三角形正负等角中心间距

陈九章

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答 hujunhua老师：
 hujunhua老师说：量纲都不对，能以ef、ed、fd为边，构造三角形吗？
这让我想起瑞士数学大师L. Euler（1707～1783）发现的一个
Euler定理  设四面体长分别为a、l，b、m，c、n，则以al、bm、cn为边的三角形的面积，
等于四面体的体积和外接球半径的乘积的6倍。
我曾在“四面体的对积三角形”（湖南数学通讯，1998年第6期）一文中，提出了“四面体对积三角形”的概念，
并且指出，依据这一概念，三角形中的许多关系式（等式、不等式）都可以批量“移植”到四面体中。
这种视角，也许对大家研究“四面体几何学”有些启发？

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刚有空，举两个实例

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经网上检索，我还没有找到四面体中的Weitzenberk不等式和Neuberg-Pedoe不等式，也许这两个定理是新发现的！
大家如有兴趣，可以沿着以上路径，作出更多更新的大发现！
数学星空，期待精彩！
【注】陈计、王振二教授对Neuberg-Pedoe不等式的四面体推广(见论文“Neuberg─pedoe不等式的四面体推广”)与上述推广不同；
冷岗松、唐立华二教授把Neuberg-Pedoe不等式推广到四边形(见论文“Neuberg-Pedoe不等式的四边形推广”)，而不是四面体。

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因为⊙O7---⊙O12的半径公式，直接从2009年的旧文档中复制而来，未曾核实，
记得当时也是匆忙推导，电子档又没有推算过程，心中颇不踏实，
昨天得闲，熬夜到12点，对这六个半径公式重新进行推演，
结果大吃一惊，发现11年前导出的R9、R10的公式有误！
刚才，又对这两个公式的推导过程进行了认真审核，已经精准无差！
现将这12个圆的半径公式整合在一个定理内，向5.4青年节致以几何献礼！

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因为这个论坛每天发帖数量有限制，改动后，就不能发出，
大家见谅！

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【注】线段 SS′、FF′ 的中点I、J 也是△ABC的著名特殊点。