三角形正负等角中心间距

陈九章

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creasson

在代换
\[\frac{{\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {c + a - b} \right)} }}{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)} }} \to 2\sqrt 3 p\]
\[\frac{{\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)} }}{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {c + a - b} \right)} }} \to \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + q}  + \sqrt {\left( { - 1 + 12{p^2}q} \right)\left( { - 2 - q + 2\sqrt {1 + q} } \right)} }}{{2\sqrt 3 pq}}\]
之下，可以对这些式子进行简化，从而使得所有的讨论仅限于两个变量。
\[{e^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\sqrt 3 \Delta }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {4 + q + 12pq - 12{p^2}q} \right)\]
\[{f^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 4\sqrt 3 \Delta }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {4 + q - 12pq - 12{p^2}q} \right)\]
\[{d^2} = 9{R^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} = \frac{{{a^2}\left( {3 - 56{p^2} + 432{p^4} - 32{p^2}q + 384{p^4}q} \right)}}{{64{p^2}}}\]
$0 < p,0 < q \le \frac{1}{12p^2}$

hujunhua

陈九章 发表于 2020-5-4 08:38

提一个小小的建议：
可否把您的结论改为“......符合三角不等式”？
我不太赞成三个面积量构成一个三角形的说法。
因为您所说的三角形大小不定。

要不您把这个三角形画一个实例我们看看？

creasson

我们可以再作代换：\[{p \to \frac{1}{{6v}},q \to \frac{{36{v^2}}}{{12\left( {1 + u} \right)}}}\]
\[{e^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\sqrt 3 \Delta }}{2} = \frac{{{a^2}\left( {3 + 6u + 3{u^2} + 4v} \right)}}{{4\left( {1 + v} \right)}}\]
\[{f^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 4\sqrt 3 \Delta }}{2} = \frac{{{a^2}\left( {3 - 6u + 3{u^2} + 4v} \right)}}{{4\left( {1 + v} \right)}}\]
\[{d^2} = 9{R^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} = \frac{{{a^2}\left( {3 - 6{u^2} + 3{u^4} + 3v - 14{u^2}v + 27{u^4}v} \right)}}{{16{u^2}\left( {1 + v} \right)}}\]
$u>0, v>0$
为了判断$ef,fd,de$是否可以构成三角形，我们对判断式做一下变形：
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b - c > 0\\
b + c - a > 0\\
c + a - b > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right) > 0\\
\left( {b + c - a} \right)\left( {b - c + a} \right) > 0\\
\left( {c + a - b} \right)\left( {c - a + b} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2bc > {b^2}{\rm{ + }}{c^2} - {a^2}\\
2ca > {c^2}{\rm{ + }}{a^2} - {b^2}\\
2ab > {a^2}{\rm{ + }}{b^2} - {c^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2bc} \right)^2} > {\left( {{b^2}{\rm{ + }}{c^2} - {a^2}} \right)^2}\\
{\left( {2ca} \right)^2} > {\left( {{c^2}{\rm{ + }}{a^2} - {b^2}} \right)^2}\\
{\left( {2ab} \right)^2} > {\left( {{a^2}{\rm{ + }}{b^2} - {c^2}} \right)^2}
\end{array} \right.\]
代入验证即可。

陈九章

今天晚餐后，在学校育英苑溜达时，我看到一个男生和二个女生在散步，
忽来灵感，梦回青年，得到“5.4大猜想”的简证。晚辅后，整理发出：

陈九章

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【接223楼】

陈九章

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    那个炎热的下午，克莱尔漫步赛纳河畔，无心观赏沿路风景，一边行走，一边思考着如何求出四面体的外心-内心的距离公式，可是，想了好久，也没有一点灵感，在河边的石板上静静地坐着，躺下，又坐着，盯着西天的晚霞出神，夜幕降临，他还是没有任何办法，此刻，转念一想，既然求不出外心-内心距离公式，若能推出四面体的外接球半径公式，也是很不错的！
    于是，克莱尔一个鲤鱼打挺，从石板上爬起来，踏响一路蛙鸣，朝那灯火阑珊处走去，回到住所，挑灯夜战一通宵，算落晨星，导出晨曦，当太阳冉冉升起时，他的卓越定理呱呱坠地！
    再次睁开惺忪的双眼，看到稿纸上那个若隐若现的外接球半径公式时，克莱尔昏过去了......
    根号里的式子，与著名的Heron-秦九韶公式何其惊人的相似啊！

补充内容 (2020-5-13 14:59):
★杨路教授在“Caylay定理的一个应用”（《数学通报》1981年6期）、唐立华在“四面体中的数学问题”（华东师范大学2附中校本课程）、何万程、孙文彩大作《立体几何技巧与方法》（哈工大出版社）对上述Crelle定理作过介绍。

补充内容 (2020-5-17 09:04):
●弄错了！克莱尔（A.L.Crelle，1780-1855）是德国铁路工程师，世界上第一本最具影响力的数学期刊《纯粹与应用数学杂志》(Journal fur dieReine and Angewandte Mathematik(Berlin)，刊号:510E0006 , ISSN0075-4102，1826年创刊）的创办人。