x^3+y^4=z^5 的正整数解

王守恩

求`x^3+y^4=z^5`的正整数解

第1组解:  `256^3+64^4=32^5`

$(256*2^{\ 20n}\ )^3+(64*2^{\ 15n}\ )^4=(32*2^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第2组解:  `9375^3+625^4=250^5`

$(9375*5^{\ 20n}\ )^3+(625*5^{\ 15n}\ )^4=(250*5^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第3组解:  还会有吗？我的电脑算到c=1000就动不了了。

各位网友！还会有吗？

northwolves

$(256*p^{20} )^3+(64*p^{15} )^4=(32*p^{12} )^5,p \in Z$

如果`(u,v,w)`是一解，则$(u*p^20,v*p^15,w*p^12)$也是，后者称为比例解，与之相对的是本原解。

现在，让我们求本原解吧。

mathe

$(u(w^5-u^3)^5)^3+((w^5-u^3)^4)^4=(w (w^5-u^3)^3)^5$
比如
w=2,u=1,得到
$28629151^3+923521^4=59582^5$
类似还可以有
$((w^5-v^4)^7)^3+(v*(w^5-v^4)^5)^4=(w*(w^5-v^4)^4)^5$

northwolves

$256^3+64^4=32^5$
$209952^3+11664^4=1944^5$
$268912^3+19208^4=2744^5$
$839808^3+23328^4=3888^5$
$13176688^3+134456^4=19208^5$
$15925248^3+331776^4=27648^5$
$79626240^3+331776^4=55296^5$
$86093442^3+531441^4=59049^5$
$28629151^3+923521^4=59582^5$
$143327232^3+995328^4=82944^5$
$400000000^3+4000000^4=200000^5$
$1660753125^3+24603750^4=820125^5$
$962391456^3+12338352^4=474552^5$
$268435456^3+2097152^4=131072^5$
$3073907232^3+25874640^4=862488^5$
$3110400000^3+25920000^4=864000^5$
$918540000^3+2916000^4=243000^5$
$1578460851^3+8696754^4=395307^5$
$6975757441^3+48275138^4=1419857^5$
$5248800000^3+29160000^4=972000^5$
$3339553536^3+12649824^4=574992^5$
$6400000000^3+16000000^4=800000^5$
$12150000000^3+40500000^4=1350000^5$
$9830400000^3+20480000^4=1024000^5$

northwolves

$x=u^8,z=u^5,y=u^6(u-1)^{1/4}$

mathe

对于任意个`x,y,z`共享的素因子`p`
假设`x`中`p`的次数为`a`, `y`中`p`的次数为`b`,`z`中`p`的次数为c
那么由于$x^3+y^4=z^5$,我们容易得出
$3a=4b, 3a=5c,4b=5c$三式中必然有一个成立。而且对于本原解，三个等式只能成立一个。
于是我们可以假设
$x=m^4 n^5 r^a x_0, y=m^3 n^b r^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
其中$m,n,r,x_0,y_0,z_0$两两互素，而且$5c>12, 4b>15, 3a>20$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-12}z_0^5$
特别的取$n=m=x_0=1$,然后,$3a-20=1$等就可以得到3#中三种构造解

另外由于$5c-12$无法达到1，限制了很多构造的可能，
我们还可以选择
$x=m^8 n^5 r^a x_0, y=m^6 n^br^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-24}z_0^5$
从而$5c-24$也可以为1，获得更多的构造选择，比如我们限定$a=7,b=4,c=5$得到方程
$r x_0^3+n y_0^4 =m z_0^5$,然后可以从此方程出发仅选择$x_0,y_0,z_0$之一为1，得到更多本原解

王守恩

谢谢 mathe！用6楼的方法可以解决大批的题目！
                方程              最小解
第01组:$x^2+y^2=z^2, (3,4,5)$
第02组:$x^2+y^2=z^3, (2,2,2)$
第03组:$x^2+y^2=z^4, (7,24,5)$
第04组:$x^2+y^2=z^5, (4,4,2)$
第05组:$x^2+y^3=z^2, (1,2,3)$
第06组:$x^2+y^3=z^3, (13,7,8)$
第07组:$x^2+y^3=z^4, (28,8,6)$
第08组:$x^2+y^3=z^5, (104,28,8)$
第09组:$x^2+y^4=z^2, (3,2,5)$
第10组:$x^2+y^4=z^3, (16,4,8)$
第11组:$x^2+y^4=z^4, (?)$
第12组:$x^2+y^4=z^5, (4,2,2)$
第13组:$x^2+y^5=z^2, (2,2,6)$
第14组:$x^2+y^5=z^3, (10,3,7)$
第15组:$x^2+y^5=z^4, (7,2,3)$
第16组:$x^2+y^5=z^5, (88,2,6)$
第17组:$x^3+y^3=z^2, (1,2,3)$
第18组:$x^3+y^3=z^3, (0)$
第19组:$x^3+y^3=z^4, (2,2,2)$
第20组:$x^3+y^3=z^5, (3,6,3)$
第21组:$x^3+y^4=z^2, (2,1,3)$
第22组:$x^3+y^4=z^3, (7,7,14)$
第23组:$x^3+y^4=z^4, (2000,100,300)$
第24组:$x^3+y^4=z^5, (256,64,32)$
第25组:$x^3+y^5=z^2, (2,1,3)$
第26组:$x^3+y^5=z^3, (91,13,104)$
第27组:$x^3+y^5=z^4, (32,8,16)$
第28组:$x^3+y^5=z^5, (961,31,62)$
第29组:$x^4+y^4=z^2, (0)$
第30组:$x^4+y^4=z^3, (4,4,8)$
第31组:$x^4+y^4=z^4, (0)$
第32组:$x^4+y^4=z^5, (2,2,2)$
第33组:$x^4+y^5=z^2, (3,3,18)$
第34组:$x^4+y^5=z^3, (32,16,128)$
第35组:$x^4+y^5=z^4, (15,15,30)$
第36组:$x^4+y^5=z^5, (?)$
第37组:$x^5+y^5=z^2, (2,2,8)$
第38组:$x^5+y^5=z^3, (2,2,4)$
第39组:$x^5+y^5=z^4, (8,8,16)$
第40组:$x^5+y^5=z^5, (0)$

第11组, 第36组有解吗？

找第1个解，我的电脑到`z=1000`就算不动了。

mathe

$x^4+y^5=z^5$可以有解
$x=(z_0^5-y_0^5)^4$
$y=y_0 (z_0^5-y_0^5)^3$
$z=z_0 (z_0^5-y_0^5)^3$

$x^2+y^4=z^4$应该无平凡解但是还没有人能够证明

northwolves

第03组: $x^2+y^3=z^6$

$(3t^3)^2+(-2t^2)^3=t^6$

王守恩

以下将方程$x^a+y^b=z^c$略去变元简记为 a+b=c
先解决“有解无解”的问题。
指数6~12的，下面都是无解的吗？

第01对:6+6=2, 2+6=6
第02对:6+6=4, 4+6=6
第03对: 10+10=2, 2+10=10
第04对:10+10=4, 4+10=10
第05对:10+10=6, 6+10=10
第06对:10+10=8
第07对:06+06=10, 6+10=06
第08对:10+10=04, 4+10=10
第09对:10+10=06, 6+10=10
第10对:10+10=08, 8+10=10
第11对:10+10=12, 10+12=10