数字串的通项公式

王守恩

n个白球围成一圈，插入k个不相邻的黑球，每个白球最多与1个黑球相邻，有几种做法？
{0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21},
{0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 37, 40, 44, 48, 52, 56, 61, 65, 70, 75, 80, 85, 91, 96, 102, 108, 114, 120, 127, 133, 140, 147, 154},
{0, 0, 0, 0, 1, 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, 47, 56, 72, 84, 104, 120, 145, 165, 195, 220, 256, 286, 328, 364, 413, 455, 511, 560, 624, 680, 752, 816, 897, 969, 1059, 1140, 1240, 1330, 1440, 1540},
{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147, 196, 252, 324, 406, 507, 621, 759, 913, 1096, 1298, 1534, 1794, 2093, 2421, 2793, 3199, 3656, 4152, 4706, 5304, 5967, 6681, 7467, 8311, 9234, 10222, 11298},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 7, 16, 26, 50, 76, 126, 185, 280, 392, 561, 756, 1032, 1353, 1782, 2277, 2920, 3652, 4576, 5626, 6916, 8372, 10133, 12103, 14448, 17063, 20128, 23528, 27474, 31824, 36822, 42315, 48564, 55404, 63133, 71554},
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 4, 8, 20, 38, 76, 133, 232, 375, 600, 912, 1368, 1980, 2829, 3936, 5412, 7293, 9724, 12760, 16588, 21287, 27092, 34112, 42640, 52819, 65008, 79392, 96405, 116280, 139536, 166464, 197676, 233529, 274740,
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 10, 29, 57, 126, 232, 440, 750, 1282, 2052, 3260, 4950, 7440, 10824, 15581, 21879, 30415, 41470, 56021, 74503, 98254, 127920, 165288, 211276, 268228, 337416, 421856, 523260, 645456, 790704, 963793,
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 12, 35, 79, 185, 375, 750, 1387, 2494, 4262, 7105, 11410, 17930, 27407, 41107, 60335, 87154, 123695, 173173, 238957, 325845, 438945, 585265, 772252, 1009868, 1308742, 1682660, 2146420, 2718806,

1. Table[CoefficientList[Series[((1 + x) x^k)/(2 (1 - x^2)^Floor[(k + 2)/2]) + x^k/(2 k)Plus @@ (EulerPhi[#] /(1 - x^#)^(k/#) & /@ Divisors[k]), {x, 0, 43}], x], {k, 2, 9}]

复制代码

这通项公式还可以调吗？

王守恩

1对孪生兄弟和1对孪生姐妹分成1男1女2组, 没有两组由同1对孪生兄弟与同1对孪生姐妹组成, 有0种分法。
2对孪生兄弟和2对孪生姐妹分成1男1女4组, 没有两组由同1对孪生兄弟与同1对孪生姐妹组成, 有4种分法。
3对孪生兄弟和3对孪生姐妹分成1男1女6组, 没有两组由同1对孪生兄弟与同1对孪生姐妹组成, 有48种分法。
4对孪生兄弟和4对孪生姐妹分成1男1女8组, 没有两组由同1对孪生兄弟与同1对孪生姐妹组成, 有 ? 种分法。
......
譬如:
兄弟:1122
姐妹:1212
姐妹:1221
姐妹:2112
姐妹:2121

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-8-1 10:29
1对兄弟和1对姐妹分成1男1女2组, 没有两组由同1对兄弟姐妹组成, 有0种分法。
2对兄弟和2对姐妹分成1男1女4 ...

啥叫“没有两组由同一对兄弟姐妹组成”？

aimisiyou

大概明白其中意思了。应该可以用递推吧？

aimisiyou

王守恩 发表于 2023-8-1 10:29
1对兄弟和1对姐妹分成1男1女2组, 没有两组由同1对兄弟姐妹组成, 有0种分法。
2对兄弟和2对姐妹分成1男1女4 ...

F（1）=0，F（2）=16，F（3）=384，F（4）=23040，F（5）=2088960

aimisiyou

应该是这个递推公式。

王守恩

aimisiyou 发表于 2023-8-2 14:31
应该是这个递推公式。

0, 16, 384, 23040, 2088960, 278323200, 50969640960, 12290021130240, 3774394191052800, 1438421245702963200, 666120016990568448000, 368420070161105761075200, 239869937154980747988172800}

\(\D\sum_{k=0}^n\frac{n!^2(2*k)!(-2)^n}{k!^2(n-k)!(-2)^k}\)

{0, 4, 48, 1440, 65280, 4348800, 398200320, 48007895040, 7371863654400, 1404708247756800, 325253914546176000, 89946306191676211200, 29280998187863860838400, 11083909261281457176576000}

\(\D\sum_{k=0}^n\frac{n!^2(2*k)!(-1)^n}{k!^2(n-k)!(-2)^k}\)

如果用这串数(OEIS没有):0, 4, 48, 1440, 65280, ...,我们应该如何来描述"题目"？
猜盲盒？？不懂？能说详细一点吗？谢谢！！

aimisiyou

OEIS描述的问题跟此问题有点差别啊，怎么结果相同呢？

northwolves

1. Table[(2 n)! Hypergeometric1F1[-n, 1/2 - n, -1/2], {n, 20}]

复制代码

1. 
   
2. Table[(I (-1)^n n! HypergeometricU[1/2, 3/2 + n, -(1/2)])/Sqrt[2], {n,20}]

复制代码

王守恩

northwolves 发表于 2023-8-3 14:01

我们这串数: 0, 4, 48, 1440, 65280, ..., 通项公式(A189849/2^n)与 A189849不大一样。
如果用这串数，这题目应该怎么写(我怎么也想不好)?