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[提问] 包含24個正方形和24個等腰直角三角形的方形对称图案

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发表于 2024-7-10 12:27:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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圖案上下、左右對稱,并且旋转90度不变,整体包含在一個大正方形中。

所用線段越少越好。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-7-11 11:55:36 来自手机 | 显示全部楼层

自己构造了一個

24方图.PNG

整線段20條,碎線段72條。
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 楼主| 发表于 2024-7-11 12:03:59 来自手机 | 显示全部楼层
24方图.PNG

整線段20條,碎線段60條。
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发表于 2024-7-11 16:03:34 | 显示全部楼层
tid19551.png
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 楼主| 发表于 2024-7-11 17:48:19 | 显示全部楼层
2424.png

由樓上高手啟發的。整線段22條,碎線段72線。
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 楼主| 发表于 2024-7-12 21:32:15 | 显示全部楼层
不知是否還有其它的圖形符合題目要求?

不知電腦是否能夠算出所有符合題意的圖形?

(聯想到凸五邊形,最終是用電腦證明的,只有十五種)
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 楼主| 发表于 2024-7-13 18:37:56 | 显示全部楼层
24244.png

整線段18條,碎線段…52條。(其實我只要求數整線段,即共線相連的線段算一條)

点评

此解很漂亮!唯一的缺憾是:若要求交点必须在格点的话,则图形最小可覆盖格点矩阵大小为 \(13\times13\),偏大。  发表于 2024-7-15 07:55
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 楼主| 发表于 2024-7-14 15:50:45 | 显示全部楼层
24246.png
22個整線段。
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发表于 2024-7-14 23:52:48 | 显示全部楼层
楼主提到的“整线段”、“碎线段”很形象,继续沿用之。
新增要求:所有碎线段端点的坐标必须为整数,即均位于格点上。
并记格点间最小间距为单位长度 \(1\) 。

昨天周六,到中科大跟儿子汇合,小游合肥,
今早在宾馆构造出了一个新的,晚上在高铁 G3178 上又得到一个,
当时没带电脑,所以留待返家后再发帖。
可惜,“宾馆版”与楼主现在的3#的一致(以前怎么没注意到?);
所以,现仅发布“高铁版”,如下:

2024-07-14 G3178 20:39

2024-07-14 G3178 20:39


关于点:
上图最小可覆盖格点矩阵大小为 \(7\times7\),
碎线段端点不重复计数,为 \(32\) 个。


关于线:
整线段 \(24\) 条,含 \(5\) 种长度规格:\(1(*4), \sqrt2(*4), 2(*4), 2\sqrt2(*4), 6(*8)\);
碎线段 \(60\) 段,仅 \(3\) 种长度规格:\(1(*36), \sqrt2(*12), 2(*12)\);

其中,
斜整线段 \(8\) 条,仅 \(2\) 种长度规格:\(\sqrt2(*4),2\sqrt2(*4)\);
斜碎线段 \(12\) 段,仅 \(1\) 种长度规格:\(\sqrt2(*12)\);
且斜整线段均为某正方形的一边。


关于面:
所构成的正方形,面积有 \(6\) 种:\(1(*8), 2 (*1), 4(*9), 8 (*1), 16(*4), 36 (*1)\);
所构成的等腰直角三角形,面积仅有 \(2\) 种:\(0.5(*20), 2 (*4)\)。


以上描述中,括号中的数字为前面数字对应的数目。

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发表于 2024-7-15 08:01:54 | 显示全部楼层
在引入“格点”要求后,就可以多维度量化一个结果的优劣,比如上面的:

  • 最小可覆盖格点矩阵:\(7\times7\)
  • 格点利用率:\(\dfrac{32}{7\times7} = 65.31\%\)
  • 端点重复利用率:\(\dfrac{4\times24 +3\times24}{32} =\dfrac{21}{4}=525\%\)
  • 长度重复利用率:\(\dfrac{\left(1\times8+\sqrt2\times1+2\times9+2\sqrt2\times1+4\times4+6\times1\right)\times4+\left(1\times2+\sqrt2\right)\times20+\left(\sqrt2\times2+2\right)\times4}{1\times24+\sqrt2\times12+2\times12}=\dfrac{60+10\sqrt2}{12+3\sqrt2} =456.47\%\)
  • 面积重复利用率:\(\dfrac{\left(1\times8+2\times1+4\times9+8\times1+16\times4+36\times1\right)+\left(0.5\times20+2\times4\right)}{6\times6} =\dfrac{50}{9}=555.56\%\)


显然,利用率越高越好。

点评

有点投影几何、拓扑学的味道。建议新建一个分支,就叫格点几何学。  发表于 2024-7-15 09:08
可以简化为三个指标:点阵大小、整线段数、交点数。皆计数,免计算。  发表于 2024-7-15 08:57
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