^{8}4^{5})^3+(2^{12}3^{5}4^{3})^5=(2^{15}3^{6}4^{4})^4\)
\(3^0+4^1=5^1\Rightarrow(3^{20}4^{8}5^{5})^3+(3^{12}4^{5}5^{3})^5=(3^{15}4^{6}5^{4})^4\)
.........
4, 用0+0=1也可以
\(1^0+1^0=2^1\Rightarrow(1^{4}1^{4}2^{3})^5+(1^{4}1^{4}2^{3})^5=(1^{5}1^{5}2^{4})^4\)
\(2^0+3^0=2^1\Rightarrow(2^{4}3^{4}2^{3})^5+(2^{4}3^{4}2^{3})^5=(2^{5}3^{5}2^{4})^4\)
\(5^0+6^0=2^1\Rightarrow(5^{4}5^{4}2^{3})^5+(5^{4}6^{4}2^{3})^5=(5^{5}6^{5}2^{4})^4\)
.........
.........

lihpb00

可能要用到椭圆函数