包含24個正方形和24個等腰直角三角形的方形对称图案

ejsoon

hujunhua 发表于 2024-7-26 04:17
一、按中心正方形分类

如果总是让外面的那个大□水平放置，则16线图案一共有3种类型：

A与B的边如果4X4全交的话, 有以下 2 种情况：
    case1 4X4全交，彼此不在。每个直角顶点都有4⊿（以相斜的正方形四边为斜边），总计8X4⊿，立马超编。
    case2 4X4全交，A在B上（或者B在A上）。A的顶点会损失以穿过它的B之边为斜边的那个⊿，4个顶点各损失1个，剩有28⊿仍然超编。见图4.
可见4X4全交总是不行。

這部份我沒有看懂，何為4X4全交？case1是像下图这样二者四條邊彼此相交的意思嗎？

4X4全交case1

圖4的兩個圖都是case2的嗎？

gxqcn

此帖霸榜论坛热点三周，刚从首页论坛热点中消退，
因为设置的论坛热点天数为21，即仅在最近的21天里发表的主题帖为候选热点。

此帖非常契合本论坛宗旨，特加精处理。

加精理由：

对称探寻，老少皆宜，
烧脑费眼，童叟无欺；
数理推导，追本溯源，
智能算法，所向披靡。

hujunhua

这个帖子一时还凉不下去，还有以下内容要完成：
1、16线各型图案的排查、展示。
2、18线图案的研究。

80#说16线完全解决了，只是理论上解决了，找到了构造方法。实际排查我只做了一小部分，不到30个图案。总数估计有70个左右。
C类10个，D类7个，B类应有50个左右，

ejsoon

gxqcn 发表于 2024-7-31 13:31
此帖霸榜论坛热点三周，刚从首页论坛热点中消退，
因为设置的论坛热点天数为21，即仅在最近的21天里发表的 ...

感謝版主的支持！感謝各位的積極參與！

本帖是一個開放的數學趣味問題，當我找到一個結果時確實感到非常開心。

各位高手各顯神通，給出了很多美妙的解法，在此一併向各位致謝！

現在最新進展是，hujunhua破解了16線問題，總結出「三線不能交於一點」的定理，受限於本人的數學水平，我在閱讀他的論文時遇到了瓶頸，我將在下方寫下我的「瓶頸」。

ejsoon

hujunhua 发表于 2024-7-26 04:17
一、按中心正方形分类

如果总是让外面的那个大□水平放置，则16线图案一共有3种类型：

我在「四」之後的內容都不太理解，似乎有些地方缺少描述和定義。比如「四」中說的A和B應該是指中心的兩個正方形。而當A在B上時，之所以三角形會超，可能是因為A跟B都有延長線。那麼延長到甚麼程度會超呢？是否一定都跟外圍正方形相接？這些好像都沒有分類討論。

同時這個改版好像把之前的結論改成了不太能直接使用的描述。

比如之前的「三線不可交於一點」，我們用這個結論就能直接判定24#的圖有誤。現在的描述是「不符合case3」，好像還是之前的好用。

是否還有更多可直接應用的結論？mathe的cpp程式是否可以用上這些結論以將它的搜尋範圍擴大至12方？

ejsoon

下面我將闡述我的分類。這是我的水平所能理解的。

先談到「三正一斜」的類別。

以41#的第二張圖為例：




黑色部份稱作「基底」，綠色部份為「套環」，紅色斜方為「蓋帽」 。

基底井字已經提供了14個正方形，套環則提供9個，蓋帽有1個。

當基底的井字不是九宮時，它將失去4個「偏中正方形」，這4個將要由套環跟基底配合補上。

下面分成兩種情況，一種是「外套」，一種是「內套」。

外套指套環的四個端點在九宮的四個角上的正方形中。

內套指套環的四個端點在九宮的中間正方形中。

在外套中，如果基底是九宮，則稱作A3（取正方形對角作為類名），如果基底不是九宮，則有A2、B3兩種情況。

外套：


在內套中，如果基底是九宮，則稱作C2，如果基底不是九宮，則有C3、C4、D5三種情況：


因此，「三正一斜」一共有A3、A2、B3、C2、C3、C4、D5七種情況。




下面我想簡單證明下為何三線不能交於一點：

在「三正一斜」的情況中，斜方的一條邊一定要經過兩組縱横線（包括延伸後與外圍相接）一共4條線，不能多於4也不能少於4。

這樣一來，才能在上方構成2個三角形，在左上構成4個三角形。乘4就等於24。

因為湊成24個三角形，只有以上一種組合方式，所以如果出現「三線交於一點」，將無法正好湊成24個三角形。




以上都是「三正一斜」的情況，不過也可直接推廣至「二正二斜」，「二斜」跟「二正」其中一個是九宮（提供14個正方形），另一個是井字（提供10個正方形），並且三線不交於一點。


對於「一正三斜」的情況，「三斜」等同於前面的「基底14+套環9」，也是一個九宮加一個井字。

ejsoon

按以上規律，只要把「蓋帽」大小改動下，就能得到新的圖，比如：

ejsoon

網格44方！

gxqcn

好久没人提 整线段/碎线段 了，我提一个猜想，欢迎证明或证伪：

16 条整线段方案，其碎线段数必为 80；
每条整线段被分割成的碎线段数一定为三者之一：3，5，7；
更进一步：在各个方向上（共 4 个方向），平均碎整比一定为 5:1

平均碎整比，可以从一个侧面描述一个图形的“离散度”及“纠缠度”（与“自由度”相对应，但含义不同，表现相反），
那么，其最大极限值可达多少？

注：碎线段、整线段，是楼主首提的术语。
【整线段】指图中连结两个结点、不能向两端延伸的直线段（一旦延伸会产生不属于图的线条）。
【碎线段】指将一条整线段上的所有结点看作剪断处的结果；
【平均碎整比】即图中“碎线段总数 / 整线段总数"。
我们所说的图，通常指不含1度结点的图。

ejsoon

98#同一個自由度，當綠色正方形邊長與其延長線的比調整為4:1時，所用網格最少，為16方。