x^3+y^4=z^5 的正整数解

mathe

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王守恩

指数超过6的：

              方程        最小解
第41组：2+2=6, (35, 120, 5)
第42组：2+3=6, (3-2, 1)
第43组：2+4=6, (75, 10, 5)
第44组：2+5=6, (15552, 72, 36)
第45组：2+6=2, (6, 2, 10)
第46组：2+6=3, (3-1, 2)
第47组：2+6=4, (63, 6, 15)
第48组：2+6=5, (4096, 16, 32)
第49组：2+6=6, (0)
第50组：3+4=6, (-18, 3, 9)
第51组：3+5=6, (15^8, 15^5, 2*15^4)
第52组：3+6=2, (2, 1, 3)
第53组：3+6=4, (18, 3, 9)
第54组：3+6=5, (256, 16, 32)
第55组：4+5=6, (15^6, 15^5, 2*15^4)
第56组：4+6=2, (6, 3, 45)
第57组：4+6=3, (9,-3, 18)
第58组：4+6=5, (64, 16, 32)
第59组：4+6=6, (0)
第60组：5+5=6, (2, 2, 2)
第61组：5+6=2, (8, 4, 192)
第62组：5+6=3, (7^5, 7^4, 2*7^8)
第63组：5+6=4, (15^5, 15^4, 2*15^6)
第64组：5+6=5, (31, 31, 62)
第65组：5+6=6, (63^5, 63^4, 2*63^4)
第66组：6+6=2, (0)
第67组：6+6=4, (0)
第68组：6+6=5, (16, 16, 32)
第69组：2+2=7, (8, 8, 2)
第70组：2+3=7, (8, 4, 2)
第71组：2+4=7, (1024, 32, 8)
第72组：2+5=7, (1024, 16, 8)
第73组：2+6=7, (8, 2, 2)
第74组：2+7=2, (4, 2, 12)
第75组：2+7=3, (40, 2, 12)
第76组：2+7=4, (1792, 8, 48)
第77组：2+7=5, (128, 4, 8)
第78组：2+7=6, (23625, 15, 30)
第79组：2+7=7, (260144641, 127, 254)
第80组：3+3=7, (4, 4, 2)
第81组：3+4=7, (162, 27, 9)
第82组：3+5=7, (2^30, 2^18, 2^13)
第83组：3+6=7, (4, 2, 2)
第84组：3+7=2, (2, 1, 2)
第85组：3+7=3, (49, 7, 98)
第86组：3+7=4, (2^21, 2^9, 2^16)
第87组：3+7=5, (2^28, 2^12, 2^17)
第88组：3+7=6, (4107, 37, 74)
第89组：3+7=7, (127^5, 127^2, 2*127^2)
第90组：4+4=7, (32, 32, 8)
第91组：4+5=7, (32, 16, 8)
第92组：4+6=7, (4096, 256, 128)
第93组：4+7=2, (2, 2, 12)
第94组：4+7=3, (2^14, 2^8, 2^19)
第95组：4+7=4, (759375, 3375, 1518750)
第96组：4+7=5, (2^21, 2^12, 2^17)
第97组：4+7=6, (63^12, 63^7, 2*63^8)
第98组：4+7=7, (127^2, 127, 2*127)
第99组：5+5=7, (16, 16, 8)
第100组：5+6=7, (2^18, 2^15, 2^13)
第101组：5+7=2, (128, 32, 2^18)
第102组：5+7=3, (128, 32, 2^12)
第103组：5+7=4, (128, 32, 2^9)
第104组：5+7=5, (31^4, 31^3, 2*31^4)
第105组：5+7=6, (128, 32, 64)
第106组：5+7=7, (127^3, 127^2, 2*127^2)
第107组：6+6=7, (2, 2, 2)
第108组：6+7=2, (3, 3, 54)
第109组：6+7=3, (7, 7, 98)
第110组：6+7=4, (15^8, 15^7, 2*15^12)
第111组：6+7=5, (2^14, 2^12, 2^17)
第112组：6+7=6, (63^8, 63^7, 2*63^8)
第113组：6+7=7, (127^6, 127^5, 2*127^5)
第114组：7+7=2, (2, 2, 16)
第115组：7+7=3, (4, 4, 32)
第116组：7+7=4, (2, 2, 4)
第117组：7+7=5, (4, 4, 8)
第118组：7+7=6, (32, 32, 64)

还有更小的解吗(手工算的，心里没底)？

northwolves

$x^a+y^b=z^c$  比较简单的穷举，穷举前先判断一下是否存在$gcd(a,b,c)>2$

王守恩

“1”是数学殿堂里最活跃的数，

$1^n+2^3=3^2       n=1,2,3,4,5,6,......$

$n^6+(2n^2)^3=(3n^3)^2     n=1,2,3,4,5,6,......$

多么诱人的条件，$1+x^a=y^b$就没有第2组解了吗？

如何证明$x^a-y^b=1$只有唯一解$3^2-2^3=1$，参考 A001597

northwolves

求$x^a+y^b=z^c $的正整数解:
可取$q=ab*t=c*r-1$①
$p=1+m^b$②
则有 $p^q+m^bp^q=p^{q+1}$③
即$(p^{bt})^a+(mp^{at})^b=(p^r)^c$

或者$p=1+m^a$④
则有 $p^q+m^ap^q=p^{q+1}$⑤
即$(mp^{bt})^a+(p^{at})^b=(p^r)^c$

northwolves

比如解$x^3+y^5=z^7 $的正整数解:

可取$q=3*5*t=7*r-1$,即$t=6,r=13$

$p=1+2^5=33$

则有$(33^{30})^3+(2*33^{18})^5=(33^13)^7$

即$(33^{30},2*33^{18},33^13)$是一组满足条件的解

northwolves

同理，解$x^41+y^43=z^47$的正整数解:
令$t=45,r=1688$
$p=2$
可得到一组解：
$(2^{1935})^41+(2^{1845})^43=(2^{1688})^47$

或
$p=1+2^43=8796093022209$
可得到一组解：
$(8796093022209^{1935})^41+(2*8796093022209^{1845})^43=(8796093022209^{1688})^47$
或
$p=1+2^41=2199023255553$
可得到一组解：
$(2*2199023255553^{1935})^41+(2199023255553^{1845})^43=(2199023255553^{1688})^47$

王守恩

谢谢 northwolves！谢谢您的提醒！

1，已知a,b,c，求x^a+y^b=z^c 的正整数解

  目标明确：找第1个解(z是最小的)，通项公式基本成熟。

2，已知a,b,c，求x^a+y^b=z^c 的正整数解

  只要$gcd(a,b,c)=1$都有解，

        $gcd(a,b,c)=2$可能有解，亦可能无解

        $gcd(a,b,c)>2$就没有解.

mathe

两个次数为2的都有解

northwolves

对于$x^2+y^2=z^n$
由于$(s^2+t^2)^2=(s^2-t^2+2sti)(s^2-t^2-2sti)$
令$x+yi=(s^2-t^2+2sti)^n$,$x-yi=(s^2-t^2-2sti)^n$
则有$x^2+y^2=((s^2+t^2)^2)^n$

对于$x^2+y^n=z^2$
易知：
$(\frac{s^m-s^{n-m}}{2})^2+s^n=(\frac{s^m+s^{n-m}}{2})^2$