x^3+y^4=z^5 的正整数解

王守恩

求`x^3+y^4=z^5`的正整数解

第1组解:  `256^3+64^4=32^5`

$(256*2^{\ 20n}\ )^3+(64*2^{\ 15n}\ )^4=(32*2^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第2组解:  `9375^3+625^4=250^5`

$(9375*5^{\ 20n}\ )^3+(625*5^{\ 15n}\ )^4=(250*5^{\ 12n}\ )^5\ \ \ \ n=0,1,2,3,4,5,6,......$

第3组解:  还会有吗？我的电脑算到c=1000就动不了了。

各位网友！还会有吗？

王守恩

我们重点讨论3个指数均不相同时, 如何把"模糊"移到"有解'或"无解'去。

3个指数均不相同时, "模糊" 是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 0, 9, 0, 12, 12, 36, 0, 66, 0, 78, 81, 90, 0, 174, 0, 192, 165, 219, 0, 333, 99, 309, 210, 399, 0, 645, 0, 432, 405, 543, 375,
825, 0, 684, 567, 921, 0, 1272, 0, 984, 966, 1029, 0, 1497, 321, 1458, 981, 1395, 0, 1914, 855, 1761, 1224, 1662, 0, 2784, 0, 1884,
1791, 1926, 1164, 3171, 0, 2370, 1794, 3399, 0, 3507, 0, 2703, 2820, 2976, 1410, 4416, 0, 3900, 2283, 3357, 0, 5367, 1932, ..........

3个不同指数, 最大=2, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=3, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=4, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=5, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,
第02组:2+4=6, 2+6=4, 4+6=2,
第03组:3+4=6, 3+6=4, 4+6=3,

3个不同指数, 最大=7, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=8, "模糊"=12。
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8, 2+8=6, 6+8=2,
第03组:3+6=8, 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,

3个不同指数, 最大=9, "模糊"=12。
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,

3个不同指数, 最大=10, "模糊"=36。
第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,

3个不同指数, 最大=11, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=12, "模糊"=66。
第01组:2+03=12, 2+12=03, 03+12=2,
第02组:2+04=12, 2+12=04, 04+12=2,
第03组:2+06=12, 2+12=06, 06+12=2,
第04组:2+08=12, 2+12=08, 08+12=2,
第05组:2+09=12, 2+12=09, 09+12=2,
第06组:2+10=12, 2+12=10, 10+12=2,
第07组:3+04=12, 3+12=04, 04+12=3,
第08组:3+06=12, 3+12=06, 06+12=3,
第09组:3+08=12, 3+12=08, 08+12=3,
第10组:3+09=12, 3+12=09, 09+12=3,
第11组:3+10=12, 3+12=10, 10+12=3,
第12组:4+06=12, 4+12=06, 06+12=4,
第13组:4+08=12, 4+12=08, 08+12=4,
第14组:4+09=12, 4+12=09, 09+12=4,
第15组:4+10=12, 4+12=10, 10+12=4,
第16组:5+10=12, 5+12=10, 10+12=5,
第17组:6+08=12, 6+12=08, 08+12=6,
第18组:6+09=12, 6+12=09, 09+12=6,
第19组:6+10=12, 6+12=10, 10+12=6,
第20组:8+09=12, 8+12=09, 09+12=8,
第21组:8+10=12, 8+12=10, 10+12=8,
第22组:9+10=12, 9+12=10, 10+12=9,

3个不同指数, 最大=13, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=14, "模糊"=78。
第01组:02+04=14, 02+14=04, 04+14=02,
第02组:02+06=14, 02+14=06, 06+14=02,
第03组:02+07=14, 02+14=07, 07+14=02,
第04组:02+08=14, 02+14=08, 08+14=02,
第05组:02+09=14, 02+14=09, 09+14=02,
第06组:02+10=14, 02+14=10, 10+14=02,
第07组:02+12=14, 02+14=12, 12+14=02,
第08组:03+06=14, 03+14=06, 06+14=03,
第09组:03+12=14, 03+14=12, 12+14=03,
第10组:04+06=14, 04+14=06, 06+14=04,
第11组:04+07=14, 04+14=07, 07+14=04,
第12组:04+08=14, 04+14=08, 08+14=04,
第13组:04+10=14, 04+14=10, 10+14=04,
第14组:04+12=14, 04+14=12, 12+14=04,
第15组:05+10=14, 05+14=10, 10+14=05,
第16组:06+08=14, 06+14=08, 08+14=06,
第17组:06+09=14, 06+14=09, 09+14=06,
第18组:06+10=14, 06+14=10, 10+14=06,
第19组:06+12=14, 06+14=12, 12+14=06,
第20组:07+08=14, 07+14=08, 08+14=07,
第21组:07+10=14, 07+14=10, 10+14=07,
第22组:07+12=14, 07+14=12, 12+14=07,
第13组:08+10=14, 08+14=10, 10+14=08,
第14组:08+12=14, 08+14=12, 12+14=08,
第15组:09+12=14, 09+14=12, 12+14=09,
第16组:10+12=14, 10+14=12, 12+14=10,

3个不同指数, 最大=15, "模糊"=81。
第01组:02+06=15, 02+15=06, 06+15=02,
第02组:02+10=15, 02+15=10, 10+15=02,
第03组:02+12=15, 02+15=12, 12+15=02,
第04组:03+05=15, 03+15=05, 05+15=03,
第05组:03+06=15, 03+15=06, 06+15=03,
第06组:03+09=15, 03+15=09, 09+15=03,
第07组:03+10=15, 03+15=10, 10+15=03,
第08组:03+12=15, 03+15=12, 12+15=03,
第09组:04+06=15, 04+15=06, 06+15=04,
第10组:04+10=15, 04+15=10, 08+15=04,
第11组:04+12=15, 04+15=12, 12+15=04,
第12组:05+06=15, 05+15=06, 06+15=05,
第13组:05+09=15, 05+15=09, 09+15=05,
第14组:05+10=15, 05+15=10, 10+15=05,
第15组:05+12=15, 05+15=12, 12+15=05,
第16组:06+08=15, 06+15=08, 08+15=06,
第17组:06+09=15, 06+15=09, 09+15=06,
第18组:06+10=15, 06+15=10, 10+15=06,
第19组:06+12=15, 06+15=12, 12+15=06,
第20组:06+14=15, 06+15=14, 14+15=06,
第21组:08+10=15, 08+15=10, 10+15=08,
第22组:08+12=15, 08+15=12, 12+15=08,
第23组:09+10=15, 09+15=10, 10+15=09,
第24组:09+12=15, 09+15=12, 12+15=09,
第25组:10+12=15, 10+15=12, 12+15=10,
第26组:10+14=15, 10+15=14, 14+15=10,
第27组:12+14=15, 12+15=14, 14+15=12,

3个不同指数, 最大=16, "模糊"=90。
第01组:02+04=16, 02+16=04, 04+16=02,
第02组:02+06=16, 02+16=06, 06+16=02,
第03组:02+08=16, 02+16=08, 08+16=02,
第04组:02+10=16, 02+16=10, 10+16=02,
第05组:02+12=16, 02+16=12, 12+16=02,
第06组:02+14=16, 02+16=14, 14+16=02,
第07组:03+06=16, 03+16=06, 06+16=03,
第08组:03+12=16, 03+16=12, 12+16=03,
第09组:04+06=16, 04+16=06, 06+16=04,
第10组:04+08=16, 04+16=08, 08+16=04,
第11组:04+10=16, 04+16=10, 10+16=04,
第12组:04+12=16, 04+16=12, 12+16=04,
第13组:04+14=16, 04+16=14, 14+16=04,
第14组:05+10=16, 05+16=10, 10+16=05,
第15组:06+08=16, 06+16=08, 08+16=06,
第16组:06+09=16, 06+16=09, 09+16=06,
第17组:06+10=16, 06+16=10, 10+16=06,
第18组:06+12=16, 06+16=12, 12+16=06,
第19组:06+14=16, 06+16=14, 14+16=06,
第20组:06+15=16, 06+16=15, 15+16=06,
第21组:07+14=16, 07+16=14, 14+16=07,
第22组:08+10=16, 08+16=10, 10+16=08,
第23组:08+12=16, 08+16=12, 12+16=08,
第24组:08+14=16, 08+16=14, 14+16=08,
第25组:09+12=16, 09+16=12, 12+16=09,
第26组:10+12=16, 10+16=12, 12+16=10,
第27组:10+14=16, 10+16=14, 14+16=10,
第28组:10+15=16, 10+16=15, 15+16=10,
第29组:12+14=16, 12+16=14, 14+16=12,
第30组:12+15=16, 12+16=15, 15+16=12,

3个不同指数, 最大=17, "模糊"=0。
..........

我们要把这些"模糊"移到"无解'，好像不太可能。

各位网友！如果您会解这些"模糊"里的某一道，本人先谢谢了。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6,(03,  -2, 1),  2+6=3,(03, -1, 2),   3+6=2,(2, 1, 03),
第02组:2+4=6,(75, 10, 5),  2+6=4,(63, 6, 15),  4+6=2,(6, 3, 45),
第03组:3+4=6,(-18, 9, 3),  3+6=4,(18, 3, 09),  4+6=3,(9,-3, 18),

这题目有点沉，本人还是想走一走，这也是论坛共同的财富。

王守恩

这些"模糊数"，解会是怎样的一个规律？？？

第01组:02+03=06, 02+06=03, 03+06=02,
第02组:03+04=06, 02+06=04, 04+06=03,

第01组:03+06=08, 03+08=06, 06+08=03,

第01组:02+06=09, 02+09=06, 06+09=02,
第02组:04+06=09, 04+09=06, 06+09=04,
第03组:06+08=09, 06+09=08, 08+09=06,

第01组:03+06=10, 03+10=06, 06+10=03,
第02组:06+09=10, 06+10=09, 09+10=06,

第01组:02+03=12, 02+12=03, 03+12=02,
第02组:02+09=12, 02+12=09, 09+12=02,
第03组:03+04=12, 03+12=04, 04+12=03,
第04组:03+08=12, 03+12=08, 08+12=03,
第05组:03+10=12, 03+12=10, 10+12=03,
第06组:04+09=12, 04+12=09, 09+12=04,
第07组:08+09=12, 08+12=09, 09+12=08,
第08组:09+10=12, 09+12=10, 10+12=09,

第01组:03+06=14, 03+14=06, 06+14=03,
第02组:03+12=14, 03+14=12, 12+14=03,
第03组:06+09=14, 06+14=09, 09+14=06,
第04组:09+12=14, 09+14=12, 12+14=09,

第01组:02+06=15, 02+15=06, 06+15=02,
第02组:02+12=15, 02+15=12, 12+15=02,
第03组:04+06=15, 04+15=06, 06+15=04,
第04组:04+12=15, 04+15=12, 12+15=04,
第05组:06+08=15, 06+15=08, 08+15=06,
第06组:06+10=15, 06+15=10, 10+15=06,
第07组:06+14=15, 06+15=14, 14+15=06,
第08组:08+12=15, 08+15=12, 12+15=08,
第09组:10+12=15, 10+15=12, 12+15=10,
第10组:12+14=15, 12+15=14, 14+15=12,

第01组:03+06=16, 03+16=06, 06+16=03,
第02组:03+12=16, 03+16=12, 12+16=03,
第03组:06+09=16, 06+16=09, 09+16=06,
第04组:06+15=16, 06+16=15, 15+16=06,
第05组:09+12=16, 09+16=12, 12+16=09,
第06组:12+15=16, 12+16=15, 15+16=12,

第01组:02+06=18, 02+18=06, 06+18=02,
第02组:02+10=18, 02+18=10, 10+18=02,
第03组:02+12=18, 02+18=12, 12+18=02,
第04组:03+05=18, 03+18=05, 05+18=03,
第05组:03+06=18, 03+18=06, 06+18=03,
第06组:03+09=18, 03+18=09, 09+18=03,
第07组:03+10=18, 03+18=10, 10+18=03,
第08组:03+12=18, 03+18=12, 12+18=03,
第09组:04+06=18, 04+18=06, 06+18=04,
第10组:04+10=18, 04+18=10, 08+18=04,
第11组:04+12=18, 04+18=12, 12+18=04,
第12组:05+06=18, 05+18=06, 06+18=05,
第13组:05+09=18, 05+18=09, 09+18=05,
第14组:05+10=18, 05+18=10, 10+18=05,
第15组:05+12=18, 05+18=12, 12+18=05,
第16组:06+08=18, 06+18=08, 08+18=06,
第17组:06+09=18, 06+18=09, 09+18=06,
第18组:06+10=18, 06+18=10, 10+18=06,
！
第01组:03+06=20, 03+20=06, 06+20=03,
第02组:03+12=20, 03+20=12, 12+20=03,
第03组:03+18=20, 03+20=18, 18+20=03,
第04组:06+09=20, 06+20=09, 09+20=06,
第05组:06+15=20, 06+20=15, 15+20=06,
第06组:09+12=20, 09+20=12, 12+20=09,
第07组:09+18=20, 09+20=18, 18+20=09,
第08组:12+15=20, 12+20=15, 15+20=12,
第09组:15+18=20, 15+20=18, 18+20=15,

第01组:02+06=21, 02+21=06, 06+21=02,
第02组:02+12=21, 02+21=12, 12+21=02,
第03组:02+18=21, 02+21=18, 18+21=02,
第04组:04+06=21, 04+21=06, 06+21=04,
第05组:04+12=21, 04+21=12, 12+21=04,
第06组:04+18=21, 04+21=18, 18+21=04,
第07组:06+08=21, 06+21=08, 08+21=06,
第08组:06+10=21, 06+21=10, 10+21=06,
第09组:06+14=21, 06+21=14, 14+21=06,
第10组:06+16=21, 06+21=16, 16+21=06,
第11组:06+20=21, 06+21=20, 20+21=06,
第12组:08+06=21, 08+21=06, 06+21=08,
第13组:08+09=21, 08+21=09, 09+21=08,
第14组:10+10=21, 10+21=10, 10+21=10,
第15组:10+12=21, 10+21=12, 12+21=10,
第16组:12+14=21, 12+21=14, 14+21=12,
第17组:12+16=21, 12+21=16, 16+21=12,
第18组:14+18=21, 14+21=18, 18+21=14,
第19组:14+18=21, 14+21=18, 18+21=14,
第20组:16+18=21, 16+21=18, 18+21=16,
第21组:18+20=21, 18+21=20, 20+21=18,

第01组:03+06=22, 03+22=06, 06+22=03,
第02组:03+12=22, 03+22=12, 12+22=03,
第03组:03+18=22, 03+22=18, 18+22=03,
第04组:06+09=22, 06+22=09, 09+22=06,
第05组:06+15=22, 06+22=15, 15+22=06,
第06组:06+21=22, 06+22=21, 21+22=06,
第07组:09+12=22, 09+22=12, 12+22=09,
第08组:09+18=22, 09+22=18, 18+22=12,
第09组:12+15=22, 12+22=15, 15+22=12,
第10组:12+21=22, 12+22=21, 21+22=12,
第11组:15+18=22, 15+22=18, 18+22=15,
第12组:18+21=22, 18+22=21, 21+22=18,

是这样一串数：2,  1,3,2, 8,  4,10,6, 18,  9,21,12, 32,  16,36,20, 50,  25,55,30, 72,  36,78,42, 98,  49,105,56, 128,  64,142,72, 162,  81,171,90, 200,  100,210,110,

王守恩

指数超过6的：

              方程        最小解
第41组：2+2=6, (35, 120, 5)
第42组：2+3=6, (3-2, 1)
第43组：2+4=6, (75, 10, 5)
第44组：2+5=6, (15552, 72, 36)
第45组：2+6=2, (6, 2, 10)
第46组：2+6=3, (3-1, 2)
第47组：2+6=4, (63, 6, 15)
第48组：2+6=5, (4096, 16, 32)
第49组：2+6=6, (0)
第50组：3+4=6, (-18, 3, 9)
第51组：3+5=6, (15^8, 15^5, 2*15^4)
第52组：3+6=2, (2, 1, 3)
第53组：3+6=4, (18, 3, 9)
第54组：3+6=5, (256, 16, 32)
第55组：4+5=6, (15^6, 15^5, 2*15^4)
第56组：4+6=2, (6, 3, 45)
第57组：4+6=3, (9,-3, 18)
第58组：4+6=5, (64, 16, 32)
第59组：4+6=6, (0)
第60组：5+5=6, (2, 2, 2)
第61组：5+6=2, (8, 4, 192)
第62组：5+6=3, (7^5, 7^4, 2*7^8)
第63组：5+6=4, (15^5, 15^4, 2*15^6)
第64组：5+6=5, (31, 31, 62)
第65组：5+6=6, (63^5, 63^4, 2*63^4)
第66组：6+6=2, (0)
第67组：6+6=4, (0)
第68组：6+6=5, (16, 16, 32)
第69组：2+2=7, (8, 8, 2)
第70组：2+3=7, (8, 4, 2)
第71组：2+4=7, (1024, 32, 8)
第72组：2+5=7, (1024, 16, 8)
第73组：2+6=7, (8, 2, 2)
第74组：2+7=2, (4, 2, 12)
第75组：2+7=3, (40, 2, 12)
第76组：2+7=4, (1792, 8, 48)
第77组：2+7=5, (128, 4, 8)
第78组：2+7=6, (23625, 15, 30)
第79组：2+7=7, (260144641, 127, 254)
第80组：3+3=7, (4, 4, 2)
第81组：3+4=7, (162, 27, 9)
第82组：3+5=7, (2^30, 2^18, 2^13)
第83组：3+6=7, (4, 2, 2)
第84组：3+7=2, (2, 1, 2)
第85组：3+7=3, (49, 7, 98)
第86组：3+7=4, (2^21, 2^9, 2^16)
第87组：3+7=5, (2^28, 2^12, 2^17)
第88组：3+7=6, (4107, 37, 74)
第89组：3+7=7, (127^5, 127^2, 2*127^2)
第90组：4+4=7, (32, 32, 8)
第91组：4+5=7, (32, 16, 8)
第92组：4+6=7, (4096, 256, 128)
第93组：4+7=2, (2, 2, 12)
第94组：4+7=3, (2^14, 2^8, 2^19)
第95组：4+7=4, (759375, 3375, 1518750)
第96组：4+7=5, (2^21, 2^12, 2^17)
第97组：4+7=6, (63^12, 63^7, 2*63^8)
第98组：4+7=7, (127^2, 127, 2*127)
第99组：5+5=7, (16, 16, 8)
第100组：5+6=7, (2^18, 2^15, 2^13)
第101组：5+7=2, (128, 32, 2^18)
第102组：5+7=3, (128, 32, 2^12)
第103组：5+7=4, (128, 32, 2^9)
第104组：5+7=5, (31^4, 31^3, 2*31^4)
第105组：5+7=6, (128, 32, 64)
第106组：5+7=7, (127^3, 127^2, 2*127^2)
第107组：6+6=7, (2, 2, 2)
第108组：6+7=2, (3, 3, 54)
第109组：6+7=3, (7, 7, 98)
第110组：6+7=4, (15^8, 15^7, 2*15^12)
第111组：6+7=5, (2^14, 2^12, 2^17)
第112组：6+7=6, (63^8, 63^7, 2*63^8)
第113组：6+7=7, (127^6, 127^5, 2*127^5)
第114组：7+7=2, (2, 2, 16)
第115组：7+7=3, (4, 4, 32)
第116组：7+7=4, (2, 2, 4)
第117组：7+7=5, (4, 4, 8)
第118组：7+7=6, (32, 32, 64)

还有更小的解吗(手工算的，心里没底)？

northwolves

$(256*p^{20} )^3+(64*p^{15} )^4=(32*p^{12} )^5,p \in Z$

如果`(u,v,w)`是一解，则$(u*p^20,v*p^15,w*p^12)$也是，后者称为比例解，与之相对的是本原解。

现在，让我们求本原解吧。

mathe

$(u(w^5-u^3)^5)^3+((w^5-u^3)^4)^4=(w (w^5-u^3)^3)^5$
比如
w=2,u=1,得到
$28629151^3+923521^4=59582^5$
类似还可以有
$((w^5-v^4)^7)^3+(v*(w^5-v^4)^5)^4=(w*(w^5-v^4)^4)^5$

northwolves

$256^3+64^4=32^5$
$209952^3+11664^4=1944^5$
$268912^3+19208^4=2744^5$
$839808^3+23328^4=3888^5$
$13176688^3+134456^4=19208^5$
$15925248^3+331776^4=27648^5$
$79626240^3+331776^4=55296^5$
$86093442^3+531441^4=59049^5$
$28629151^3+923521^4=59582^5$
$143327232^3+995328^4=82944^5$
$400000000^3+4000000^4=200000^5$
$1660753125^3+24603750^4=820125^5$
$962391456^3+12338352^4=474552^5$
$268435456^3+2097152^4=131072^5$
$3073907232^3+25874640^4=862488^5$
$3110400000^3+25920000^4=864000^5$
$918540000^3+2916000^4=243000^5$
$1578460851^3+8696754^4=395307^5$
$6975757441^3+48275138^4=1419857^5$
$5248800000^3+29160000^4=972000^5$
$3339553536^3+12649824^4=574992^5$
$6400000000^3+16000000^4=800000^5$
$12150000000^3+40500000^4=1350000^5$
$9830400000^3+20480000^4=1024000^5$

northwolves

$x=u^8,z=u^5,y=u^6(u-1)^{1/4}$

mathe

对于任意个`x,y,z`共享的素因子`p`
假设`x`中`p`的次数为`a`, `y`中`p`的次数为`b`,`z`中`p`的次数为c
那么由于$x^3+y^4=z^5$,我们容易得出
$3a=4b, 3a=5c,4b=5c$三式中必然有一个成立。而且对于本原解，三个等式只能成立一个。
于是我们可以假设
$x=m^4 n^5 r^a x_0, y=m^3 n^b r^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
其中$m,n,r,x_0,y_0,z_0$两两互素，而且$5c>12, 4b>15, 3a>20$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-12}z_0^5$
特别的取$n=m=x_0=1$,然后,$3a-20=1$等就可以得到3#中三种构造解

另外由于$5c-12$无法达到1，限制了很多构造的可能，
我们还可以选择
$x=m^8 n^5 r^a x_0, y=m^6 n^br^5 y_0, z=m^c n^3 r^4 z_0$
然后代入原式得到
$r^{3a-20} x_0^3+n^{4b-15}y_0^4=m^{5c-24}z_0^5$
从而$5c-24$也可以为1，获得更多的构造选择，比如我们限定$a=7,b=4,c=5$得到方程
$r x_0^3+n y_0^4 =m z_0^5$,然后可以从此方程出发仅选择$x_0,y_0,z_0$之一为1，得到更多本原解

王守恩

谢谢 mathe！用6楼的方法可以解决大批的题目！
                方程              最小解
第01组:$x^2+y^2=z^2, (3,4,5)$
第02组:$x^2+y^2=z^3, (2,2,2)$
第03组:$x^2+y^2=z^4, (7,24,5)$
第04组:$x^2+y^2=z^5, (4,4,2)$
第05组:$x^2+y^3=z^2, (1,2,3)$
第06组:$x^2+y^3=z^3, (13,7,8)$
第07组:$x^2+y^3=z^4, (28,8,6)$
第08组:$x^2+y^3=z^5, (104,28,8)$
第09组:$x^2+y^4=z^2, (3,2,5)$
第10组:$x^2+y^4=z^3, (16,4,8)$
第11组:$x^2+y^4=z^4, (?)$
第12组:$x^2+y^4=z^5, (4,2,2)$
第13组:$x^2+y^5=z^2, (2,2,6)$
第14组:$x^2+y^5=z^3, (10,3,7)$
第15组:$x^2+y^5=z^4, (7,2,3)$
第16组:$x^2+y^5=z^5, (88,2,6)$
第17组:$x^3+y^3=z^2, (1,2,3)$
第18组:$x^3+y^3=z^3, (0)$
第19组:$x^3+y^3=z^4, (2,2,2)$
第20组:$x^3+y^3=z^5, (3,6,3)$
第21组:$x^3+y^4=z^2, (2,1,3)$
第22组:$x^3+y^4=z^3, (7,7,14)$
第23组:$x^3+y^4=z^4, (2000,100,300)$
第24组:$x^3+y^4=z^5, (256,64,32)$
第25组:$x^3+y^5=z^2, (2,1,3)$
第26组:$x^3+y^5=z^3, (91,13,104)$
第27组:$x^3+y^5=z^4, (32,8,16)$
第28组:$x^3+y^5=z^5, (961,31,62)$
第29组:$x^4+y^4=z^2, (0)$
第30组:$x^4+y^4=z^3, (4,4,8)$
第31组:$x^4+y^4=z^4, (0)$
第32组:$x^4+y^4=z^5, (2,2,2)$
第33组:$x^4+y^5=z^2, (3,3,18)$
第34组:$x^4+y^5=z^3, (32,16,128)$
第35组:$x^4+y^5=z^4, (15,15,30)$
第36组:$x^4+y^5=z^5, (?)$
第37组:$x^5+y^5=z^2, (2,2,8)$
第38组:$x^5+y^5=z^3, (2,2,4)$
第39组:$x^5+y^5=z^4, (8,8,16)$
第40组:$x^5+y^5=z^5, (0)$

第11组, 第36组有解吗？

找第1个解，我的电脑到`z=1000`就算不动了。

mathe

$x^4+y^5=z^5$可以有解
$x=(z_0^5-y_0^5)^4$
$y=y_0 (z_0^5-y_0^5)^3$
$z=z_0 (z_0^5-y_0^5)^3$

$x^2+y^4=z^4$应该无平凡解但是还没有人能够证明

northwolves

第03组: $x^2+y^3=z^6$

$(3t^3)^2+(-2t^2)^3=t^6$

王守恩

以下将方程$x^a+y^b=z^c$略去变元简记为 a+b=c
先解决“有解无解”的问题。
指数6~12的，下面都是无解的吗？

第01对:6+6=2, 2+6=6
第02对:6+6=4, 4+6=6
第03对: 10+10=2, 2+10=10
第04对:10+10=4, 4+10=10
第05对:10+10=6, 6+10=10
第06对:10+10=8
第07对:06+06=10, 6+10=06
第08对:10+10=04, 4+10=10
第09对:10+10=06, 6+10=10
第10对:10+10=08, 8+10=10
第11对:10+10=12, 10+12=10