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楼主: ejsoon

[提问] 包含24個正方形和24個等腰直角三角形的方形对称图案

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 楼主| 发表于 2024-7-19 09:46:42 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-7-19 08:57
搜索到了26边以内,并且按胡的要求做了部分分类(类型,边数,顶点数)
自由度计算起来比较麻烦(需要判断 ...

同時對於41#的「大斜方」類別,是否可能找到更多結果?
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发表于 2024-7-19 09:58:40 | 显示全部楼层
背景底板小方块,称为网格;网格顶点,称为格点。
显然,在一维尺度上计数,后者比前者大1.


可以只考虑网格数在 12x12 以内(包含)的情形。
另外,是否有奇数网格的解?

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斜正方形居中,网格数必须为偶数吧?  发表于 2024-7-19 14:00
41#的图具有两个自由度,适当调整两个自由正方形,可以画在9x9的网格  发表于 2024-7-19 13:31
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发表于 2024-7-19 12:36:19 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-7-18 19:16
此結果非常強大!可能六乘六方、八乘八方已經窮舉完了。

如果要往十乘十、十二乘十二,可能需要加上兩種 ...

自由度判定实际上就是解方程过程。
图上每个点的坐标作为变量,先考虑对称性,可以减少部分变量,余下应该略大于总数的1/8.也可以选择每条直线作为一个变量。
然后根据正方形和等腰三角形条件,可以得出某些方程
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发表于 2024-7-19 12:52:50 | 显示全部楼层
a.png
如图,根据对称性只需要设置三个变量a,b,c
然后根据第三行第二列的正方形条件得到1-a-a=a,也就是a=1/3.
然后其它相等条件会发现都已经不需要。所以留下两个变量b,c,自由度为2。这个图自由度应该算挺高的

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 楼主| 发表于 2024-7-19 18:52:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 ejsoon 于 2024-7-19 18:54 编辑
mathe 发表于 2024-7-19 12:52
如图,根据对称性只需要设置三个变量a,b,c
然后根据第三行第二列的正方形条件得到1-a-a=a,也就是a=1/3.
然 ...


你們說的「自由度」跟我想的不太一樣。

我是希望當窮舉完六乘六之後,在檢索八乘八時,不要出現拉伸型的重覆。

比如:

B26L41.2400f10ff.png

這張圖明顯就是下面這張拉伸而來:

B26L41.140071770.png

而當我們拿到小的圖時,我們不必判定它的自由度,而是把它的數據放進一個map中。

當我們檢索大圖時,如果發現它在第二,第六行及列都沒有交點,則它很可能是由一個自由度高的圖拉伸而來。

則這時我們再把這個大圖坍縮之後,匹配下之前保存的map,如果能匹配到,就證實是一個重覆生成的圖。

如果加了「排重」,說不定就能把十乘十,十二乘十二的也窮舉出來。

点评

你說的對,自由度確實與網格無關。不過我懷疑12網格已經是我們研究的極限,目前未見到超過12網格的圖。  发表于 2024-7-20 15:16
谈自由度时就不要谈网格了  发表于 2024-7-20 08:47
前面你說的那個圖形的自由度是2,但是這個圖形在12X12網格內是沒有自由度的。所以在描述自由度時是否還需要加上「最小網格」?  发表于 2024-7-20 07:52
其实是等价的,只是用方程组的自由度来描述更数学化也更精确  发表于 2024-7-20 05:46
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发表于 2024-7-19 23:06:37 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2024-7-19 09:58
背景底板小方块,称为网格;网格顶点,称为格点。
显然,在一维尺度上计数,后者比前者大1.

是的, 只有在坐标轴上没有交点的A类图案才可能存在于奇数网格。
例如图案A24L40.120017ff.svg具有2个自由度,可以由8X8调整为7X7的解

8X8

8X8

7X7

7X7


类似地,还有A24L48.34000012ff.svg, A24L48.48000012ff.svg 也可以由8X8调整为7X7图案。

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糾正下我前面的說法,A24L48.380000377f不能坍縮成7X7,否則會增加正方形。因此可能找不到連成一片的7X7方案。  发表于 2024-7-20 19:47
如果我們加上「所有線段都必須連成一塊」,可能只有A24L48.380000377f是符合的。  发表于 2024-7-20 15:28
漂亮!好像還是首次找到7X7格的圖。  发表于 2024-7-19 23:53
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发表于 2024-7-20 12:34:47 | 显示全部楼层

3个自由度的图案

9X9网格
A28L44.F3.9X9.png

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原来最里面的也是自由的,它对应四个角上正方形可以不同  发表于 2024-7-20 17:09
应该自由度是1吧?好像只有最外面的正方形是自由的。  发表于 2024-7-20 17:07
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发表于 2024-7-20 18:02:41 | 显示全部楼层

最小6X6网格

如图1(鼠标悬停可显示图号),A类图案最小网格为7X7,所以6X6以下的网格上只能存在B类或者C类图案。
B类和C类图案只能存在于偶数网格中,如果在6X6以下(不含)的网格中存在解,那么只能是4X4网格。

图1 图2
如图2,4X4网格上只可能存在C类图案,4个中心正方形只此一种。
剩下16线条分为红、蓝、绿三组,如图3。每组有连与不连两种选择,共有8种图案。

图3

图3 除去全连与全不连两个图案显然不对的,还剩6种,不难穷举验证都不符合要求,见图4。

图4

图4

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能否證明不存在超過12X12網格且連成一片的圖案?  发表于 2024-7-20 20:09
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 楼主| 发表于 2024-7-20 20:07:16 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-7-19 08:57
搜索到了26边以内,并且按胡的要求做了部分分类(类型,边数,顶点数)
自由度计算起来比较麻烦(需要判断 ...

如果增加以下限制條件:

排除過短的線
所有元素都必須相連
只用16條線

當前算法是否能算12網格?
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发表于 2024-7-21 06:41:14 | 显示全部楼层
试了一下让计算机先预填4个正向正方形,搜索所有的A型图案,对于8*8很快就可以结束。
但是处理10*10,在笔记本上运行一个晚上还没有结束。现在只找出一个8*8以外的A型图
a.png
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