x^3+y^4=z^5 的正整数解

王守恩

谢谢 hujunhua！整理后的帖子清晰多了。建议把30楼删除(主帖目标就是"x^a+y^b=z^c")。

主帖一开始就想找"x^3+y^4=z^5"第3组解(第2组解在网上好不容易搜索出来的),

7楼冒出来这么多，真被吓坏了。谢谢northwolves！

谢谢mathe！谢谢gxqcn！谢谢葡萄糖！

总数=无解+模糊+有解，明确的目标：就是如何把"模糊"移到"有解'或"无解'去。

1,底数=1: x^a-y^b=1好像只有唯一解: 3^2-2^3=1

2,指数=2: 3个2有解，2个2有解，1个2还是不能确定。

3,3个相同指数:无解。

4,2个相同指数: 当a,b公约数=1时，"X^a+Y^a=Z^b"或"X^a+Y^b=Z^a"有解。

                      当a,b公约数＞1时，"X^a+Y^a=Z^b"或X^a+Y^b=Z^a"无解。

                      a是>2, b是≥2正整数。可以有反例吗？

5,我们只需讨论3个指数均不相同就可以。

northwolves

2,指数=2: 3个2有解，2个2有解，1个2还是不能确定。
4,2个相同指数: 当a,b公约数=1时，"X^a+Y^a=Z^b"或"X^a+Y^b=Z^a"有解。

                      当a,b公约数＞1时，"X^a+Y^a=Z^b"或X^a+Y^b=Z^a"无解。

                      a是>2, b是≥2正整数。可以有反例吗？

$1^3+2^3=3^2$

northwolves

$184+345=23^2$
$184^2+345^2=391^2$
$184^3+345^3=6877^2$

王守恩

今年是兔年，恭祝大家兔年快乐！

F=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

\(\D x^{F_{n}}+y^{F_{n+1}}=z^{F_{n+2}}\)

王守恩

总数=无解+模糊+有解，明确的目标：就是如何把"模糊"移到"有解'或"无解'去。

4,2个相同指数: 当a,b公约数=1时，"X^a+Y^a=Z^b"或"X^a+Y^b=Z^a"有解。

                      当a,b公约数＞1时，"X^a+Y^a=Z^b"或X^a+Y^b=Z^a"无解。

                      a是>2, b是≥2正整数。可以有反例吗？

2个相同指数+1个2, 可以分成4组，不存在"模糊"。
第1组=有解。
3+3=2,
5+5=2,
7+7=2,
9+9=2,
......
第2组=无解。
4+4=2,
6+6=2,
8+8=2,
......
第3组=有解。
2+3=3,
2+5=5,
2+7=7,
2+9=9,
......
第4组=无解。
2+4=4,
2+6=6,
2+8=8,
......
2个相同指数+1个3, 可以分成4组，不存在"模糊"。
第1组=有解。
4+4=3,
5+5=3,
7+7=3,
8+8=3,
......
第2组=无解。
06+06=3,
09+09=3,
12+12=3,
......
第3组=有解。
3+4=4,
3+5=5,
3+7=7,
3+8=8,
......
第4组=无解。
3+06=06,
3+09=09,
3+12=12,
......
2个相同指数+1个4, 可以分成4组，不存在"模糊"。
第1组=有解。
5+05=4,
6+07=4,
7+09=4,
9+11=4,
......
第2组=无解。
06+06=4,
08+08=4,
10+10=4,
12+12=4,
......
第3组=有解。
4+05=05,
4+07=07,
4+09=09,
4+11=11,
......
第4组=无解。
4+06=06,
4+08=09,
4+10=10,
4+12=12
......
2个相同指数+1个5, 可以分成4组，不存在"模糊"。
第1组=有解。
6+6=5,
7+7=5,
8+8=5,
9+9=5,
......
第2组=无解。
10+10=5,
15+15=5,
20+20=5,
......
第3组=有解。
5+6=6,
5+7=7,
5+8=8,
5+9=9,
......
第4组=无解。
5+10=10,
5+15=15,
5+20=20,
......
2个相同指数+1个6, 可以分成4组，不存在"模糊"。
第1组=有解。
07+07=6,
11+11=6,
13+13=6,
17+17=6,
......
第2组=无解。
08+08=6,
09+09=6,
10+10=6,
12+12=6,
......
第3组=有解。
6+07=07,
6+11=11,
6+13=13,
6+17=17,
......
第4组=无解。
6+08=08,
6+09=09,
6+10=12,
6+12=12,
......

综上，2个相同指数，不存在"模糊"。
我们只需讨论3个指数均不相同时如何把"模糊"移到"有解'或"无解'去。

hujunhua

@gxqcn 楼层号那个地方被“推荐”代替是怎么回事，后面的串到前面去，把楼层号都打乱了。怎么取消？

王守恩

我们重点讨论3个指数均不相同时, 如何把"模糊"移到"有解'或"无解'去。

3个指数均不相同时, "模糊" 是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 0, 9, 0, 12, 12, 36, 0, 66, 0, 78, 81, 90, 0, 174, 0, 192, 165, 219, 0, 333, 99, 309, 210, 399, 0, 645, 0, 432, 405, 543, 375,
825, 0, 684, 567, 921, 0, 1272, 0, 984, 966, 1029, 0, 1497, 321, 1458, 981, 1395, 0, 1914, 855, 1761, 1224, 1662, 0, 2784, 0, 1884,
1791, 1926, 1164, 3171, 0, 2370, 1794, 3399, 0, 3507, 0, 2703, 2820, 2976, 1410, 4416, 0, 3900, 2283, 3357, 0, 5367, 1932, ..........

3个不同指数, 最大=2, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=3, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=4, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=5, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,
第02组:2+4=6, 2+6=4, 4+6=2,
第03组:3+4=6, 3+6=4, 4+6=3,

3个不同指数, 最大=7, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=8, "模糊"=12。
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8, 2+8=6, 6+8=2,
第03组:3+6=8, 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,

3个不同指数, 最大=9, "模糊"=12。
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,

3个不同指数, 最大=10, "模糊"=36。
第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,

3个不同指数, 最大=11, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=12, "模糊"=66。
第01组:2+03=12, 2+12=03, 03+12=2,
第02组:2+04=12, 2+12=04, 04+12=2,
第03组:2+06=12, 2+12=06, 06+12=2,
第04组:2+08=12, 2+12=08, 08+12=2,
第05组:2+09=12, 2+12=09, 09+12=2,
第06组:2+10=12, 2+12=10, 10+12=2,
第07组:3+04=12, 3+12=04, 04+12=3,
第08组:3+06=12, 3+12=06, 06+12=3,
第09组:3+08=12, 3+12=08, 08+12=3,
第10组:3+09=12, 3+12=09, 09+12=3,
第11组:3+10=12, 3+12=10, 10+12=3,
第12组:4+06=12, 4+12=06, 06+12=4,
第13组:4+08=12, 4+12=08, 08+12=4,
第14组:4+09=12, 4+12=09, 09+12=4,
第15组:4+10=12, 4+12=10, 10+12=4,
第16组:5+10=12, 5+12=10, 10+12=5,
第17组:6+08=12, 6+12=08, 08+12=6,
第18组:6+09=12, 6+12=09, 09+12=6,
第19组:6+10=12, 6+12=10, 10+12=6,
第20组:8+09=12, 8+12=09, 09+12=8,
第21组:8+10=12, 8+12=10, 10+12=8,
第22组:9+10=12, 9+12=10, 10+12=9,

3个不同指数, 最大=13, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=14, "模糊"=78。
第01组:02+04=14, 02+14=04, 04+14=02,
第02组:02+06=14, 02+14=06, 06+14=02,
第03组:02+07=14, 02+14=07, 07+14=02,
第04组:02+08=14, 02+14=08, 08+14=02,
第05组:02+09=14, 02+14=09, 09+14=02,
第06组:02+10=14, 02+14=10, 10+14=02,
第07组:02+12=14, 02+14=12, 12+14=02,
第08组:03+06=14, 03+14=06, 06+14=03,
第09组:03+12=14, 03+14=12, 12+14=03,
第10组:04+06=14, 04+14=06, 06+14=04,
第11组:04+07=14, 04+14=07, 07+14=04,
第12组:04+08=14, 04+14=08, 08+14=04,
第13组:04+10=14, 04+14=10, 10+14=04,
第14组:04+12=14, 04+14=12, 12+14=04,
第15组:05+10=14, 05+14=10, 10+14=05,
第16组:06+08=14, 06+14=08, 08+14=06,
第17组:06+09=14, 06+14=09, 09+14=06,
第18组:06+10=14, 06+14=10, 10+14=06,
第19组:06+12=14, 06+14=12, 12+14=06,
第20组:07+08=14, 07+14=08, 08+14=07,
第21组:07+10=14, 07+14=10, 10+14=07,
第22组:07+12=14, 07+14=12, 12+14=07,
第13组:08+10=14, 08+14=10, 10+14=08,
第14组:08+12=14, 08+14=12, 12+14=08,
第15组:09+12=14, 09+14=12, 12+14=09,
第16组:10+12=14, 10+14=12, 12+14=10,

3个不同指数, 最大=15, "模糊"=81。
第01组:02+06=15, 02+15=06, 06+15=02,
第02组:02+10=15, 02+15=10, 10+15=02,
第03组:02+12=15, 02+15=12, 12+15=02,
第04组:03+05=15, 03+15=05, 05+15=03,
第05组:03+06=15, 03+15=06, 06+15=03,
第06组:03+09=15, 03+15=09, 09+15=03,
第07组:03+10=15, 03+15=10, 10+15=03,
第08组:03+12=15, 03+15=12, 12+15=03,
第09组:04+06=15, 04+15=06, 06+15=04,
第10组:04+10=15, 04+15=10, 08+15=04,
第11组:04+12=15, 04+15=12, 12+15=04,
第12组:05+06=15, 05+15=06, 06+15=05,
第13组:05+09=15, 05+15=09, 09+15=05,
第14组:05+10=15, 05+15=10, 10+15=05,
第15组:05+12=15, 05+15=12, 12+15=05,
第16组:06+08=15, 06+15=08, 08+15=06,
第17组:06+09=15, 06+15=09, 09+15=06,
第18组:06+10=15, 06+15=10, 10+15=06,
第19组:06+12=15, 06+15=12, 12+15=06,
第20组:06+14=15, 06+15=14, 14+15=06,
第21组:08+10=15, 08+15=10, 10+15=08,
第22组:08+12=15, 08+15=12, 12+15=08,
第23组:09+10=15, 09+15=10, 10+15=09,
第24组:09+12=15, 09+15=12, 12+15=09,
第25组:10+12=15, 10+15=12, 12+15=10,
第26组:10+14=15, 10+15=14, 14+15=10,
第27组:12+14=15, 12+15=14, 14+15=12,

3个不同指数, 最大=16, "模糊"=90。
第01组:02+04=16, 02+16=04, 04+16=02,
第02组:02+06=16, 02+16=06, 06+16=02,
第03组:02+08=16, 02+16=08, 08+16=02,
第04组:02+10=16, 02+16=10, 10+16=02,
第05组:02+12=16, 02+16=12, 12+16=02,
第06组:02+14=16, 02+16=14, 14+16=02,
第07组:03+06=16, 03+16=06, 06+16=03,
第08组:03+12=16, 03+16=12, 12+16=03,
第09组:04+06=16, 04+16=06, 06+16=04,
第10组:04+08=16, 04+16=08, 08+16=04,
第11组:04+10=16, 04+16=10, 10+16=04,
第12组:04+12=16, 04+16=12, 12+16=04,
第13组:04+14=16, 04+16=14, 14+16=04,
第14组:05+10=16, 05+16=10, 10+16=05,
第15组:06+08=16, 06+16=08, 08+16=06,
第16组:06+09=16, 06+16=09, 09+16=06,
第17组:06+10=16, 06+16=10, 10+16=06,
第18组:06+12=16, 06+16=12, 12+16=06,
第19组:06+14=16, 06+16=14, 14+16=06,
第20组:06+15=16, 06+16=15, 15+16=06,
第21组:07+14=16, 07+16=14, 14+16=07,
第22组:08+10=16, 08+16=10, 10+16=08,
第23组:08+12=16, 08+16=12, 12+16=08,
第24组:08+14=16, 08+16=14, 14+16=08,
第25组:09+12=16, 09+16=12, 12+16=09,
第26组:10+12=16, 10+16=12, 12+16=10,
第27组:10+14=16, 10+16=14, 14+16=10,
第28组:10+15=16, 10+16=15, 15+16=10,
第29组:12+14=16, 12+16=14, 14+16=12,
第30组:12+15=16, 12+16=15, 15+16=12,

3个不同指数, 最大=17, "模糊"=0。
..........

我们要把这些"模糊"移到"无解'，好像不太可能。

各位网友！如果您会解这些"模糊"里的某一道，本人先谢谢了。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6,(03,  -2, 1),  2+6=3,(03, -1, 2),   3+6=2,(2, 1, 03),
第02组:2+4=6,(75, 10, 5),  2+6=4,(63, 6, 15),  4+6=2,(6, 3, 45),
第03组:3+4=6,(-18, 9, 3),  3+6=4,(18, 3, 09),  4+6=3,(9,-3, 18),

这题目有点沉，本人还是想走一走，这也是论坛共同的财富。

王守恩

今年是兔年，恭祝大家兔年快乐！    a=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

F=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,

\(\big((a^{01}-1)^{01}\big)^{00}+\big((a^{01}-1)^{01}\big)^{01}=\big(a(a^{01}-1)^{00}\big)^{01}\)
\(\big((a^{02}-1)^{03}\big)^{01}+\big((a^{02}-1)^{02}\big)^{01}=\big(a(a^{02}-1)^{01}\big)^{02}\)
\(\big((a^{03}-1)^{03}\big)^{01}+\big((a^{03}-1)^{02}\big)^{02}=\big(a(a^{03}-1)^{01}\big)^{03}\)
\(\big((a^{05}-1)^{08}\big)^{02}+\big((a^{05}-1)^{05}\big)^{03}=\big(a(a^{05}-1)^{03}\big)^{05}\)
\(\big((a^{08}-1)^{08}\big)^{03}+\big((a^{08}-1)^{05}\big)^{05}=\big(a(a^{08}-1)^{03}\big)^{08}\)
\(\big((a^{13}-1)^{21}\big)^{05}+\big((a^{13}-1)^{13}\big)^{08}=\big(a(a^{13}-1)^{08}\big)^{13}\)
\(\big((a^{21}-1)^{21}\big)^{08}+\big((a^{21}-1)^{13}\big)^{13}=\big(a(a^{21}-1)^{08}\big)^{21}\)
\(\big((a^{34}-1)^{55}\big)^{13}+\big((a^{34}-1)^{34}\big)^{21}=\big(a(a^{34}-1)^{21}\big)^{34}\)
\(\big((a^{55}-1)^{55}\big)^{21}+\big((a^{55}-1)^{34}\big)^{34}=\big(a(a^{55}-1)^{21}\big)^{55}\)
......

王守恩

接14楼：“1” 是数学殿堂里最活跃的数。\(1+2^3=3^2\)

\((2n^3)^{6}+(2n^2)^{9}=2^6n^{18}+2^{9}n^{18}=(2^{6}n^{18})(1+2^3)=(2^{6}n^{18})(3^2)=(24n^9)^2\)

\((2×1^3)^{6}+(2×1^2)^{9}=(24×1^9)^{2}\)
\((2×2^3)^{6}+(2×2^2)^{9}=(24×2^9)^{2}\)
\((2×3^3)^{6}+(2×3^2)^{9}=(24×3^9)^{2}\)
\((2×4^3)^{6}+(2×4^2)^{9}=(24×4^9)^{2}\)
\((2×5^3)^{6}+(2×5^2)^{9}=(24×5^9)^{2}\)
\((2×6^3)^{6}+(2×6^2)^{9}=(24×6^9)^{2}\)
\((2×7^3)^{6}+(2×7^2)^{9}=(24×7^9)^{2}\)
\((2×8^3)^{6}+(2×8^2)^{9}=(24×8^9)^{2}\)
\((2×9^3)^{6}+(2×9^2)^{9}=(24×9^9)^{2}\)
.....

王守恩

把30楼处理了。已知  n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

试证:  \(x^{n}+y^{n+1}+z^{n+2}=w^{n+3}\)  有 >1 的正整数解。

n≡模6余2：
\(\big((3)^{\frac{u}{6n-4}}\big)^{6n-4}+\big((3)^{\frac{u}{6n-3}}\big)^{6n-3}+\big((3)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}=\big((3)^{v}\big)^{6n-1}\)
其中u,v由\(u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n-4,6n-3,6n-2)\)解得。

n≡模6余3：
\(\big((a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n-3}}\big)^{6n-3}+\big((a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}+\big((a^{6n+0}-2)^{v}\big)^{6n-1}=\big(a(a^{6n+0}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}\)
其中u,v由\(u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n-3,6n-2,6n+0)\)解得。

n≡模6余4：
\(\big((3)^{\frac{u}{6n-2}}\big)^{6n-2}+\big((3)^{\frac{u}{6n-1}}\big)^{6n-1}+\big((3)^{\frac{u}{6n-0}}\big)^{6n-0}=\big((3)^{v}\big)^{6n+1}\)
其中u,v由\(u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n-2,6n-1,6n+0)\)解得。

n≡模6余5：
\(\big((a^{6n+2}-2)^{v}\big)^{6n-1}+\big((a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}+\big((a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+1}}\big)^{6n+1}=\big(a(a^{6n+2}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}\)
其中u,v由\(u=v*(6n-1)-1=s*LCM(6n+0,6n+1,6n+2)\)解得。

n≡模6余0：
\(\big((a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+0}}\big)^{6n+0}+\big((a^{6n+3}-2)^{v}\big)^{6n+1}+\big((a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}=\big(a(a^{6n+3}-2)^{\frac{u}{6n+3}}\big)^{6n+3}\)
其中u,v由\(u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n+0,6n+2,6n+3)\)解得。

n≡模6余1：
\(\big((a^{6n+4}-2)^{v}\big)^{6n+1}+\big((a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+2}}\big)^{6n+2}+\big((a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+3}}\big)^{6n+3}=\big(a(a^{6n+4}-2)^{\frac{u}{6n+4}}\big)^{6n+4}\)
其中u,v由\(u=v*(6n+1)-1=s*LCM(6n+2,6n+3,6n+4)\)解得。

在这里:  a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......