数字串的通项公式

northwolves

王守恩 发表于 2023-9-4 16:31
本来是这样一道题: f(n)表示是由 0,1,2,3 组成的长度为 n 的所有序列中连续两个 0 出现的次数总和。
f(n)=0 ...

$f(n,k)=(n - 1)*(k+1)^{n-2}$

王守恩

(1),f(n) 表示由 0,1,2,3,...k 组成的长度为 n 的所有序列中连续两个 0 出现的次数总和，

1. (1),Table[CoefficientList[Series[x/(1 - k x)^2, {x, 0, 21}], x], {k, 2, 5}]

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{0, 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576, 53248, 114688,  245760,  524288,  
{0, 1, 6, 27, 108, 405, 1458, 5103, 17496, 59049, 196830, 649539, 2125764, 6908733, 22320522,
{0, 1, 8, 48, 256, 1280, 6144, 28672, 131072, 589824, 2621440, 11534336,50331648,218103808,
{0, 1, 10, 75, 500, 3125, 18750, 109375, 625000,  3515625,  19531250,  107421875,  585937500,

(2),f(n) 表示由 0,1,2,3,...k 组成的长度为 n 的所有序列中连续两个 0 出现的序列数量，

1. (2),Table[CoefficientList[Series[x^2/((1-xk)(1-(k-1)x(x+1))),{x,0,16}],x],{k,2,5}]

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{0, 0, 1, 3, 8, 19, 43, 94, 201, 423, 880, 1815, 3719, 7582, 15397, 31171, 62952, 126891, 255379,
{0, 0, 1, 5, 21, 79, 281, 963, 3217, 10547, 34089, 108955, 345137, 1085331, 3392377, 10549739,
{0, 0, 1, 7, 40, 205, 991, 4612, 20905, 92935, 407056, 1762117, 7556095, 32148940, 135892321,
{0, 0, 1, 9, 65, 421, 2569, 15085,  86241,  483429,  2669305,  14564061,  78699089,  421880725,

(1)-(2)=(3), 有关(3)这些数字串还可以有通项公式吗？

王守恩

(1),f(n) 表示由 0,1,2,3,...k 组成的长度为 n 的所有序列中连续两个 0 出现的次数总和，
(1),Table[CoefficientList[Series[x/(1 - k x)^2, {x, 0, 16}], x], {k, 2, 5}]
{0, 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576, 53248, 114688,  245760,  524288,  
{0, 1, 6, 27, 108, 405, 1458, 5103, 17496, 59049, 196830, 649539, 2125764, 6908733, 22320522,
{0, 1, 8, 48, 256, 1280, 6144, 28672, 131072, 589824, 2621440, 11534336,50331648,218103808,
{0, 1, 10, 75, 500, 3125, 18750, 109375, 625000,  3515625,  19531250,  107421875,  585937500,

(2),f(n) 表示由 0,1,2,3,...k 组成的长度为 n 的所有序列中连续两个 0 出现的序列数量，
(2),Table[CoefficientList[Series[x^2/((1-xk)(1-(k-1)x(x+1))),{x,0,16}],x],{k,2,5}]
{0, 0, 1, 3, 8, 19, 43, 94, 201, 423, 880, 1815, 3719, 7582, 15397, 31171, 62952, 126891, 255379,
{0, 0, 1, 5, 21, 79, 281, 963, 3217, 10547, 34089, 108955, 345137, 1085331, 3392377, 10549739,
{0, 0, 1, 7, 40, 205, 991, 4612, 20905, 92935, 407056, 1762117, 7556095, 32148940, 135892321,
{0, 0, 1, 9, 65, 421, 2569, 15085,  86241,  483429,  2669305,  14564061,  78699089,  421880725,

(1)-(2)=(3), 好像没有特别好的方法？至少在OEIS是没有这些数字串的。
Table[CoefficientList[Series[x/(1-kx)^2-x^2/((1-xk)(1-(k-1)x(x+1))),{x,0,16}],x],{k,2,5}]
{0, 1, 3, 9, 24, 61, 149, 354, 823, 1881, 4240,  9449,  20857,  45666,  99291,  214589,  461336,  
{0, 1, 5, 22, 87, 326, 1177, 4140, 14279, 48502, 162741, 540584, 1780627, 5823402, 18928145,  
{0, 1, 7, 41, 216, 1075, 5153, 24060, 110167, 496889, 2214384, 9772219, 42775553,185954868,
{0, 1, 9, 66, 435,  2704,  16181,  94290,  538759,  3032196,  16861945,  92857814,  507238411,

王守恩

边长和面积都是整数的三角形，面积一定是6的倍数。
a(01)=1, 01*6={5,4,3}
a(02)=2, 02*6={6,5,5}={8,5,5}
a(03)=0, 03*6
a(04)=2, 04*6={10,8,6}={15,13,4}
a(05)=1, 05*6={13,12,5}
a(06)=2, 06*6={17,10,9}={26,25,3}
a(07)=1, 07*6={20,15,7}
a(08)=2, 08*6={12,10,10}={16,10,10}
a(09)=1, 09*6={15,12,9}
a(10)=4, 10*6={13,13,10}={17,15,8}={24,13,13}={29,25,6}
a(11)=1, 11*6={20,13,11}
a(12)=1, 12*6={30,29,5}
a(13)=0, 13*6
a(14)=4, 14*6={15,14,13}={21,17,10}={25,24,7}={35,29,8}
......
得到这样一串数:1,2,0,2,1,1,2,2,1,4,1,1,0,4,1,2,0,2,1,4,......速度太慢了！

1. Table[Solve[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/4!==n,40>a≥b≥c>a-b},{a,b,c},Integers],{n,1,20}]

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northwolves

王守恩 发表于 2023-9-8 16:00
边长和面积都是整数的三角形，面积一定是6的倍数。
a(01)=1, 01*6={5,4,3}
a(02)=2, 02*6={6,5,5}={8,5,5}

1. Select[Tally@Sort[Select[Flatten[Table[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/4},{c,2,40},{b,c,40},{a,b,40}]],#>0&&IntegerQ[#]&]/6],#[[1]]<21&]

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{{1,1},{2,2},{4,2},{5,1},{6,2},{7,1},{8,2},{9,1},{10,4},{11,1},{12,1},{14,4},{15,2},{16,2},{18,2},{19,1},{20,4}}

王守恩

northwolves 发表于 2023-9-10 21:54
{{1,1},{2,2},{4,2},{5,1},{6,2},{7,1},{8,2},{9,1},{10,4},{11,1},{12,1},{14,4},{15,2},{16,2},{18,2 ...

1. Select[Tally@Sort[Select[Flatten[Table[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/4!},{c,2,40},{b,c,40},{a,b,b+c}]],#>0&&IntegerQ[#]&]],#[[1]]<21&]

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假如我们想写成: 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4,......还有方法吗？

王守恩

            假如我们想写成: 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4,......还有方法吗？
嗨！还真是有的,A051585:1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 6, 3, 0, 0, 1, 5, 0,......
a(n)=sum(z=sqrtint(sqrtint(192*n^2)-1)+1, sqrtint(9*(64*n^2+5)\20), sum(y=z\2+1, z, my(t=(y*z)^2-(12*n)^2, x); if(issquare(t, &t), (issquare(y^2+z^2-2*t, &x) && x<=y) + (t && issquare(y^2+z^2+2*t, &x) && x<=y), 0)))
有公式，可惜我的计算软件出不来。

northwolves

1. x=Select[Flatten[Table[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/24},{c,2,40},{b,c,40},{a,b,b+c}]],#<21&];Array[Count[x,#]&,20]

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northwolves

$S_{\triangleABC}=6n=\frac{1}{2}bcsinA$
$(12n)^2=(bc)^2sin^2A=(bc)^2(1-cos^2A)=b^2c^2-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2})^2$
$a^2=b^2+c^2 \pm2\sqrt{b^2c^2-(12n)^2}$

王守恩

1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 3, 3, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
......