包含24個正方形和24個等腰直角三角形的方形对称图案

hujunhua

三、正方图×斜方图

1、12□×8◇  只有62#所示的两图
           

2、16□×4◇  共11解，下图上排6图是mathe搜索至48线得到的6解，下排5图是剩下的52线图。

hujunhua

四、剩下就是20□×0◇的图案

一个角上恰好有6个三角形，没有◇，所以最多只能有6条斜线，再多就会出现冗余。可见四角最多只能有24条斜线。
于是一个已有 L 条纵横线的20□备方图，至多可生成 （L+24）线图案，实际情况如下表所示。

备方图	纵横线数L	L+24	mathe搜索至48线的结果	更多结果	合计
A22	24	48	16图，其中32线3图，36线3图，40线5图，44线5图	无	16图
A46	32	56	14图，其中36线1图，40线3图，44线6图，48线4图	52线6图	20图
A50	16	40	25图，其中24线4图，28线9图，32线9图，36线3图	无	25图
A60	16	40	19图，其中24线3图, 28线11图, 32线3图，36线2图	无	19图

下图是A22的16图

hujunhua

A50和A60图展示
其中A50X680与A50X880实际上可视为同一解，只不过后者多了1条（四角共4条）冗余斜线，
它虽然不参与构成三角形，但可将两条斜线连接成一线，也不算完全冗余。

hujunhua

如132#所示，唯A46有可能存在56线图，是在mathe的探索之外唯一还可能存在更多解的备方图。
容易证明没有56线图，以及有6个52线图，见下图中较大的6个。加入mathe搜索到的14个图，共是20个图。

hujunhua

至此，在手工简化过程中直接穷尽7x7网格剩余的全部解。免于计算机编程搜索了。
能够手工穷尽的关键在于132#对于线数上限的估算。
6X6网格, mathe搜索到48线，只得到18线、20线和22线的7个图，显然没有更多的解了。

现在可以宣布：123#所划的第1个范围解决。6X6网格和7x7网格共计100个图。

ejsoon

gxqcn 发表于 2024-8-26 16:02
本题具有一定的开放性，提出问题本身不易。

想采访一下楼主：

    设计出此题，有何机缘？可曾受其它相关问题的启发？
    出题要求，是如何完善的？比如对称性的要求，最外框需正方形等
    为何选中“正方形”和“等腰直角三角形”这两种基本元素，对其进行计数？
    均恰为“24”这个数字，设计之初，可有什么讲究？

題目來源於一個叫mathsisfun的網站：
https://www.mathsisfun.com/puzzles/who-squares-wins.html

它只給出了一個圖形，正方形的數量是24個。

後來我在我的網站上轉載：https://ejsoon.win/how-many-square/2/

然後我數了一下三角形，一開始數錯了，以為也是24個，但後來驗證是28個。

時隔數月，想起這個圖形，三角形不是24個，未免有些遺憾。

於是我想是否存在一個圖形，它的正方形及三角形的數量都是24個。

當我到本論壇發帖時，我只想證明這種圖形是否【存在】。不過我很快就構建出了一個符合要求的圖形。

於是這成為一個開放性的題目：如何巧妙的構建這樣的圖形，所用的線段不能太多。

〔要求外框是一個正方形，要求對稱〕
就是覺的這樣挺美，一些少數民族的房子的窗戶也常常出現這種美妙的圖案。

我曾經生活過的地方，每日都經過這樣的一個窗戶，但是我沒拍照，已經不記的它長啥樣了。

〔關於24這個數字〕
24含有較多的因子（1,2,3,4,6,8,12），有個遊戲叫「快算24」是我愛玩的遊戲之一。

對於本題而言，24應該是個比較適合的數字，如果12感覺太少，36未免太多。

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本人偏好24，偏好正方形，所以提出了這樣一個開放題目。

感謝各位高手的熱情參與，大家的思想碰撞確實産生出了美麗的火花。

gxqcn

因公事繁忙，我直接参与论坛交流的不多，这是近期为数不多的投入较多的主题帖。
当然，因为其开放性，既需要分析归纳，又需要创造性构造，
所以，我更多的时候是将其作为闲暇之余的头脑按摩器。

分享一下，我参与本话题的三个阶段历程：小、少、巧

所谓“小”：首先需可量化，提出需满足“格点图”概念，追求在尽可能小的格点阵上实现。
最初聚焦于 7x7 的格点阵上构造，并在高铁上获得了一个非常美观的图，见：9#
后来，又首次在 7x7 的格点阵上构造出一个仅 18 线的解，发在：22#

所谓“少”：追求用尽可能少的线条达成目标。
能否构造出比 18 条更少的解？经过试探，似乎局限于 7x7 的格点阵不现实了。
看来得适当放宽对“小”的追求，终于构造出了首个由 16 线的解，见：25#
其实，因为不再“小”了，16 线图的“自由度”往往更大了，可以更容易变换出其它的解，比如：41#

所谓“巧”：在满足楼主提的基本要求上，追求满足更多有趣的要求。
比如：hujunhua 在 80# 发了个图，由“4个方向各4条平行线”构成。这激起了我兴趣，能否更进一步，让平行线等长？
即额外要求“由 4 个方向的各 4 条等长平行线构成”，很快就得到一组，见：84#

yigo

大佬们真是太厉害了！能否稍微提示下算法思路，给定图形，如何用程序数出所有的三角形和正方形数，完全没头绪。

hujunhua

yigo 发表于 2024-8-30 09:26
大佬们真是太厉害了！能否稍微提示下算法思路，给定图形，如何用程序数出所有的三角形和正方形数，完全没头 ...

还没开始编程，7x7网格就结束了，所以没有仔细考虑怎么遍历三角形和正方形。

mathe 在110#发了源码的，你可以下载研究一下。近2000行代码，无注释，够你啃的