包含24個正方形和24個等腰直角三角形的方形对称图案

hujunhua

mathe 发表于 2024-8-4 22:08
修正了前面数三角形中漏了一个方向的问题。但是奇怪好像最终结果都没有那个方向的三角形。
这次总共380个 ...

下载下来清点了一下，完全符合16线图案要求的共65个，比我预计的约50个要多不少。
其中81#各备方图产生的图案数如下表

井字格搭配	九宫格AB(b=3a)	九宫格#C	中轴组合成
AB+BC	图1.1 b=3a 12个	图1.2 c=3b 8个	图1.3* c±a=2b 7+10个
AB+AC	图2.1 b=3a 12个	图2.2 c=3a 9个	图2.3 c-b=2a 7个

我原本预计上面的每个备方图能产生6~8个解。

感觉这65个里面不都是最小网格解。以备方图1.1为例，程序计算出来12个解，那么跟82#的区间划分应该是不同的。

hujunhua

102#的证明主要是基于80#所揭示的16线图案的构图特征，特别是81#的B类备方图。

一、B类

1、备方图的构造
B类包括 □□□◇ 4个中心方，分别记作□A, □B, □C, ◇D.  备方图包括其中的□A, □B, □C.
按80#的结果，备方图都是1□与其它2□构成井字格，不妨记作□B分别与□A, □C构成井字格。
于是备方图上□A, □B, □C之间的相交情况如表1所示：
表1 B类备方图的中心正方形一条边上的交点数

□一条边上 的交点数	□A	□B	□C	交点数合计
□A	2	2	0	4
□B	2	2	2	6
□C	0	2	2	4

2、斜方的加入
按80#的结果，◇D与□B必相交，与□A, □C二选一相交，不妨假定选□A。
所以加上◇D后的相交情况如表2所示。
表2 B类图案的中心正方形一条边上的交点数

一条边上 的交点数	□A	□B	□C	◇D	交点数合计
□A	2	2	0	2	6
□B	2	2	2	2	8
□C	0	2	2	0	4
◇D	2	2	0	2	6

hujunhua

二、C类

1、备方图的构造
C类包括 □□◇◇ 4个中心方，分别记作□A, □B, ◇C, ◇D. (102#为了省一个表格，记为□A, □D, ◇B, ◇C）。
C类备方图包括两部分：□A与□B构成井字格, ◇C与◇D构成井字格，其中有一个九宫格.
所以备方图上正交点如表3所示（暂时不考虑两个井字格的斜交点）：
表3 C类备方图的中心正方形一条边上的正交点数

一条边上的   正交点数	□A	□B	◇C	◇D	交点数合计
□A	2	2	0	0	4
□B	2	2	0	0	4
◇C	0	0	2	2	4
◇D	0	0	2	2	4

2、斜交的加入
按80#的结果，C类的⊿由□□之一与◇◇斜交，或者◇◇之一与□□斜交而得。不妨假定由◇C与□A, □B相交，
则加入斜交点后的所有交点情况如表4所示
表4 C类图案的中心正方形一条边上的交点数

一条边上 的交点数	□A	□B	◇C	◇D	交点数合计
□A	2	2	2	0	6
□B	2	2	2	0	6
◇C	2	2	2	2	8
◇D	0	0	2	2	4

三、D类  看作B类就行。

就是说，不管边长和交点顺序如何千变万化，相交关系都要按上述各表所示。这种相交关系都同，所以三角形数量才都是24.

hujunhua

楼上两帖中表格内的交点数之所以那么单一、确定，是因为102#中的一些事实和推论，以及80#结论的单一。
最有利的事实和推论包括
1、没有孤立正方形
2、没有三线共点
3、每条线段与一个正方形交于0点或者2点.

mathe

对于B类包括 □□□◇ 4个中心方，分别记作□A, □B, □C, ◇D。
那么我们可以称它们的边所在线段分别为a线,b线，c线，d线(d线为斜线)。
同样我们有a行，b列等。此外为了区分左右，我们可以有+c列代表最右边外边框，-a行代表□A下边所在的行等。
另外所有B类连续构图中，都是a线或者b线两者之一没有达到□C，有缺口，所以我们可以称之为短线，对应有短行和短列。
对于◇D，我特别关心它左上边所在的线，我们可以称为主d线，而◇D最上面的顶点可以称为主D点。
于是B类图中等腰直角三角形，可以分为
i）斜边在d线的三角形。对于这一类，我们只需要数斜边为主d线的三角形，然后数目乘以4.
ii) 直角在◇D顶点，另外两个顶点关于某条垂直或水平对称轴对称的；对于这一类，我们只需要计数顶点在主D点，斜边为某一行的三角形，然后数目乘以4.
iii)直角在◇D顶点，另外两个顶点不关于图的对称轴对称的；对于这一类，我们只需要计数顶点在主D点，斜边为某一列的三角形，然后数目乘以4.
由于我们要求三角形总数为24，所以要求斜边为主d线和直角在主D点的等腰三角形数目之和正好是6.

性质1： 一个很简单的事实是每条d线和行的交点数目等于和列的交点数目。这个是基于对称性；比如根据左右对称,主d线和行的交点数目等于右上斜线和行的交点数目；而根据旋转对称，主d线和列的交点数目等于右上斜线和行的交点数目。由此得出主d线和行的交点数目等于主d线和列的交点数目。（但是由于还不能排除三点共线情况，我们暂时还是无法判断主d上和点的总数的奇偶性）。

假设主d线和k行相交，同样和k列相交，   那么
   主d线i)类三角形数目最多k*k个（每行每列和主d线都可能可以构成等腰直角三角形）；
   主D点 ii)类三角形数目最多k个，最少k-1个。（当且仅当主d点正好在某一行时为k-1）
   主D点 iii)类三角形数目最多k个，最少0个。
于是我们得出$k*k+k+k\ge 6$,由此得出$k\ge 2$。
性质2: 也就是每条斜线至少和两行相交（同样至少和两列相交）。

我们再考虑主d线i)类三角形数目的下界，由于上界为k*k, 其中每多出一个三点共线（不可能四点共线，有对称性，斜线交点必须在坐标轴，而横纵线交点不在坐标轴），那么i)类三角形数目要减少一个。由于主d线和每一行的交点同时最多有某一列经过，这样的三点共线最多可以损失k个三角形。
另外还有一种情况，由于短线的存在，比如如果主d线分别和c列，短行相交，那么它们三者之间无法形成三角形，也需要扣除。这仅仅在主d线会和c线相交的情况才可能出现。又有最多两个c列，两个短行，同样最多两个c行和两个短列，所以最多可以扣除8个。于是我们得出主d线i)类三角形数目不少于$k^2-k-8$
由此得出$k^2-k-8\le 6$,由此得出$k\le 3$.

而在k=3时，如果存在主d线和-c列相交的情况由对称性，它必然也和-c行相交，d线、-c行、-c列必然构成一个三角形。
而主d线和c列只会相交在延长线上，同样由对称性，这时必然和c行相较于延长线，同样d线、c行、c列必然构成一个三角形。
我们的目标是让主d线i)类三角形尽量少（不然很容易超标），比如下面的图

其d主线i)类三角形也有6个，加上主D点 ii)类三角形至少两个，必然会超标。
k=3的情形感觉还是比较复杂，虽然看上去就能感觉到不大可能。

hujunhua

mathe 发表于 2024-8-7 08:32
对于B类包括 □□□◇ 4个中心方，分别记作□A, □B, □C, ◇D。
那么我们可以称它们的边所在线段分别为a线 ...

如果所讨论的16线图符合下列要求：

1、由一个大正方形和它内部的图线组成；
2、一条图线指一条连续的整线段。（不连续不能算作一条）

那么，如图所示，主D线若跟 a, b, c 列、-a, -b, -c 行任一相交, 就是两个正方形的边充分延长相交的情况, 显然不能允许。
这个事实有几种等价的说法：
1、图1a、图1b、图2中外圈的8个交点不能存在。（不能充分延长，延长线就要收缩，外圈交点消失）
2、一条斜线不能与一个正方形的两条平行边相交。
3、一条斜线与一个正方形最多只能有 2 个交点。

引用这一事实，可以简化上面的推导过程。
1、排除了第iii)类三角形。
2、直接知道k≤3. 一共就6行6列，有一半不被允许。

gxqcn

99# 提出：

16 条整线段方案，在各个方向上（共 4 个方向），碎线段数一定是整线段数的 5 倍！

已得到证明。


现在反过来：

一个由 16 条整线段构成的上下左右对称图案，正方形恰好有 24 个；
若四个各方向上，碎线段数均为整线段数的 5 倍，且不存在三线共点，则等腰直角三角形数目必为 24！

如果成立，就不用费神去数三角形了。

ejsoon

@mathe
是否可以考慮，用前一個算法，先預置一個基底，再限定12方網格。這樣或許能算到24線。

下面是一些適合用於12方的基底：






此外，至今未見過有用到以下基底的圖：



是否可以算出幾個這個基底的圖？或者證明這個基底不行？

hujunhua

可以结合关于B类备方图的结论来阐述，比较有利。
B类的备方图部分已经得到结论：必须正好是不多不少 2 个井字格配合。
所以a, b, c行与-a, -b, -c 列的 9 个交点实际只能存在7个, 见下表1所示。
表1 3行×3列的9个交点存在情况一览表（假定 0＜a＜b＜c）

交点	-a列	-b列	-c列
a行	(-a, a),Y	(-b, a),Y	(-c, a),Y/N
b行	(-a, b),Y	(-b, b),Y	(-c, b),N/Y
c行	(-a, c),Y/N	(-b, c),N/Y	(-c, c) ,Y

表中标Y的，必须相交，标Y/N与N/Y的二选一，一交一不交。
这9个交点加上(0, a), (0, b), (0, c),  是主d线产生三线共点时可能穿过的点，这样的特殊主d线位置包括
y-x=2a, 2b, 2c, a+b, b+c, c+a, a, b, c 等9条直线。
这9条直线可能的重合情况见下 表2
表2 主d线产生三线共点的特殊位置发生重合的情况一览表

	线号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
线号	双线重合条件	(-c,c) y-x=2c	(-b,b) y-x=2b	(-a,a) y-x=2a	(-b,c) (-c,b) y-x=b+c	(-c,a) (-a,c) y-x=c+a	(-b,a) (-a,b) y-x=a+b	(-c,0), (0,c) y-x=c	(-b,0) (0,b) y-x=b	(-a,0) (0,a) y-x=a
1	(-c,c) y-x=2c		—	—	—	—	—	—	—	—
2	(-b,b) y-x=2b	—		—	—	c+a=2b	—	2b=c	—	—
3	(-a,a) y-x=2a	—	—		—	—	—	c=2a	b=2a	—
4	(-b,c),(-c,b) y-x=b+c	—	—	—		—	—	—	—	—
5	(-c,a),(-a,c) y-x=c+a	—	c+a=2b	—	—		—	—	—	—
6	(-b,a),(-a,b) y-x=a+b	—	—	—	—	—		—	—	—
7	(-c,0),(0,c) y-x=c	—	2b=c	2a=c	—	—	—		—	—
8	(-b,0),(0,b) y-x=b	—	—	b=2a	—	—	—	—		—
9	(-a,0),(0,a) y-x=a	—	—	—	—	—	—	—	—
	三线重合条件	N	N	N	N	N	N	N	N	N

从表中可见最多两线重合（4种条件下会发生），没有三线重合的条件。当主d线处于这种两线重合位置时，有3处三线共点，所以会减少3个⊿。
表1中7点每点1个i)类⊿，加上主D点3个ii)类⊿，合计10个⊿。
最多减少3个⊿，还剩7个⊿，仍然超过6个。所以k=3不行。

ejsoon

第一個基底為大叉的圖。