椭圆的周长最大内接三角形的特殊点

陈九章

把张老师25楼中给出的三角形外接/内切光反射椭圆的离心率方程显化为函数式：

陈九章

陈殿林老师用GGB软件作出了三角形的内切、外接光反射椭圆离心率方程的图形

陈九章

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因为Na(p-a，p-b，p-c)，根据老封的广义Gergonne二次曲线离心率公式，
可以求出三角形的内切、外接光反射椭圆的离心率（有点繁）：

creasson

若记$T = \cos A + \cos B + \cos C$, 为三角形内角余弦之和， 则三角形的内切光反射椭圆的离心率$e$满足方程：
\[\frac{{{e^4}}}{{1 - {e^2}}} = \frac{{16(3 - 2T)}}{{{{(T - 1)}^3}(3 + T)}}\]
三角形的外接光反射椭圆的离心率$e$满足方程:
\[\frac{{{e^4}}}{{1 - {e^2}}} = \frac{{4(3 - 2T)}}{{(T - 1)(3 + T)}}\]

陈九章

改写一下creasson 先生的公式

陈九章

R-2r,4R+r：有明显的几何意义。

creasson

陈九章 发表于 2023-5-27 17:10
R-2r,4R+r：有明显的几何意义。

用传统计算法是较困难的，基于有理表示则相对容易.

于是两焦点之距离为
\[|{Z_1} - {Z_2}| = |{z_1} - {z_2}|BC = \sqrt {\frac{{{{(1 + {s^2})}^{3/2}}{{(s + t)}^2}\sqrt {(1 + {t^2})(1 + {s^2} - 8st + {t^2} + 9{s^2}{t^2})} }}{{{s^2}(1 + {t^2}){{(1 + {s^2} + st + {t^2})}^2}}}} a\]
转化为以三角形边长$a,b,c$表示则是
\[|{Z_1} - {Z_2}| = 4\frac{{\sqrt[4]{{{a^3}{b^3}{c^3}({a^3} - {a^2}b - a{b^2} + {b^3} - {a^2}c + 3abc - {b^2}c - a{c^2} - b{c^2} + {c^3})}}}}{{(2ab + 2ac + 2bc - {a^2} - {b^2} - {c^2})}}\]

陈九章

太惊喜了！
我的问题提出4个小时后， creasson 博士就得到了正确的焦距公式，
看到 creasson 老师的公式，立即对它进行变形、化简，
刚得到简约的公式，好友陈殿林老师给我发来了相同的焦距公式。
非常高兴！
没想到：这么复杂的问题，竟然有如此简洁的公式！！！

陈九章

我正在推导三角形的两个光反射椭圆的其他特征量时，
陈殿林老师给我发来了如下公式：
其中：u=d/R，v=r/R