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楼主: 王守恩

[提问] x^3+y^4=z^5 的正整数解

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 楼主| 发表于 2023-1-22 15:25:24 | 显示全部楼层
还是可以找出一些反例来。

`2^3+1^6=3^2\\
2^6+2^9=24^2\\
18^3+3^6=9^4\\
18^3+3^6=3^8\\
63^2+6^6=15^4\\
7^9+7^{10}=686^3\\
18^4+3^{10}=405^2\\
1458^3+27^6=9^{10}`

`a,b,c` 可以是 3 个奇数吗?我的电脑动不了。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-23 18:00:25 | 显示全部楼层
\begin{gather*}
X^{n}+Y^{n+1}=Z^{n+2}\\
\\
\left\{
\begin{split}
X&=(c^2-b^2)^{(n+2)}b^{(n^2+2n-1)}c^{(n+1)^2}\\
Y&=(c^2-b^2)^{(n+1)}b^{(n-1)(n+2)}c^{n(n+1)}\\
Z&=(c^2-b^2)^{n}b^{(n-1)(n+1)}c^{(n^2+1)}
\end{split}
\right.
\end{gather*}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-23 19:46:58 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2023-1-23 18:00
\begin{gather*}
X^{n}+Y^{n+1}=Z^{n+2}\\
\\

谢谢 葡萄糖!谢谢宝贵的资料!

也可以用 6 楼的公式。\(X^{n}+Y^{n+1}=Z^{n+2}\)

\(\big((2^2-1)^2\big)^0+\big((2^2-1)^1\big)^1=\big(2*(2^2-1)^0\big)^2\)

\(\big((2^3-1)^3\big)^1+\big((2^3-1)^2\big)^2=\big(2*(2^3-1)^1\big)^3\)

\(\big((2^4-1)^4\big)^2+\big((2^4-1)^3\big)^3=\big(2*(2^4-1)^2\big)^4\)

\(\big((2^5-1)^5\big)^3+\big((2^5-1)^4\big)^4=\big(2*(2^5-1)^3\big)^5\)

\(\big((2^6-1)^6\big)^4+\big((2^6-1)^5\big)^5=\big(2*(2^6-1)^4\big)^6\)

\(\big((2^7-1)^7\big)^5+\big((2^7-1)^6\big)^6=\big(2*(2^7-1)^5\big)^7\)

\(\big((2^8-1)^8\big)^6+\big((2^8-1)^7\big)^7=\big(2*(2^8-1)^6\big)^8\)

\(\big((2^9-1)^9\big)^7+\big((2^9-1)^8\big)^8=\big(2*(2^9-1)^7\big)^9\)

补充内容 (2023-1-31 15:06):
2 可以换为 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2023-1-25 13:35:10 | 显示全部楼层
OEIS没有这串数,就不可以有这串数吗?

第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,
第02组:2+4=6, 2+6=4, 4+6=2,
第03组:3+4=6, 3+6=4, 4+6=3,
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8, 2+8=6, 6+8=2,
第03组:3+6=8, 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,
第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,

a(06)=03, 23,24,34,
a(07)=00,
a(08)=04, 24,26,36,46,
a(09)=04, 26,36,46,68,
a(10)=12, 24,25,45,26,36,46,56,28,48,58,68,69,
a(11)=00,
a(12)=22, 23,24,34,26,36,46,28,38,48,68,29,39,49,69,89,20,30,40,50,60,80,90
a(13)=00,
a(14)=26, 24,26,36,46,27,47,67,28,48,68,78,69,20,40,50,60,70,80,22,32,42,62,72,82,92,02,
a(15)=28, 35,36,46,56,68,39,49,59,69,20,30,40,50,60,80,90,22,32,42,52,62,82,92,02,64,84,04,24,
a(16)=25, 24,34,26,46,28,48,68,20,40,60,80,22,32,42,62,82,02,24,44,64,74,84,04,24,05,
a(17)=00,
a(18)=57, 23,24,34,26,36,46,28,38,48,68,29,39,49,69,89,20,30,40,60,80,90,22,32,42,62,82,92,02,24,34,44,64,74,84,94,04,24,25,35,45,55,65,85,95,05,25,45,26,36,4,66,86,96,06,26,46,56,
a(19)=00
a(20)=60, 24,25,45,26,36,46,56,28,48,58,68,20,40,50,60,80,90,22,32,42,52,62,82,02,24,44,54,64,84,04,24,25,45,55,65,85,95,05,25,45,26,46,56,66,86,06,26,46,28,38,48,58,68,88,98,08,28,48,58,68,
a(21)=
a(22)=
a(23)=00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-1-25 17:27:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-1-25 13:35
OEIS没有这串数,就不可以有这串数吗?

第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,

不知所云

点评

一向表述不清,待我有空进行管理  发表于 2023-1-29 14:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-26 08:29:48 | 显示全部楼层
已知a,b,c,求x^a+y^b=z^c 的正整数解

  "在a,b,c 3 个数中,只要能找出一对(1个数与另2个数的积)互素数的“都有解,好像是对的。

  "在a,b,c 3 个数中,不能找出一对(1个数与另2个数的的积)互素数的”不一定有解,

我们把这些“不一定有解的a,b,c 3 个数”先罗列出来:记 a,b,c 3 数中最大数=n,可以有a(n)种组合。

a(06)=03, 23,24,34,
a(07)=00,
a(08)=04, 24,26,36,46,
a(09)=04, 26,36,46,68,
a(10)=12, 24,25,45,26,36,46,56,28,48,58,68,69,
a(11)=00,
a(12)=22, 23,24,34,26,36,46,28,38,48,68,29,39,49,69,89,20,30,40,50,60,80,90
a(13)=00,
a(14)=26, 24,26,36,46,27,47,67,28,48,68,78,69,20,40,50,60,70,80,22,32,42,62,72,82,92,02,
a(15)=28, 35,36,46,56,68,39,49,59,69,20,30,40,50,60,80,90,22,32,42,52,62,82,92,02,64,84,04,24,
a(16)=25, 24,34,26,46,28,48,68,20,40,60,80,22,32,42,62,82,02,24,44,64,74,84,04,24,05,
a(17)=00,

OEIS没有这串数: 3, 0, 4, 4, 12, 0, 22, 0, 26, 28, 25, 0, ......



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2023-1-28 08:27:08 | 显示全部楼层
3, 0, 4, 4, 12, 0, 22, 0, 26, 27, 30, 0, 58, 0, 64, 55, 73, 0, 111, 33, 103, 70, 133, 0, 215, 0, 144, 135, 181, 125, 275, 0, 228, 189, 307, 0, 424,
0, 328, 322, 343, 0, 499, 107, 486, 327, 465, 0, 638, 285, 587, 408, 554, 0, 928, 0, 628, 597, 642, 388, 1057, 0, 790, 598, 1133, 0, 1169, 0, 901,
940, 992, 470, 1472, 0, 1300, 761, 1119, 0, 1789, 644, 1231, 950, 1413, 0, 2139, 629, 1456, 1087, 1477, 793, 2126, 0, 1867, 1397, 2074, ......

Table[\(\D\sum_{b=3}^{(n - 1)}\sum_{c=2}^{(b - 1)}\bigg\lfloor\frac{\lceil FractionalPart(GCD(n, b)^{-1})\rceil +\lceil FractionalPart(GCD(b, c)^{-1})\rceil +\lceil FractionalPart(GCD(c, n)^{-1})\rceil}{2}\bigg\rfloor\), {n, 6, 100}]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2023-1-28 18:12:46 | 显示全部楼层
已知a,b,c,求x^a+y^b=z^c 的正整数解

  我们把“肯定无解的”罗列出来:记 a,b,c 3 数中最大数=n,可以有a(n)种组合。

第1对:4+4=2, 2+4=4

第1对:6+6=2, 2+6=6
第2对:6+6=3, 3+6=6
第3对:6+6=4, 4+6=6

第1对:8+8=2, 2+8=8
第2对:8+8=4, 4+8=8
第3对:8+8=6, 6+8=8

第1对:9+9=3, 3+9=9
第2对:9+9=6, 6+9=9

第1对:10+10=2, 2+10=10
第2对:10+10=4, 4+10=10
第3对:10+10=5, 5+10=10
第4对:10+10=6, 6+10=10
第5对:10+10=8, 8+10=10

第1对:12+12=2, 2+12=12
第2对:12+12=3, 3+12=12
第3对:12+12=4, 4+12=12
第4对:12+12=6, 6+12=12
第5对:12+12=8, 8+12=12
第6组:12+12=9, 9+12=12
第7组:12+12=0, 0+12=12
......

得到这样一串数。

0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 5, 0, 7, 0, 7, 6, 7, 0, 11, 0, 11, 8, 11, 0, 15, 4, 13, 8, 15, 0, 21, 0, 15, 12, 17, 10, 23, 0, 19, 14, 23, 0,
29, 0, 23, 20, 23, 0, 31, 6, 29, 18, 27, 0, 35, 14, 31, 20, 29, 0, 43, 0, 31, 26, 31, 16, 45, 0, 35, 24, 45, 0, 47, 0, 37, 34, 39, 16,
53, 0, 47, 26, 41, 0, 59, 20, 43, 30, 47, 0, 65, 18, 47, 32, 47, 22, 63, 0, 55, 38, 59, 0, 69, 0, 55, 56, 53, 0, 71, 0, 69, 38, 63, ......

Table[\(\D\sum_{k=2}^{(n - 1)}\bigg\lceil FractionalPart(GCD(n, k)^{-1}\bigg\rceil\), {n, 1, 200}]

A016035        还没有这个通项公式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-1-29 11:54:10 | 显示全部楼层
已知a,b,c,求x^a+y^b=z^c 的正整数解

记 a,b,c 3 数中最大数=n,可以有a(n)种组合。

a( n ):总数=无解+模糊+有解
a(02): 001= 000+ 000 +001
a(03): 004= 000+ 000 +004
a(04): 011= 002+ 000 +009
a(05): 021= 000+ 000 +021
a(06): 034= 010+ 009 +015
a(07): 050= 000+ 000 +050
a(08): 069= 010+ 012 +047
a(09): 091= 008+ 012 +071
a(10): 116= 018+ 036 +062
a(11): 144= 000+ 000 +144
a(12): 175= 026+ 066 +083
a(13): 209= 000+ 000 +209
a(14): 246= 026+ 078 +142
a(15): 286= 024+ 081 +181
a(16): 329= 026+ 090 +213
a(17): 375= 000+ 000 +375
a(18): 424= 042+ 174 +208
a(19): 476= 000+ 000 +476
a(20): 531= 042+ 192 +297
........

总数是这样一串数: 1, 4, 11, 21, 34, 50, 69, 91, 116, 144, 175, 209, 246, 286, 329, 375, 424, 476, 531, 589, 650, 714, 781, 851, 924,
1000, 1079, 1161, 1246, 1334, 1425, 1519, 1616, 1716, 1819, 1925, 2034, 2146, 2261, 2379, 2500, 2624, 2751, 2881, 3014, 3150, 3289,
3431, 3576, 3724, 3875, 4029, 4186, 4346, 4509, 4675, 4844, 5016, 5191, 5369, 5550, 5734, 5921, 6111, 6304, 6500, 6699, 6901, .......

无解是这样一串数: 0, 0, 2, 0, 10, 0, 10, 8, 18, 0, 26, 0, 26, 24, 26, 0, 42, 0, 42, 32, 42, 0, 58, 16, 50, 32, 58, 0, 82, 0, 58, 48, 66, 40,
90, 0, 74, 56, 90, 0, 114, 0, 90, 80, 90, 0, 122, 24, 114, 72, 106, 0, 138, 56, 122, 80, 114, 0, 170, 0, 122, 104, 122, 64, 178, 0, 138, 96,
178, 0, 186, 0, 146, 136, 154, 64, 210, 0, 186, 104, 162, 0, 234, 80, 170, 120, 186, 0, 258, 72, 186, 128, 186, 88, 250, 0, 218, 152, .....

模糊是这样一串数: 0, 0, 0, 0, 9, 0, 12, 12, 36, 0, 66, 0, 78, 81, 90, 0, 174, 0, 192, 165, 219, 0, 333, 99, 309, 210, 399, 0, 645, 0, 432,
405, 543, 375, 825, 0, 684, 567, 921, 0, 1272, 0, 984, 966, 1029, 0, 1497, 321, 1458, 981, 1395, 0, 1914, 855, 1761, 1224, 1662, 0, 2784,
0, 1884, 1791, 1926, 1164, 3171, 0, 2370, 1794, 3399, 0, 3507, 0, 2703, 2820, 2976, 1410, 4416, 0, 3900, 2283, 3357, 0, 5367, 1932, ....

有解是这样一串数: 1, 4, 9, 21, 15, 50, 47, 71, 62, 144, 83, 209, 142, 181, 213, 375, 208, 476, 297, 392, 389, 714, 390, 736, 565, 758,
622, 1161, 519, 1334, 935, 1066, 1007, 1301, 904, 1925, 1276, 1523, 1250, 2379, 1114, 2624, 1677, 1835, 1895, 3150, 1670, 3086, 2004,
2671, 2374, 4029, 2134, 3435, 2626, 3371, 3068, 5016, 2237, 5369, 3544, 3839, 3873, 4883, 2955, 6500, 4191, 5011, 3529, 7314, .......
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 楼主| 发表于 2023-1-29 16:51:04 | 显示全部楼层
已知  n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

试证:  \(x^{n}+y^{n+1}+z^{n+2}=w^{n+3}\)  有 >1 的正整数解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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